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正确率40.0%已知椭圆$${\frac{x^{2}} {2 5}}+{\frac{y^{2}} {m^{2}}}=1 \ ( m > 0 )$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {7}-\frac{y^{2}} {n^{2}}=1 \ ( \ n > 0 )$$有相同的焦点，则$${{m}{+}{n}}$$的最大值是（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{1}{8}}$$
D.$${{3}{6}}$$
2、['基本不等式的综合应用']正确率60.0%若正实数$${{x}{，}{y}}$$满足$$4 x+y=2 x y，$$且不等式$$x+\frac y 4 < m^{2}-m$$有解，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
D
A.$$(-1， ~ 2 )$$
B.$$(-\infty， ~-2 ) \cup( 1， ~+\infty)$$
C.$$(-2， ~ 1 )$$
D.$$(-\infty， ~-1 ) \cup( 2， ~+\infty)$$
3、['基本不等式的综合应用']正确率40.0%设$$a > 2， \; b > 1，$$若$$a+b=4，$$则$$\frac{1} {a-2}+\frac{4} {b-1}$$的最小值为（）
C
A.$${{5}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{1}{1}}$$
4、['基本不等式的综合应用']正确率60.0%已知$$m > 0， ~ x y > 0，$$当$$x+y=2$$时，不等式$$\frac{2} {x}+\frac{m} {y} \geq4$$恒成立，则$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$${{m}{⩾}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{m}{⩾}{2}}$$
C.$$0 < m \leqslant\sqrt2$$
D.$$0 < m \leqslant2$$
5、['基本不等式的综合应用'， '基本不等式的实际应用']正确率60.0%拟设计一幅宣传画，要求画面面积为$$4 8 4 0 \mathrm{c m^{2} \，，}$$它的两边都留有宽为$${{5}{{c}{m}}}$$的空白，顶部和底部都留有宽为$${{8}{{c}{m}}}$$的空白.当宣传画所用的纸张面积最小时，画面的高是（）
D
A.$${{4}{8}{{c}{m}}}$$
B.$${{6}{0}{{c}{m}}}$$
C.$${{7}{8}{{c}{m}}}$$
D.$${{8}{8}{{c}{m}}}$$
6、['基本不等式的综合应用'， '充分、必要条件的判定']正确率60.0%若$$a > 0， \; b > 0$$，则$$^a a+b < 4 "$$是$$\omega a b < 4 "$$的（）
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7、['基本不等式的综合应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知实数$$a > 0， b > 0$$，且$$\frac{1} {a}+\frac{2} {b}=1$$，则下列说法错误的是（）
D
A.$${{a}{b}}$$的最小值为$${{8}}$$
B.$$\operatorname{l o g}_{2} {( 2 a+b )}$$的最小值为$${{3}}$$
C.$$\sqrt{2 a}+\sqrt{b}$$的最小值为$${{4}}$$
D.$${{a}{+}{b}}$$的最小值为$${{8}}$$
8、['基本不等式的综合应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{C}{=}{{9}{0}^{∘}}}$$，$${{B}{C}{=}{2}}$$，$${{A}{C}{=}{4}}$$，$${{A}{B}}$$边上的点$${{P}}$$到边$$A C， \ B C$$的距离的乘积的取值范围是（）
A
A.$$[ 0， 2 ]$$
B.$$[ 0， 3 ]$$
C.$$[ 0， 4 ]$$
D.$$[ 0， \frac{1 6} {9} \ ]$$
9、['基本不等式的综合应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知$$0 < ~ x < 1， ~ a， ~ b$$为常数，且$$a b > 0，$$则$$y=\frac{a^{2}} {x}+\frac{b^{2}} {1-x}$$的最小值为 （）
A
A.$$( a+b )^{2}$$
B.$$( a-b )^{2}$$
C.$${{a}{+}{b}}$$
D.$${{a}{−}{b}}$$
10、['基本不等式的综合应用']正确率40.0%设$$b > a > 0$$，且$$a+b=1$$，则四个数$$\frac{1} {2}$$，$${{2}{a}{b}}$$，$${{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}$$，$${{b}}$$中最大的是（）
A
A.$${{b}}$$
B.$${{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}$$
C.$${{2}{a}{b}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
1. 椭圆和双曲线有相同的焦点，因此它们的焦距相等。椭圆的焦距为 $$2\sqrt{25 - m^2}$$，双曲线的焦距为 $$2\sqrt{7 + n^2}$$。由题意得：
平方后化简得：
由不等式 $$(m + n)^2 \leq 2(m^2 + n^2) = 36$$，得 $$m + n \leq 6$$。当 $$m = n = 3$$ 时取等，故最大值为 $$6$$，选 B。
2. 由 $$4x + y = 2xy$$，整理得 $$\frac{2}{y} + \frac{1}{x} = 1$$。设 $$x + \frac{y}{4} = k$$，利用不等式条件 $$k < m^2 - m$$ 有解，需 $$m^2 - m > \min(k)$$。通过优化可得 $$k \geq 1$$，因此 $$m^2 - m > 1$$，解得 $$m \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$$，选 D。
3. 设 $$a - 2 = u$$，$$b - 1 = v$$，则 $$u + v = 1$$。表达式变为 $$\frac{1}{u} + \frac{4}{v}$$。由柯西不等式：
当且仅当 $$\frac{v}{u} = 2$$ 时取等，故最小值为 $$9$$，选 C。
4. 由 $$x + y = 2$$ 且 $$xy > 0$$，设 $$x = 2t$$，$$y = 2(1 - t)$$，$$0 < t < 1$$。不等式变为：
整理得 $$m \geq 8(1 - t) - \frac{2(1 - t)}{t}$$。通过优化可得 $$m \geq 2$$，选 B。
5. 设画面高为 $$h$$，宽为 $$w$$，则 $$hw = 4840$$。纸张面积为 $$(h + 16)(w + 10)$$。展开后利用不等式条件，当且仅当 $$h + 16 = 2(w + 10)$$ 时取最小值。解得 $$h = 88$$，选 D。
6. 若 $$a + b < 4$$，则 $$ab \leq \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 < 4$$；但反之不成立（如 $$a = 3$$，$$b = \frac{4}{3}$$ 时 $$ab = 4$$ 但 $$a + b = \frac{13}{3} > 4$$）。因此是充分不必要条件，选 A。
7. 由 $$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$$，利用不等式条件逐一验证：
- B: $$2a + b \geq 8$$，故 $$\log_2(2a + b) \geq 3$$，成立。
- C: $$\sqrt{2a} + \sqrt{b} \geq 4$$，成立。
- D: $$a + b$$ 的最小值为 $$3 + 2\sqrt{2} \neq 8$$，错误。
选 D。
8. 以 $$C$$ 为原点建立坐标系，$$AC$$ 沿 $$x$$ 轴，$$BC$$ 沿 $$y$$ 轴。设 $$P$$ 坐标为 $$(x, y)$$，则 $$x + y = 2$$。距离乘积为 $$x \cdot y$$，其取值范围为 $$[0, 1]$$，但需重新计算：
但 $$P$$ 在斜边上，实际范围为 $$[0, 1]$$，但选项无 $$[0, 1]$$，可能题目描述有误，最接近的是 A $$[0, 2]$$。
9. 由 $$0 < x < 1$$，利用柯西不等式：
当且仅当 $$\frac{a}{x} = \frac{b}{1 - x}$$ 时取等，选 A。
10. 由 $$a + b = 1$$ 且 $$b > a > 0$$，比较四个数：
- $$2ab \leq \frac{1}{2}$$。
- $$a^2 + b^2 = 1 - 2ab \geq \frac{1}{2}$$。
- $$b > \frac{1}{2}$$ 且 $$b > a^2 + b^2$$（因 $$b > a$$）。
最大的是 $$b$$，选 A。
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