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正确率40.0%已知$$5^{5} < 8^{4}， ~ 1 3^{4} < 8^{5}，$$设$$a=\operatorname{l o g}_{5} 3， \， \， \， b=\operatorname{l o g}_{8} 5， \， \， \， c=\operatorname{l o g}_{1 3} 8，$$则（）
A
A.$$a < b < c$$
B.$$b < a < c$$
C.$$b < c < a$$
D.$$c < a < b$$
2、['基本不等式的综合应用'， '椭圆的定义'， '椭圆的其他性质']正确率40.0%已知椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{P}}$$在椭圆$${{C}}$$上，线段$${{P}{{F}_{2}}}$$与圆：$$x^{2}+y^{2}=b^{2}$$相切于点$${{Q}}$$，若$${{Q}}$$是线段$${{P}{{F}_{2}}}$$的中点，$${{e}}$$为$${{C}}$$的离心率，则$$\frac{a^{2}+e^{2}} {3 b}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\sqrt2} 3$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{6}} {3}$$
3、['基本不等式的综合应用']正确率80.0%若两个正实数$${{x}}$$，$${{y}}$$满足$$\frac{4} {\sqrt{x}}+\frac{1} {\sqrt{y}}=1$$，且$$\sqrt{x}+4 \sqrt{y} > m^{2}-6 m$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$\{m |-8 < m < 2 \}$$
B.$$\{m | m <-8$$或$${{m}{>}{2}{\}}}$$
C.$$\{m |-2 < m < 8 \}$$
D.$$\{m | m <-2$$或$${{m}{>}{8}{\}}}$$
4、['基本不等式的综合应用'， '基本不等式的实际应用']正确率60.0%拟设计一幅宣传画，要求画面面积为$$4 8 4 0 \mathrm{c m^{2} \，，}$$它的两边都留有宽为$${{5}{{c}{m}}}$$的空白，顶部和底部都留有宽为$${{8}{{c}{m}}}$$的空白.当宣传画所用的纸张面积最小时，画面的高是（）
D
A.$${{4}{8}{{c}{m}}}$$
B.$${{6}{0}{{c}{m}}}$$
C.$${{7}{8}{{c}{m}}}$$
D.$${{8}{8}{{c}{m}}}$$
5、['基本不等式的综合应用'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '基本不等式链']正确率60.0%若$$a > 0， b > 0，$$且$$a+b=4，$$则下列不等式恒成立的是（）
B
A.$$\frac{1} {a b} > \frac{1} {2}$$
B.$$a^{2}+b^{2} \geqslant8$$
C.$$\sqrt{a b} \geqslant2$$
D.$$\frac1 a+\frac1 b \leq1$$
6、['基本不等式的综合应用'， '对数（型）函数的单调性'， '一般幂函数的图象和性质'， '不等式的性质']正确率40.0%已知$$a > b > 0$$，则下列结论中不正确的是（）
D
A.$$\frac{1} {a} < \frac{1} {b}$$
B.$$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}} {2}} > \frac{a+b} {2}$$
C.$$\sqrt{-a} < \sqrt{-b}$$
D.$$l o g_{0. 3} \frac{1} {a} < l o g_{0. 3} \frac{1} {b}$$
7、['基本不等式的综合应用'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']正确率60.0%下列四个函数中，能满足条件：$${{“}}$$对任意的$$x_{1}， \， \， x_{2} \in( 0，+\infty)$$，不等式$$\frac{f \left( x_{1} \right)+f \left( x_{2} \right)} {2} \geqslant f \left( \frac{x_{1}+x_{2}} {2} \right)$$恒成立$${{”}}$$的为（）
A
A.$$f \left( x \right)=2^{x}$$
B.$$f \left( x \right)=\operatorname{l o g}_{2} x$$
C.$$f \left( x \right)=\left-x^{2} \right.$$
D.$$f \left( x \right)=\sqrt{x}$$
8、['基本不等式的综合应用'， '不等式比较大小']正确率60.0%已知$${{a}{、}{b}}$$是不相等的正数，若$$x=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}} {\sqrt{2}}， \ y=\sqrt{a+b}$$，则（）
B
A.$${{x}{>}{y}}$$
B.$${{x}{<}{y}}$$
C.$${{x}{>}{\sqrt {2}}{y}}$$
D.$${{x}}$$与$${{y}}$$大小关系不确定
9、['基本不等式的综合应用']正确率60.0%某工厂生产某种产品，第一年产量为$${{A}{，}}$$第二年的增长率为$${{a}{，}}$$第三年的增长率为$${{b}{，}}$$这两年的平均增长率为$${{x}{，}}$$则（）
B
A.$$x=\frac{a+b} {2}$$
B.$$x \leq\frac{a+b} {2}$$
C.$$x > \frac{a+b} {2}$$
D.$$x \geqslant\frac{a+b} {2}$$
10、['基本不等式的综合应用']正确率60.0%若$${{a}{>}{0}}$$，$${{b}{>}{0}}$$且$$a+b=4$$，则下列不等式恒成立的是（）
D
A.$$\frac{1} {a b} > \frac{1} {2}$$
B.$$\frac1 a+\frac1 b \leq1$$
C.$$\sqrt{a b} \geqslant2$$
D.$$\frac{1} {a^{2}+b^{2}} \leq\frac{1} {8}$$
1. 解析：
由已知不等式 $$5^5 < 8^4$$ 和 $$13^4 < 8^5$$，取对数后转化为比较 $$a$$、$$b$$、$$c$$ 的大小。
对 $$5^5 < 8^4$$ 取对数得 $$5 \log_5 5 < 4 \log_5 8$$，即 $$5 < 4 \cdot \frac{1}{b}$$，整理得 $$b < \frac{4}{5}$$。
对 $$13^4 < 8^5$$ 取对数得 $$4 \log_{13} 13 < 5 \log_{13} 8$$，即 $$4 < 5c$$，整理得 $$c > \frac{4}{5}$$。
又因为 $$a = \log_5 3$$，而 $$3 < 5^{0.7}$$（因为 $$5^{0.7} \approx 3.8$$），所以 $$a < 0.7$$。
综上，$$a < b < c$$，故选 A。
2. 解析：
设椭圆 $$C$$ 的焦距为 $$2c$$，则 $$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$。
由题意，$$Q$$ 是 $$PF_2$$ 的中点，且 $$OQ$$ 垂直于 $$PF_2$$，故 $$OQ$$ 是 $$PF_2$$ 的中垂线，$$OP = OF_2 = c$$。
又 $$OQ = b$$，由勾股定理得 $$PQ = \sqrt{c^2 - b^2}$$，因此 $$PF_2 = 2 \sqrt{c^2 - b^2}$$。
根据椭圆性质，$$PF_1 + PF_2 = 2a$$，故 $$PF_1 = 2a - 2 \sqrt{c^2 - b^2}$$。
在 $$\triangle PF_1F_2$$ 中，由余弦定理和垂直关系化简可得 $$e = \frac{c}{a} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$$。
代入 $$\frac{a^2 + e^2}{3b}$$，化简后最小值为 $$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$$，故选 D。
3. 解析：
设 $$u = \sqrt{x}$$，$$v = \sqrt{y}$$，则约束条件为 $$\frac{4}{u} + \frac{1}{v} = 1$$。
由柯西不等式，$$(u + 4v)\left(\frac{4}{u} + \frac{1}{v}\right) \geq (2 + 2)^2 = 16$$，故 $$u + 4v \geq 16$$。
不等式 $$\sqrt{x} + 4 \sqrt{y} > m^2 - 6m$$ 恒成立，即 $$16 > m^2 - 6m$$。
解不等式 $$m^2 - 6m - 16 < 0$$，得 $$-2 < m < 8$$，故选 C。
4. 解析：
设画面的高为 $$h$$，宽为 $$w$$，则 $$hw = 4840$$。
纸张的宽度为 $$w + 10$$（两边各留 $$5\,\text{cm}$$），高度为 $$h + 16$$（顶部和底部各留 $$8\,\text{cm}$$）。
纸张面积 $$S = (w + 10)(h + 16) = 4840 + 16w + 10h + 160$$。
由 $$hw = 4840$$，代入 $$w = \frac{4840}{h}$$，得 $$S = 5000 + \frac{77440}{h} + 10h$$。
对 $$S$$ 关于 $$h$$ 求导并令导数为零，得 $$h = 88\,\text{cm}$$ 时 $$S$$ 最小，故选 D。
5. 解析：
由 $$a + b = 4$$，利用不等式性质逐一验证：
A. 当 $$a = b = 2$$ 时，$$\frac{1}{ab} = \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$$，不成立。
B. 由 $$a^2 + b^2 \geq \frac{(a + b)^2}{2} = 8$$，成立。
C. 由 $$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} = 2$$，与选项矛盾，不成立。
D. 当 $$a = 1$$，$$b = 3$$ 时，$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{4}{3} > 1$$，不成立。
故选 B。
6. 解析：
由 $$a > b > 0$$：
A. $$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$$ 正确。
B. 由平方平均大于算术平均，$$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} > \frac{a + b}{2}$$ 正确。
C. $$\sqrt{-a}$$ 和 $$\sqrt{-b}$$ 无意义，不正确。
D. 由对数函数性质，$$\log_{0.3} \frac{1}{a} < \log_{0.3} \frac{1}{b}$$ 正确。
故选 C。
7. 解析：
题目要求函数为凸函数（即二阶导数非负）。
A. $$f(x) = 2^x$$ 是凸函数，满足条件。
B. $$f(x) = \log_2 x$$ 是凹函数，不满足。
C. $$f(x) = -x^2$$ 是凹函数，不满足。
D. $$f(x) = \sqrt{x}$$ 是凹函数，不满足。
故选 A。
8. 解析：
比较 $$x = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2}}$$ 和 $$y = \sqrt{a + b}$$。
平方后比较：$$x^2 = \frac{a + b + 2 \sqrt{ab}}{2}$$，$$y^2 = a + b$$。
由不等式 $$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$$，得 $$x^2 \leq y^2$$，即 $$x \leq y$$。
因为 $$a \neq b$$，所以 $$x < y$$，故选 B。
9. 解析：
设平均增长率为 $$x$$，则 $$A(1 + a)(1 + b) = A(1 + x)^2$$。
由不等式 $$\sqrt{(1 + a)(1 + b)} \leq \frac{(1 + a) + (1 + b)}{2} = 1 + \frac{a + b}{2}$$，得 $$x \leq \frac{a + b}{2}$$。
故选 B。
10. 解析：
由 $$a + b = 4$$，利用不等式性质逐一验证：
A. 当 $$a = b = 2$$ 时，$$\frac{1}{ab} = \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$$，不成立。
B. 当 $$a = 1$$，$$b = 3$$ 时，$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{4}{3} > 1$$，不成立。
C. 由 $$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} = 2$$，与选项矛盾，不成立。
D. 由 $$a^2 + b^2 \geq \frac{(a + b)^2}{2} = 8$$，得 $$\frac{1}{a^2 + b^2} \leq \frac{1}{8}$$，成立。
故选 D。