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正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$$R， ~ y=f ( x )+\mathrm{e}^{x}$$是偶函数$$y=f ( x )-3 \mathrm{e}^{x}$$是奇函数，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小值为（）
B
A.$${{e}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{2}{e}}$$
2、['对数（型）函数的值域'， '函数奇、偶性的定义'， '对数（型）函数的单调性'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} ( 1+4^{x} )-x，$$则下列说法正确的是（）
D
A.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$(-\infty， 0 ]$$上单调递增
B.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的值域为$${{R}}$$
C.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是奇函数
D.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是偶函数
3、['余弦定理及其应用'， '抛物线的定义'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点为$$F， ~ A ~ ( \mathit{x}_{1}， \mathit{\ensuremath{y}_{1}} ) ~， ~ B ~ ( \mathit{x}_{2}， \mathit{\ensuremath{y}_{2}} )$$是抛物线上两动点，若$$| A B |=\frac{\sqrt{3}} {2} ( x_{1}+x_{2}+2 )$$，则$${{∠}{A}{F}{B}}$$的最大值为（）
A
A.$$\frac{2 \pi} {3}$$
B.$$\frac{5 \pi} {6}$$
C.$$\frac{3 \pi} {4}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$
4、['共线向量基本定理'， '向量的线性运算'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%如图，在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，点$${{O}}$$满足$$\overrightarrow{B O}=2 \overrightarrow{O C}$$，过点$${{O}}$$的直线分别交直线$${{A}{B}}$$、$${{A}{C}}$$于不同的两点$${{M}}$$、$${{N}}$$．设$$\overrightarrow{A B}=m \overrightarrow{A M}$$，$$\overrightarrow{A C}=n \overrightarrow{A N}$$，则$$\frac{1} {m}+\frac{1} {n}$$的最小值是（）
D
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{5} {2}$$
C.$$\frac{3+\sqrt{2}} {3}$$
D.$$\frac{3+2 \sqrt2} {3}$$
5、['等差中项'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%设$$a > 0， \; b > 0$$，若$${{l}{g}{a}}$$和$${{l}{g}{b}}$$的等差中项是$${{0}}$$，则$${{a}{+}{b}}$$的最小值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
6、['利用基本不等式求最值']正确率80.0%若$${{a}{>}{0}}$$，$${{b}{>}{0}}$$，且$$a b=a+b+3$$，则$${{a}{+}{b}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{1}{2}}$$
7、['利用换元法转化为一元二次不等式'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知$$x+y=\frac{1} {x}+\frac{4} {y}+8 \， \， ( \， x， \， \， y > 0 )$$，则$${{x}{+}{y}}$$的最小值为（）
B
A.$${{5}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{4}{+}{\sqrt {{2}{6}}}}$$
D.$${{1}{0}}$$
8、['利用基本不等式求最值']正确率40.0%若$${{x}{<}{1}}$$，则函数$$y=\frac{2 7} {\left( 1-x \right)^{2}}-2 x$$的最小值为（）
B
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
9、['利用基本不等式求最值']正确率60.0%已知正实数$${{a}{，}{b}}$$满足$$\frac{1} {a}+\frac{2} {b}=3，$$则$$( \ a+1 ) \setminus( \ b+2 )$$的最小值是（）
B
A.$$\frac{2 5} {3}$$
B.$$\frac{5 0} {9}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{6}}$$
10、['利用基本不等式求最值']正确率60.0%若$${{x}{<}{1}}$$，则$$\frac{x^{2}-4 x+7} {x-1}$$的（）
D
A.最小值为$${{2}}$$
B.最大值为$${{2}}$$
C.最小值为$${{−}{6}}$$
D.最大值为$${{−}{6}}$$
1. 解析：
又 $$y = f(x) - 3e^x$$ 是奇函数，所以 $$f(-x) - 3e^{-x} = -f(x) + 3e^x$$。
联立两式解得 $$f(x) = \frac{e^x + 3e^{-x}}{2}$$。
利用不等式 $$f(x) \geq \sqrt{e^x \cdot 3e^{-x}} = \sqrt{3}$$，当且仅当 $$e^x = \sqrt{3}e^{-x}$$ 即 $$x = \frac{1}{2}\ln 3$$ 时取等。
因此最小值为 $$2\sqrt{3}$$，选 C。
2. 解析：
A. 当 $$x \leq 0$$，设 $$x_1 < x_2 \leq 0$$，则 $$4^{x_1} < 4^{x_2}$$，$$1 + 4^{x_1} < 1 + 4^{x_2}$$，故 $$f(x_1) < f(x_2)$$，单调递增，正确。
B. $$f(x) = \log_2(1 + 4^x) - x = \log_2\left(\frac{1 + 4^x}{2^x}\right) = \log_2(2^{-x} + 2^x) \geq \log_2(2) = 1$$，值域为 $$[1, +\infty)$$，错误。
C. $$f(-x) = \log_2(1 + 4^{-x}) + x = \log_2\left(\frac{1 + 4^{-x}}{2^{-x}}\right) = \log_2(2^x + 2^{-x}) = f(x)$$，是偶函数，错误。
D. 由 C 知是偶函数，正确。
综上，选 AD。
3. 解析：
由题意 $$|AB| = \frac{\sqrt{3}}{2}(x_1 + x_2 + 2)$$。
利用抛物线性质，$$|AF| = x_1 + 1$$，$$|BF| = x_2 + 1$$。
由余弦定理，$$\cos \angle AFB = \frac{|AF|^2 + |BF|^2 - |AB|^2}{2|AF||BF|} = \frac{(x_1 + 1)^2 + (x_2 + 1)^2 - \frac{3}{4}(x_1 + x_2 + 2)^2}{2(x_1 + 1)(x_2 + 1)}$$。
化简得 $$\cos \angle AFB = \frac{1}{2}$$，故 $$\angle AFB = \frac{\pi}{3}$$ 为最大值，选 D。
4. 解析：
设 $$\overrightarrow{AB} = m \overrightarrow{AM}$$，$$\overrightarrow{AC} = n \overrightarrow{AN}$$。
利用向量共线定理和面积比，可得 $$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$$。
但进一步推导可得 $$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} \geq \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3}$$，当且仅当 $$m = 1 + \sqrt{2}$$，$$n = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 时取等。
因此最小值为 $$\frac{3 + 2\sqrt{2}}{3}$$，选 D。
5. 解析：
$$a + b \geq 2\sqrt{ab} = 2$$，当且仅当 $$a = b = 1$$ 时取等。
因此最小值为 2，选 B。
6. 解析：
设 $$a + b = t$$，则 $$t \geq 2\sqrt{ab}$$，结合 $$ab = t + 3$$，解得 $$t \geq 6$$。
当且仅当 $$a = b = 3$$ 时取等，选 B。
7. 解析：
由柯西不等式，$$\left(\frac{1}{x} + \frac{4}{y}\right)(x + y) \geq (1 + 2)^2 = 9$$。
故 $$k(x + y) \geq 9 + 8(x + y)$$，即 $$k^2 - 8k - 9 \geq 0$$，解得 $$k \geq 9$$。
当且仅当 $$x = 1$$，$$y = 4$$ 时取等，选 B。
8. 解析：
求导得 $$y' = -\frac{54}{t^3} + 2$$，令 $$y' = 0$$ 得 $$t = 3$$。
代入得 $$y = \frac{27}{9} + 6 - 2 = 7$$，选 B。
9. 解析：
目标式 $$(a + 1)(b + 2) = ab + 2a + b + 2$$。
代入 $$a$$ 并化简，利用不等式可得最小值为 $$\frac{50}{9}$$，选 B。
10. 解析：
由于 $$t < 0$$，$$t + \frac{4}{t} \leq -4$$，故 $$y \leq -6$$。
当且仅当 $$t = -2$$ 即 $$x = -1$$ 时取最大值 $$-6$$，选 D。