在R上恒成立问题-2.3 二次函数与一元二次方程、不等式知识点教师选题进阶自测题答案-河北省等高一数学必修,平均正确率50.0%

1、['在R上恒成立问题'， '充分不必要条件']

正确率60.0%关于$${{x}}$$的不等式$$a x^{2}-2 x+1 > 0$$恒成立的充分不必要条件可以是（）

A.$${{a}{⩾}{1}}$$

B.$${{a}{>}{1}}$$

C.$$0 < ~ a < ~ \frac{1} {2}$$

D.$${{a}{>}{2}}$$

2、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '在R上恒成立问题'， '利用导数讨论函数单调性']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=-x^{3}+x^{2}-a x+1$$是$${{R}}$$上的单调递减函数，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$$[-3， ~+\infty)$$

B.$$( ~-\infty， ~-\frac{1} {3} ]$$

C.$$[ \frac{1} {3}， ~+\infty)$$

D.$$( ~-\infty， ~ \frac{1} {3} ]$$

3、['在R上恒成立问题'， '向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']

正确率40.0%设向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$的夹角为$$\theta， ~ | \vec{a} |=\frac{1} {2} | \vec{b} |，$$且不等式$$\left| \vec{a}-\vec{b} \right| \geq\left| m \vec{a}+\vec{b} \right|$$对任意$${{θ}}$$恒成立，则实数$${{m}}$$的值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$${{−}{3}}$$

4、['在R上恒成立问题'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']

正确率40.0%已知向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$| \boldsymbol{a} |=\mathbf{1}， \ \boldsymbol{a}$$与$${{b}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}，$$若对一切实数$$x， ~ | x a+2 b | \geqslant| a+b |$$恒成立，则$${{|}{b}{|}}$$的取值范围是（）

A.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$

B.$$( \frac{1} {2}，+\infty)$$

C.$$[ 1，+\infty)$$

D.$$( 1，+\infty)$$

5、['在R上恒成立问题']

正确率40.0%若不等式$$| x-2 |+| x+1 | \geq a$$对一切$${{x}{∈}{R}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$${{a}{⩽}{1}}$$

B.$${{a}{<}{1}}$$

C.$${{a}{⩽}{3}}$$

D.$${{a}{⩾}{3}}$$

6、['在R上恒成立问题']

正确率60.0%若不等式$$( a-1 ) x^{2}+( a-1 ) x+a > 0$$对任意$${{x}{∈}{R}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$a <-\frac{1} {3}$$或$${{a}{>}{1}}$$

B.$${{a}{>}{1}}$$

C.$${{a}{⩾}{1}}$$

D.$$- \frac{1} {3} < a \leq1$$

7、['在R上恒成立问题'， '充分、必要条件的判定']

正确率40.0%不等式$$x^{2}-x+m > 0$$在$${{R}}$$上恒成立的一个必要不充分条件是（）

A.$${{m}{>}{0}}$$

B.$$0 < m < 1$$

C.$$m > \frac{1} {4}$$

D.$${{m}{>}{1}}$$

8、['在R上恒成立问题'， '函数的最大(小)值'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%对任意$${{x}{∈}{R}}$$，不等式$$x^{2}+a | x |+1 \geq0$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$(-\infty，-2 ]$$

B.$$[-2， 2 ]$$

C.$$[-2，+\infty)$$

D.$$[ 0，+\infty)$$

10、['在R上恒成立问题'， '空集'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%已知集合$$\{f ( x ) | f ( x )=a x^{2}-| x+1 |+2 a < 0， x \in R \}$$为空集，则实数 $${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( \frac{\sqrt3+1} 2，+\infty)$$

B.$$( \frac{\sqrt3+1} 4，+\infty)$$

C.$$( \frac{\sqrt3-1} 4，+\infty)$$

D.$$(-\infty， \frac{\sqrt3-1} {4} )$$

1. 对于不等式 $$a x^{2}-2 x+1 > 0$$ 恒成立，需满足 $$a > 0$$ 且判别式 $$\Delta = 4 - 4a < 0$$，即 $$a > 1$$。题目要求充分不必要条件，因此只需 $$a$$ 的范围比 $$a > 1$$ 更严格。选项 D $$a > 2$$ 满足条件。

2. 函数 $$f(x) = -x^{3} + x^{2} - a x + 1$$ 单调递减，需导数 $$f'(x) = -3x^{2} + 2x - a \leq 0$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 成立。即二次函数 $$-3x^{2} + 2x - a$$ 开口向下且判别式 $$\Delta = 4 - 12a \leq 0$$，解得 $$a \geq \frac{1}{3}$$。选项 C 正确。

3. 设 $$|\vec{a}| = 1$$，则 $$|\vec{b}| = 2$$。不等式 $$|\vec{a} - \vec{b}| \geq |m \vec{a} + \vec{b}|$$ 对所有 $$\theta$$ 恒成立，两边平方后化简得 $$(1 + m^2) \cos \theta + 2m \leq 0$$ 对所有 $$\theta$$ 成立。仅当 $$m = -1$$ 时满足条件。选项 B 正确。

4. 对一切实数 $$x$$，$$|x \boldsymbol{a} + 2 \boldsymbol{b}| \geq |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$$ 恒成立。设 $$|\boldsymbol{b}| = t$$，利用向量长度公式化简得 $$x^{2} + 4t x \cos \frac{\pi}{3} + 4t^{2} \geq 1 + 2t \cos \frac{\pi}{3} + t^{2}$$。整理为关于 $$x$$ 的二次不等式，判别式 $$\Delta \leq 0$$ 解得 $$t \geq 1$$。选项 C 正确。

5. 不等式 $$|x - 2| + |x + 1| \geq a$$ 对一切 $$x \in \mathbb{R}$$ 恒成立。左边的最小值为 3（当 $$x \in [-1, 2]$$ 时取得），因此 $$a \leq 3$$。选项 C 正确。

6. 不等式 $$(a - 1)x^{2} + (a - 1)x + a > 0$$ 对任意 $$x \in \mathbb{R}$$ 恒成立。若 $$a = 1$$，不等式化为 $$1 > 0$$ 恒成立；若 $$a \neq 1$$，需 $$a - 1 > 0$$ 且判别式 $$\Delta = (a - 1)^{2} - 4(a - 1)a < 0$$，解得 $$a > 1$$。综上，$$a \geq 1$$。选项 C 正确。

7. 不等式 $$x^{2} - x + m > 0$$ 在 $$\mathbb{R}$$ 上恒成立需判别式 $$\Delta = 1 - 4m < 0$$，即 $$m > \frac{1}{4}$$。题目要求必要不充分条件，因此只需 $$m$$ 的范围包含 $$m > \frac{1}{4}$$。选项 A $$m > 0$$ 满足条件。

8. 不等式 $$x^{2} + a |x| + 1 \geq 0$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 恒成立。令 $$t = |x| \geq 0$$，不等式化为 $$t^{2} + a t + 1 \geq 0$$。需对 $$t \geq 0$$ 恒成立，因此判别式 $$\Delta = a^{2} - 4 \leq 0$$ 或 $$a \geq 0$$，解得 $$a \geq -2$$。选项 C 正确。

10. 集合为空集意味着 $$a x^{2} - |x + 1| + 2a \geq 0$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 成立。分 $$x \geq -1$$ 和 $$x < -1$$ 讨论，最终需 $$a \geq \frac{\sqrt{3} + 1}{4}$$。选项 B 正确。

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