1、['一元二次方程根的范围问题'， '常见函数的零点'， '函数零点的概念'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%若方程$${{x}^{2}{−}{4}{|}{x}{|}{+}{3}{=}{m}}$$有四个互不相等的实数根，则$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$${（{−}{∞}{，}{−}{1}{）}}$$
B.$${（{−}{1}{，}{3}{）}}$$
C.$${（{3}{，}{+}{∞}{）}}$$
D.$${（{−}{1}{．}{+}{∞}{）}}$$
2、['一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次方程根的范围问题']正确率40.0%若$${{α}{，}{β}}$$是方程$${{x}^{2}{−}{k}{x}{+}{8}{=}{0}}$$的两个相异实根，则一定有（）
D
A.$${{|}{α}{|}{⩾}{3}}$$且$${{|}{β}{|}{>}{3}}$$
B.$${{|}{α}{+}{β}{|}{<}{4}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{|}{α}{|}{>}{2}}$$且$${{|}{β}{|}{>}{2}}$$
D.$${{|}{α}{+}{β}{|}{>}{4}{\sqrt {2}}}$$
3、['一元二次方程根的范围问题']正确率60.0%一元二次方程$${{x}^{2}{−}{5}{x}{+}{1}{−}{m}{=}{0}}$$的两个不同的根均大于$${{2}{，}}$$则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
C
A.$$[-\frac{2 1} {4}， ~+\infty)$$
B.$${{(}{−}{∞}{，}{5}{)}}$$
C.$$\left(-\frac{2 1} {4}， ~-5 \right)$$
D.$$\left(-\frac{2 1} {4}， \; 5 \right)$$
4、['一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次方程的解集'， '一元二次方程根的范围问题']正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$为正整数，方程$${{a}{{x}^{2}}{+}{b}{x}{+}{c}{=}{0}}$$的两实根为$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}}$$且$${{|}{{x}_{1}}{|}{<}{1}{，}{|}{{x}_{2}}{|}{<}{1}{，}}$$则$${{a}{+}{b}{+}{c}}$$的最小值为（）
A
A.$${{9}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{6}}$$
5、['导数与极值'， '一元二次方程根的范围问题']正确率40.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{3}}{+}{a}{{x}^{2}}{+}{x}}$$在$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$内有两个极值点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{−}{\sqrt {3}}{，}{\sqrt {3}}{)}}$$
C.$${{(}{−}{∞}{，}{0}{)}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{\sqrt {3}}{)}}$$
6、['一元二次方程根的范围问题'， '分段函数的图象']正确率19.999999999999996%函数$$f ( x )=\frac{| x |} {| x |-1}$$，如果方程$${{[}{f}{（}{x}{）}{{]}^{2}}{−}{m}{f}{（}{x}{）}{+}{2}{m}{−}{3}{=}{0}}$$有$${{4}}$$个不同的实数解，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
A
A.$$(-\infty， ~ {\frac{3} {2}} ) \cup~ ( 6， ~+\infty)$$
B.$$( \frac{3} {2}， \ 2 )$$
C.$${（{−}{∞}{，}{2}{）}}$$
D.$${（{2}{，}{+}{∞}{）}}$$
7、['一元二次方程根的范围问题'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知关于$${{x}}$$的一元二次方程$${{x}^{2}{+}{2}{（}{m}{−}{1}{）}{x}{+}{2}{m}{+}{6}{=}{0}}$$，若方程两根都大于$${{1}}$$，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）
B
A.$$- \frac5 4 < m <-1$$
B.$$- \frac{5} {4} < m \leqslant-1$$
C.$$- \frac{5} {4} < m < 0$$
D.$${{m}{⩽}{−}{1}}$$或$${{m}{⩾}{5}}$$
8、['一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次方程根的范围问题']正确率40.0%若$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$是关于$${{x}}$$的方程$${{x}^{2}{−}{t}{x}{+}{2}{−}{t}{=}{0}}$$的两个实数根，且$${{x}_{1}{<}{1}{<}{{x}_{2}}}$$，则$${{t}}$$的取值范围是（）
D
A.$$t <-2-2 \sqrt{3} \sharp t > \frac{3} {2}$$
B.$${{t}{>}{−}{2}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{t}{<}{−}{2}{−}{2}{\sqrt {3}}{或}{t}{>}{−}{2}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$$t > \frac{3} {2}$$
9、['一元二次方程根的范围问题'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%若函数$$y=\frac{x^{2}+t x+9} {x} ( x > 0 )$$有两个零点，则实数$${{t}}$$的取值范围是（）
D
A.$${（{−}{3}{，}{+}{∞}{）}}$$
B.$${（{−}{∞}{，}{−}{3}{）}}$$
C.$${（{−}{6}{，}{+}{∞}{）}}$$
D.$${（{−}{∞}{，}{−}{6}{）}}$$
10、['基本不等式的综合应用'， '一元二次方程根的范围问题'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知关于$${{x}}$$的一元二次方程$${{a}{{x}^{2}}{+}{b}{x}{+}{c}{=}{0}}$$$${{(}{a}{>}{0}{，}{b}{，}{c}{∈}{R}{)}}$$在$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$内有两个实根，若$$\left\{\begin{matrix} {c \geq1，} \\ {2 5 a+1 0 b+4 c \geq4，} \\ \end{matrix} \right.$$则实数$${{a}}$$的最小值为 （）
D
A.$${{1}}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{9} {4}$$
D.$$\frac{1 6} {2 5}$$
1. 解析：
首先分析方程 $$x^2 - 4|x| + 3 = m$$。设 $$y = |x|$$，方程转化为 $$y^2 - 4y + 3 = m$$，即 $$y^2 - 4y + (3 - m) = 0$$。由于 $$y = |x| \geq 0$$，且原方程有四个互不相等的实数根，说明关于 $$y$$ 的方程必须有两个不同的正根 $$y_1$$ 和 $$y_2$$。因此需满足以下条件：
1. 判别式 $$D = 16 - 4(3 - m) > 0 \Rightarrow m > -1$$；
2. 两根之和 $$y_1 + y_2 = 4 > 0$$；
3. 两根之积 $$y_1 y_2 = 3 - m > 0 \Rightarrow m < 3$$。
综上，$$m \in (-1, 3)$$，故选 B。
2. 解析：
方程 $$x^2 - kx + 8 = 0$$ 有两个相异实根，故判别式 $$D = k^2 - 32 > 0 \Rightarrow |k| > 4\sqrt{2}$$。由韦达定理，$$\alpha + \beta = k$$，$$\alpha \beta = 8$$。选项分析：
A. 若 $$|\alpha| \geq 3$$ 且 $$|\beta| > 3$$，则 $$|\alpha \beta| > 9$$，与 $$\alpha \beta = 8$$ 矛盾；
B. $$|\alpha + \beta| = |k| > 4\sqrt{2}$$，不成立；
C. 若 $$|\alpha| > 2$$ 且 $$|\beta| > 2$$，则 $$|\alpha \beta| > 4$$，成立；
D. $$|\alpha + \beta| = |k| > 4\sqrt{2}$$，正确。但题目要求“一定”，D 更严格，故选 D。
3. 解析：
方程 $$x^2 - 5x + 1 - m = 0$$ 有两个不同根均大于 2，需满足：
1. 判别式 $$D = 25 - 4(1 - m) > 0 \Rightarrow m > -\frac{21}{4}$$；
2. 对称轴 $$x = \frac{5}{2} > 2$$；
3. $$f(2) = 4 - 10 + 1 - m > 0 \Rightarrow m < -5$$。
综上，$$m \in \left(-\frac{21}{4}, -5\right)$$，故选 C。
4. 解析：
设 $$f(x) = ax^2 + bx + c$$，由 $$|x_1|, |x_2| < 1$$，需满足：
1. 判别式 $$D = b^2 - 4ac \geq 0$$；
2. $$f(1) = a + b + c > 0$$；
3. $$f(-1) = a - b + c > 0$$；
4. $$|-\frac{b}{2a}| < 1$$ 且 $$a > 0$$。
尝试最小正整数：当 $$a = 1$$，$$b = 1$$，$$c = 1$$ 不满足；$$a = 1$$，$$b = 1$$，$$c = 2$$ 满足，此时 $$a + b + c = 4$$，但需验证更小值。实际最小为 $$a = 1$$，$$b = 2$$，$$c = 4$$，和为 7，故选 C。
5. 解析：
函数 $$f(x) = x^3 + ax^2 + x$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 内有两个极值点，需导数 $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + 1$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 内有两个不同零点。因此：
1. 判别式 $$D = 4a^2 - 12 > 0 \Rightarrow |a| > \sqrt{3}$$；
2. 两根之和 $$-\frac{2a}{3} > 0 \Rightarrow a < 0$$；
3. 两根之积 $$\frac{1}{3} > 0$$ 恒成立。
综上，$$a < -\sqrt{3}$$，故选 D。
6. 解析：
设 $$f(x) = \frac{|x|}{|x| - 1}$$，方程 $$[f(x)]^2 - m f(x) + 2m - 3 = 0$$ 有 4 个不同实数解，需关于 $$f(x)$$ 的方程有两个不同解 $$t_1, t_2$$，且每个 $$t_i$$ 对应两个不同的 $$x$$。分析 $$f(x)$$ 的值域：
1. 当 $$x > 1$$ 或 $$x < -1$$，$$f(x) = \frac{x}{x - 1} > 1$$ 或 $$f(x) = \frac{-x}{-x - 1} \in (0, 1)$$；
2. 当 $$-1 < x < 1$$，$$f(x) = \frac{-x}{1 - x} \in (-\infty, 0)$$。
因此，需 $$t_1 \in (1, +\infty)$$ 且 $$t_2 \in (0, 1)$$，且判别式 $$D = m^2 - 8m + 12 > 0 \Rightarrow m < 2$$ 或 $$m > 6$$。同时，由韦达定理，$$t_1 + t_2 = m > 1$$，$$t_1 t_2 = 2m - 3 > 0 \Rightarrow m > \frac{3}{2}$$。综上，$$m \in \left(\frac{3}{2}, 2\right) \cup (6, +\infty)$$，但选项仅 B 符合部分范围，可能题目限制，选 B。
7. 解析：
方程 $$x^2 + 2(m - 1)x + 2m + 6 = 0$$ 两根均大于 1，需满足：
1. 判别式 $$D = 4(m - 1)^2 - 4(2m + 6) \geq 0 \Rightarrow m \leq -1$$ 或 $$m \geq 5$$；
2. $$f(1) = 1 + 2(m - 1) + 2m + 6 > 0 \Rightarrow m > -\frac{5}{4}$$；
3. 对称轴 $$x = 1 - m > 1 \Rightarrow m < 0$$。
综上，$$m \in \left(-\frac{5}{4}, -1\right)$$，故选 A。
8. 解析：
方程 $$x^2 - tx + 2 - t = 0$$ 满足 $$x_1 < 1 < x_2$$，需 $$f(1) = 1 - t + 2 - t < 0 \Rightarrow t > \frac{3}{2}$$，故选 D。
9. 解析：
函数 $$y = \frac{x^2 + t x + 9}{x}$$ 在 $$x > 0$$ 有两个零点，即 $$x^2 + t x + 9 = 0$$ 在 $$x > 0$$ 有两个不同解。需：
1. 判别式 $$D = t^2 - 36 > 0 \Rightarrow t < -6$$ 或 $$t > 6$$；
2. 两根之和 $$-t > 0 \Rightarrow t < 0$$；
3. 两根之积 $$9 > 0$$ 恒成立。
综上，$$t < -6$$，故选 D。
10. 解析：
方程 $$ax^2 + bx + c = 0$$ 在 $$(0, 2)$$ 内有两个实根，结合条件 $$c \geq 1$$ 和 $$25a + 10b + 4c \geq 4$$，需最小化 $$a$$。通过边界分析，当 $$c = 1$$，$$b = -\frac{5}{2}$$，$$a = \frac{9}{4}$$ 满足条件，故最小值为 $$\frac{9}{4}$$，故选 C。
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