.jpg)
正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$所对的边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，$$\angle A B C=1 2 0^{\circ}$$，直线$${{B}{D}}$$交$${{A}{C}}$$于点$${{D}}$$，将$${{△}{A}{B}{C}}$$分成两部分，且$$\angle C B D=3 \angle A B D$$，$${{B}{D}{=}{1}}$$，则$${{a}{+}{2}{c}}$$的最小值为（）
D
A.$$\frac{8 \sqrt2} {3}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '解三角形中的最值（范围）问题'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，且$$2 c \operatorname{c o s} B=2 a+b$$，若$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{S}{=}{\sqrt {3}}{c}}$$，则$${{a}{b}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{5}{6}}$$
B.$${{4}{8}}$$
C.$${{3}{6}}$$
D.$${{2}{8}}$$
3、['点到直线的距离'， '直线和圆相切'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%设$${{m}{，}{n}}$$为正实数，若直线$$( \mathit{m}+1 ) \mathit{\} x+\mathit{\} ( \mathit{n}+1 ) \mathit{\} y-4=0$$与圆$$x^{2}+y-^{2} 4 x-4 y+4=0$$相切，则$${{m}{n}{（}}$$）
D
A.有最小值$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$，无最大值
B.有最小值$${{3}{−}{2}{\sqrt {2}}}$$，最大值$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$
C.有最大值$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$，无最小值
D.有最小值$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$，无最大值
4、['对数（型）函数过定点'， '直线的一般式方程及应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%己知函数$$y=l o g_{a} \， \， ( \， x-1 ) \， \， \，+2 \， \， ( \， a > 0$$，且$${{a}{≠}{1}{）}}$$恒过定点$${{A}}$$．若直线$$m x+n y=2$$过点$${{A}}$$，其中$${{m}{，}{n}}$$是正实数，则$$\frac{1} {m}+\frac{2} {n}$$的最小值是（）
B
A.$${{3}{+}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\frac{9} {2}$$
D.$${{5}}$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知双曲线$$C_{1} \colon\ {\frac{x^{2}} {a^{2}}}-{\frac{y^{2}} {b^{2}}}=1 \ ( a > 0， \ b > 0 ) \， \ C_{2} \colon\ {\frac{y^{2}} {m^{2}}}-{\frac{x^{2}} {n^{2}}}=1 \ ( m > 0， \ n > 0 )$$，若双曲线$${{C}_{1}{，}{{C}_{2}}}$$的渐近线方程均为$$y=\pm k x \ ( \ k > 0 )$$，且离心率分别为$${{e}_{1}{，}{{e}_{2}}}$$，则$${{e}_{1}{+}{{e}_{2}}}$$的最小值为（）
B
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
6、['基本不等式'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%若$${{a}}$$，$${{b}{∈}{{R}_{+}}}$$，$$a b+2 a+b=4$$，则$${{a}{+}{b}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$$\sqrt{6}-1$$
C.$${{2}{\sqrt {6}}{−}{2}}$$
D.$${{2}{\sqrt {6}}{−}{3}}$$
7、['利用基本不等式求最值']正确率60.0%若实数$${{x}{，}{y}}$$满足$$x^{2}+y^{2}=1，$$则$$( 1-x y ) ( 1+x y )$$的最小值为（）
C
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\underset{\frac{9} {8}}} \\ \end{array}$$
8、['利用基本不等式求最值']正确率40.0%设$${{a}{>}{0}}$$，$${{b}{>}{0}}$$，且不等式$$\frac1 a+\frac1 b+\frac k {a+b} \geqslant0$$恒成立，则实数$${{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$${{k}{⩾}{−}{4}}$$
B.$${{k}{⩽}{0}}$$
C.$${{k}{⩾}{−}{3}}$$
D.$${{k}{⩾}{0}}$$
9、['利用基本不等式求最值']正确率80.0%函数$$y=\frac{4 x^{2}+2} {x} ( x > 0 )$$取得最小值时$${{x}}$$的取值为$${{(}{)}}$$
A.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
10、['指数式的大小的比较'， '对数的运算性质'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知$$a， ~ b， ~ c$$互不相等，且满足$$\frac{a^{2}+1} {a} < \left( \frac{1} {1 0} \right)^{b}=\mathrm{l g} b=| \mathrm{l g} c |$$，则（）
D
A.$$a > b > c$$
B.$$b > a > c$$
C.$$c > b > a$$
D.$$b > c > a$$
1. 解析：
在$$△ABC$$中，已知$$\angle ABC = 120^\circ$$，且$$\angle CBD = 3 \angle ABD$$，因此$$\angle ABD = 30^\circ$$，$$\angle CBD = 90^\circ$$。设$$BD = 1$$，则利用正弦定理和余弦定理求解：
在$$△ABD$$中，$$\frac{AD}{\sin 30^\circ} = \frac{1}{\sin C}$$；在$$△CBD$$中，$$\frac{DC}{\sin 90^\circ} = \frac{1}{\sin A}$$。结合$$AD + DC = AC$$，并设$$c = AB$$，$$a = BC$$，可得：
$$a + 2c = \frac{2\sqrt{3}}{3} + 2 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$$。
答案为：A。
2. 解析：
由条件$$2c \cos B = 2a + b$$，利用余弦定理化简得：
$$2c \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = 2a + b \Rightarrow a^2 + c^2 - b^2 = 2a^2 + ab$$
整理得：$$c^2 = a^2 + ab + b^2$$。
面积为$$\sqrt{3}c$$，即$$\frac{1}{2}ab \sin C = \sqrt{3}c$$。结合正弦定理和余弦定理，解得$$ab \geq 48$$。
答案为：B。
3. 解析：
圆的方程为$$(x-2)^2 + (y-2)^2 = 4$$，圆心$$(2,2)$$，半径$$2$$。直线$$(m+1)x + (n+1)y -4 =0$$与圆相切，故距离公式：
$$\frac{|2(m+1) + 2(n+1) -4|}{\sqrt{(m+1)^2 + (n+1)^2}} = 2$$
化简得$$(m+n)^2 = 2(m+1)(n+1)$$，进一步整理为$$mn = m + n + 1$$。设$$m + n = k$$，则$$mn = k + 1$$，利用不等式得$$k \geq 2 + 2\sqrt{2}$$，从而$$mn$$的最小值为$$3 + 2\sqrt{2}$$。
答案为：D。
4. 解析：
函数$$y = \log_a (x-1) + 2$$恒过定点$$A(2,2)$$。直线$$mx + ny = 2$$过$$A$$，故$$2m + 2n = 2$$，即$$m + n = 1$$。
利用不等式：
$$\frac{1}{m} + \frac{2}{n} \geq \frac{(1 + \sqrt{2})^2}{m + n} = 3 + 2\sqrt{2}$$。
答案为：B。
5. 解析：
双曲线$$C_1$$的渐近线$$y = \pm \frac{b}{a}x$$，$$C_2$$的渐近线$$y = \pm \frac{m}{n}x$$，由题意$$\frac{b}{a} = \frac{m}{n} = k$$。
离心率$$e_1 = \sqrt{1 + k^2}$$，$$e_2 = \sqrt{1 + \frac{1}{k^2}}$$，故$$e_1 + e_2 \geq 2\sqrt{2}$$，当$$k=1$$时取等。
答案为：B。
6. 解析：
由$$ab + 2a + b = 4$$，整理为$$(a+1)(b+2) = 6$$。设$$x = a+1$$，$$y = b+2$$，则$$xy = 6$$。
$$a + b = x + y - 3 \geq 2\sqrt{xy} - 3 = 2\sqrt{6} - 3$$。
答案为：D。
7. 解析：
$$(1 - xy)(1 + xy) = 1 - x^2y^2$$。由$$x^2 + y^2 = 1$$，利用不等式$$x^2y^2 \leq \left(\frac{x^2 + y^2}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$，故最小值为$$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$。
答案为：C。
8. 解析：
不等式$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{k}{a+b} \geq 0$$恒成立，整理得$$k \geq -\frac{(a+b)^2}{ab}$$。
由$$(a+b)^2 \geq 4ab$$，故$$-\frac{(a+b)^2}{ab} \leq -4$$，因此$$k \geq -4$$。
答案为：A。
9. 解析：
函数$$y = \frac{4x^2 + 2}{x} = 4x + \frac{2}{x}$$，利用不等式$$4x + \frac{2}{x} \geq 2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}$$，当且仅当$$4x = \frac{2}{x}$$，即$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$时取等。
答案为：D。
10. 解析：
由条件$$\left(\frac{1}{10}\right)^b = \lg b = |\lg c|$$，设$$\lg b = t$$，则$$b = 10^t$$，$$c = 10^{-t}$$或$$10^t$$（舍去后者）。
由$$\left(\frac{1}{10}\right)^b = t$$，解得$$b \approx 1$$，$$c \approx 0.1$$。又$$\frac{a^2 + 1}{a} < t$$，即$$a + \frac{1}{a} < 1$$，无解，故$$a < 1$$且$$a \neq c$$。
综上，$$b > c > a$$。
答案为：D。