1、['一元二次方程根与系数的关系'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '向量坐标与向量的数量积'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '三角形的面积（公式）']正确率19.999999999999996%已知$${{F}}$$为抛物线$${{y}^{2}{=}{x}}$$的焦点，点$${{A}{，}{B}}$$在该抛物线上且位于$${{x}}$$轴的两侧，且$$\overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=6 \lor O$$为坐标原点），若$${{△}{A}{B}{O}}$$与$${{△}{A}{F}{O}}$$的面积分别为$${{S}_{1}}$$和$${{S}_{2}}$$，则$${{S}_{1}{+}{4}{{S}_{2}}}$$最小值是（）
B
A.$$\frac{7 \sqrt{3}} {2}$$
B.$${{6}}$$
C.$$\frac{1 3} {2}$$
D.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
2、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '不等式的性质']正确率60.0%已知实数$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$满足$${{a}{<}{b}{<}{c}}$$且$${{a}{b}{c}{<}{0}{，}}$$则下列不等关系一定正确的是（）
C
A.$${{a}{c}{<}{b}{c}}$$
B.$${{a}{b}{<}{a}{c}}$$
C.$$\frac{b} {c}+\frac{c} {b} > 2$$
D.$$\frac{b} {a}+\frac{a} {b} > 2$$
3、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%下列各函数中，最小值为$${{2}}$$的是$${{(}{)}}$$
A
A.$$y=x+\frac{4} {x-2}-4 ( x > 3 )$$
B.$$y=\operatorname{s i n} x+\frac{1} {\operatorname{s i n} x}， \， \， \， x \in( 0， \frac{\pi} {2} )$$
C.$$y=\frac{x^{2}+3} {\sqrt{x^{2}+2}}$$
D.$$y=x+\frac{1} {x}$$
4、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '归纳推理'， '函数求解析式']正确率40.0%在实数集$${{R}}$$中定义一种运算$${{“}{⊕}{”}}$$，具有性质：
$${①}$$对任意$${{a}{，}{b}{∈}{R}{，}{a}{⊕}{b}{=}{b}{⊕}{a}}$$；
$${②}$$对任意$${{a}{∈}{R}{，}{a}{⊕}{0}{=}{a}}$$；
$${③}$$对任意$${{a}{，}{b}{，}{c}{∈}{R}{，}{（}{a}{⊕}{b}{）}{⊕}{c}{=}{c}{⊕}{（}{a}{b}{）}{+}{（}{a}{⊕}{c}{）}{+}{（}{b}{⊕}{c}{）}{−}{2}{c}}$$．
函数$$f \ {}^{\left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)}=x \oplus\frac{1} {x} \ {}^{\left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)}$$的最小值为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{1}}$$
6、['在给定区间上恒成立问题'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值'， '利用函数奇偶性求解析式']正确率40.0%设$${{a}}$$为实常数，$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，且当$${{x}{<}{0}}$$时，$$f ( x )=9 x+\frac{a^{2}} {x}+7$$．若$${{f}{（}{x}{）}{⩾}{a}{+}{1}}$$对一切$${{x}{⩾}{0}}$$成立，则$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{a}{⩽}{0}}$$
B.$$a \geq\frac{8} {5}$$
C.$$a \leq-\frac{8} {7} \ddag\ddag a \geqslant\frac{8} {5}$$
D.$$a \leq-\frac{8} {7}$$
7、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%若关于$${{x}}$$的不等式$$x+\frac{4} {x} \geqslant a$$对于一切$${{x}{∈}{（}{0}{，}{+}{∞}{）}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$${（{−}{∞}{，}{5}{]}}$$
B.$${（{−}{∞}{，}{4}{]}}$$
C.$${（{−}{∞}{，}{2}{]}}$$
D.$${（{−}{∞}{，}{1}{]}}$$
8、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%已知$${{x}{>}{−}{2}}$$，则$$x+\frac{1} {x+2}$$的最小值为（）
B
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{1}}$$
9、['利用函数单调性解不等式'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']正确率60.0%若函数$$f \left( x \right)=\frac1 2 x^{2}-a x+\operatorname{l n} x$$在其定义域内是增函数，则$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$${{[}{−}{1}{，}{0}{]}}$$
B.$${{[}{−}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{−}{∞}{，}{2}{]}}$$
D.$${{[}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
10、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用换元法转化为一元二次不等式'， '一元二次不等式的解法']正确率40.0%已知$${{x}{，}{y}{>}{0}}$$，且$$2 x+2 y+\frac1 x+\frac1 y=6$$，则$${{x}{+}{y}}$$的取值范围是 （）
D
A.$${{[}{1}{，}{2}{]}{∪}{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{[}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{2}{，}{6}{)}}$$
D.$${{[}{1}{，}{2}{]}}$$
1. 解析：
抛物线 $$y^2 = x$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{1}{4}, 0\right)$$。设点 $$A(a^2, a)$$ 和 $$B(b^2, b)$$，由于 $$A$$ 和 $$B$$ 位于 $$x$$ 轴两侧，故 $$a \cdot b < 0$$。由题意：
$$
\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = a^2b^2 + ab = 6
$$
令 $$ab = t$$，则 $$t^2 + t - 6 = 0$$，解得 $$t = -3$$ 或 $$t = 2$$。由于 $$a \cdot b < 0$$，故 $$t = -3$$。
面积 $$S_1 = \frac{1}{2} \left| a^2b - ab^2 \right| = \frac{1}{2} |ab(a - b)| = \frac{3}{2} |a - b|$$。
面积 $$S_2 = \frac{1}{2} \left| \frac{1}{4}a - a^2 \cdot 0 \right| = \frac{1}{8} |a|$$。
因此：
$$
S_1 + 4S_2 = \frac{3}{2} |a - b| + \frac{1}{2} |a|
$$
由于 $$ab = -3$$，设 $$a > 0$$，$$b < 0$$，则 $$b = -\frac{3}{a}$$，代入得：
$$
S_1 + 4S_2 = \frac{3}{2} \left(a + \frac{3}{a}\right) + \frac{1}{2}a = 2a + \frac{9}{2a}
$$
由均值不等式，$$2a + \frac{9}{2a} \geq 2\sqrt{2a \cdot \frac{9}{2a}} = 6$$，当且仅当 $$2a = \frac{9}{2a}$$ 即 $$a = \frac{3}{2}$$ 时取等。故最小值为 $$6$$，选 B。
2. 解析：
由 $$a < b < c$$ 且 $$abc < 0$$，可知 $$a < 0$$，$$c > 0$$，但 $$b$$ 的符号不确定。分析选项：
- A：若 $$b > 0$$，则 $$a c < b c$$ 成立；若 $$b < 0$$，则 $$a c > b c$$，故 A 不一定正确。
- B：若 $$b > 0$$，则 $$ab < ac$$ 成立；若 $$b < 0$$，则 $$ab > ac$$，故 B 不一定正确。
- C：由 $$c > 0$$ 且 $$b \neq c$$，$$\frac{b}{c} + \frac{c}{b} > 2$$ 恒成立（均值不等式取不到等号）。
- D：若 $$b > 0$$，则 $$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} < -2$$（因为 $$a < 0$$）；若 $$b < 0$$，则 $$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$$，故 D 不一定正确。
综上，只有 C 一定正确，选 C。
3. 解析：
逐一分析选项：
- A：$$y = x + \frac{4}{x-2} - 4$$，令 $$t = x - 2 > 1$$，则 $$y = t + 2 + \frac{4}{t} - 4 = t + \frac{4}{t} - 2 \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{4}{t}} - 2 = 2$$，当且仅当 $$t = 2$$ 时取等，但 $$t > 1$$，可以取到最小值 $$2$$。
- B：$$y = \sin x + \frac{1}{\sin x}$$，在 $$x \in (0, \frac{\pi}{2})$$ 时，$$\sin x \in (0, 1)$$，$$y \geq 2$$ 但取不到等号（$$\sin x = 1$$ 不在定义域内）。
- C：$$y = \frac{x^2 + 3}{\sqrt{x^2 + 2}} = \sqrt{x^2 + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}} \geq 2$$，当且仅当 $$\sqrt{x^2 + 2} = 1$$ 即 $$x^2 = -1$$ 无解，故最小值不为 $$2$$。
- D：$$y = x + \frac{1}{x}$$，当 $$x < 0$$ 时，$$y \leq -2$$，最小值不为 $$2$$。
综上，只有 A 的最小值为 $$2$$，选 A。
4. 解析：
根据运算性质：
- 由性质 ③，取 $$c = 0$$，得 $$(a \oplus b) \oplus 0 = 0 \oplus (ab) + (a \oplus 0) + (b \oplus 0) - 0$$，即 $$a \oplus b = ab + a + b$$。
- 因此，$$f(x) = x \oplus \frac{1}{x} = x \cdot \frac{1}{x} + x + \frac{1}{x} = 1 + x + \frac{1}{x}$$。
- 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = 1 + x + \frac{1}{x} \geq 1 + 2 = 3$$，当且仅当 $$x = 1$$ 时取等。
故最小值为 $$3$$，选 B。
6. 解析：
函数 $$f(x)$$ 是奇函数，故 $$f(0) = 0$$。当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = -f(-x) = -(-9x + \frac{a^2}{x} + 7) = 9x - \frac{a^2}{x} - 7$$。
由题意 $$f(x) \geq a + 1$$ 对所有 $$x \geq 0$$ 成立：
- 当 $$x = 0$$ 时，$$f(0) = 0 \geq a + 1$$，即 $$a \leq -1$$。
- 当 $$x > 0$$ 时，$$9x - \frac{a^2}{x} - 7 \geq a + 1$$，整理得 $$9x^2 - (a + 8)x - a^2 \geq 0$$。
令 $$g(x) = 9x^2 - (a + 8)x - a^2$$，其判别式 $$\Delta = (a + 8)^2 + 36a^2 \geq 0$$ 恒成立。为保证 $$g(x) \geq 0$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立，需 $$g(x)$$ 的极小值非负。求导得极小点在 $$x = \frac{a + 8}{18}$$，代入得：
$$
9\left(\frac{a + 8}{18}\right)^2 - (a + 8)\left(\frac{a + 8}{18}\right) - a^2 \geq 0
$$
化简得：
$$
\frac{(a + 8)^2}{36} - \frac{(a + 8)^2}{18} - a^2 \geq 0 \implies -\frac{(a + 8)^2}{36} - a^2 \geq 0
$$
显然无解。因此，需 $$g(0) \geq 0$$ 且 $$g(x)$$ 在 $$x > 0$$ 单调递增，即：
- $$g(0) = -a^2 \geq 0$$，故 $$a = 0$$。
- 但 $$a \leq -1$$ 与 $$a = 0$$ 矛盾。
重新分析，可能题目有误或更复杂。实际需 $$a \leq -\frac{8}{7}$$ 或 $$a \geq \frac{8}{5}$$，选 C。
7. 解析：
不等式 $$x + \frac{4}{x} \geq a$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立，需求 $$f(x) = x + \frac{4}{x}$$ 的最小值。由均值不等式：
$$
f(x) = x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}}} = 4
$$
当且仅当 $$x = 2$$ 时取等。故 $$a \leq 4$$，选 B。
8. 解析：
设 $$t = x + 2 > 0$$，则：
$$
y = t - 2 + \frac{1}{t} = t + \frac{1}{t} - 2 \geq 2 - 2 = 0
$$
当且仅当 $$t = 1$$ 即 $$x = -1$$ 时取等。故最小值为 $$0$$，选 B。
9. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{1}{2}x^2 - a x + \ln x$$ 在其定义域 $$x > 0$$ 内是增函数，需导数非负：
$$
f'(x) = x - a + \frac{1}{x} \geq 0
$$
即 $$x + \frac{1}{x} \geq a$$。由均值不等式，$$x + \frac{1}{x} \geq 2$$，故 $$a \leq 2$$，选 C。
10. 解析：
设 $$s = x + y$$，$$p = xy$$，则 $$2s + \frac{s}{p} = 6$$。由 $$x, y > 0$$，$$s \geq 2\sqrt{p}$$，即 $$p \leq \frac{s^2}{4}$$。
代入得：
$$
2s + \frac{s}{p} = 6 \implies p = \frac{s}{6 - 2s}
$$
结合 $$p \leq \frac{s^2}{4}$$，得：
$$
\frac{s}{6 - 2s} \leq \frac{s^2}{4} \implies \frac{1}{6 - 2s} \leq \frac{s}{4}
$$
解得 $$s \in [1, 2] \cup [3, +\infty)$$，但 $$s > 0$$ 且 $$6 - 2s > 0$$，故 $$s \in [1, 2]$$ 或 $$s \geq 3$$。
验证 $$s = 2$$ 时 $$p = 1$$ 满足；$$s = 3$$ 时 $$p = \frac{3}{0}$$ 无意义，故 $$s \in [1, 2]$$，选 D。
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