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正确率60.0%已知命题$$p_{:} ~ \forall a \in R$$，且$${{a}{>}{0}}$$，有$$a+\frac{1} {a} \geqslant2$$，命题$$q \colon~ \exists x \in R， ~ \operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x=\sqrt{3}$$，则下列判断正确的是（）
C
A.$${{p}}$$是假命题
B.$${{q}}$$是真命题
C.$$p \wedge( \neg q )$$是真命题
D.$$( \neg p ) \wedge q$$是真命题
2、['三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '基本不等式的实际应用']正确率40.0%连接双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$与$$\frac{y^{2}} {b^{2}}-\frac{x^{2}} {a^{2}}=1$$的四个顶点构成的四边形的面积为$${{S}_{1}}$$，连接它们的四个焦点构成的四边形的面积为$${{S}_{2}}$$，则$${{S}_{1}{：}{{S}_{2}}}$$的最大值是（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
3、['函数的最大(小)值'， '椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '点与椭圆的位置关系'， '“对勾”函数的应用'， '基本不等式的实际应用']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆$$m x^{2}+y^{2}=m ~ ( \d0 < m < 1 )$$的左$${、}$$右焦点，$${{P}}$$为椭圆上任意一点，若$$\frac{| \overrightarrow{P F_{2}} |^{2}+| \overrightarrow{P F_{1}} |} {| \overrightarrow{P F_{1}} |}$$的最小值为$$\frac{4} {3}，$$则椭圆的离心率是（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{1} {5}$$
4、['等比数列的性质'， '等差数列的性质'， '基本不等式的实际应用']正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是正项等比数列，$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$是等差数列，且$${{a}_{6}{=}{{b}_{7}}}$$，则有$${{(}{)}}$$
B
A.$$a_{3}+a_{9} \leq b_{4}+b_{1 0}$$
B.$$a_{3}+a_{9} \geqslant b_{4}+b_{1 0}$$
C.$$a_{3}+a_{9} \neq b_{4}+b_{1 0}$$
D.$${{a}_{3}{+}{{a}_{9}}}$$与$$b_{4}+b_{1 0}$$大小不确定
5、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '利用导数讨论函数单调性'， '数列的通项公式'， '基本不等式的实际应用']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$a_{1}=a， \ a_{n+1}=\frac{a_{n}} {2}+\frac{1} {a_{n}} ( n \in N * )$$，则下列关于$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的判断正确的是$${{(}{)}}$$
D
A.$$\forall a > 0， ~ \exists n \geq2，$$使得$${{a}_{n}{<}{\sqrt {2}}}$$
B.$$\exists a > 0， \; \exists n \geq2，$$使得$$a_{n} < a_{n+1}$$
C.$$\forall a > 0， \， \， \exists m \in N *，$$总有$${{a}_{m}{<}{{a}_{n}}}$$
D.$$\exists a > 0， \; \exists m \in N *，$$总有$$a_{m+n}=a_{n}$$
6、['基本不等式的综合应用'， '基本不等式的实际应用']正确率60.0%拟设计一幅宣传画，要求画面面积为$$4 8 4 0 \mathrm{c m^{2} \，，}$$它的两边都留有宽为$${{5}{{c}{m}}}$$的空白，顶部和底部都留有宽为$${{8}{{c}{m}}}$$的空白.当宣传画所用的纸张面积最小时，画面的高是（）
D
A.$${{4}{8}{{c}{m}}}$$
B.$${{6}{0}{{c}{m}}}$$
C.$${{7}{8}{{c}{m}}}$$
D.$${{8}{8}{{c}{m}}}$$
7、['基本不等式的实际应用']正确率60.0%在某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度$${{a}}$$匀速跑，后半程以速度$${{b}}$$匀速跑；选手乙前一半时间以速度$${{a}}$$匀速跑，后一半时间以速度$${{b}}$$匀速跑(注：速度单位$${{m}{/}{s}{)}}$$.若$${{a}{≠}{b}{，}}$$则（）
B
A.甲先到达终点
B.乙先到达终点
C.甲、乙同时到达终点
D.无法确定谁先到达终点
9、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值'， '基本不等式的实际应用']正确率60.0%已知$$a， \; b \in R^{+}$$，且$$\frac{1} {a}+\frac{2} {b}=4，$$则$${{a}{+}{2}{b}}$$的最小值是（）
B
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{9} {4}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$${{3}}$$
10、['利用基本不等式求最值'， '基本不等式的实际应用']正确率60.0%小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为$${{a}}$$和$$b \ ( \ a > b )$$，其全程的平均时速为$${{v}}$$，则（）
B
A.$$a < v < \sqrt{a b}$$
B.$$b < v < \sqrt{a b}$$
C.$$\sqrt{a b} < v < \frac{a+b} {2}$$
D.$$v=\frac{a+b} {2}$$
1. 解析：
命题 $$p$$ 由基本不等式可知，对于 $$a > 0$$，$$a + \frac{1}{a} \geq 2$$ 成立，因此 $$p$$ 是真命题。
命题 $$q$$ 考虑 $$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$，其取值范围为 $$[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$。由于 $$\sqrt{3} > \sqrt{2}$$，不存在实数 $$x$$ 满足等式，故 $$q$$ 是假命题。
选项分析：
A. $$p$$ 是真命题，错误。
B. $$q$$ 是假命题，错误。
C. $$p \wedge (\neg q)$$ 是真命题，正确。
D. $$(\neg p) \wedge q$$ 是假命题，错误。
答案：C。
2. 解析：
双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的顶点为 $$(\pm a, 0)$$，焦点为 $$(\pm c, 0)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$。
双曲线 $$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$$ 的顶点为 $$(0, \pm b)$$，焦点为 $$(0, \pm c)$$。
四个顶点构成的四边形是矩形，面积 $$S_1 = 2a \times 2b = 4ab$$。
四个焦点构成的四边形是菱形，面积 $$S_2 = \frac{1}{2} \times 2c \times 2c = 2c^2 = 2(a^2 + b^2)$$。
比值 $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4ab}{2(a^2 + b^2)} = \frac{2ab}{a^2 + b^2} \leq 1$$（当且仅当 $$a = b$$ 时取等）。
答案：B。
3. 解析：
椭圆方程化为 $$\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{m} = 1$$，其中 $$0 < m < 1$$，故长轴在 $$y$$ 轴，焦距 $$c = \sqrt{m - 1}$$（无意义，应为 $$c = \sqrt{1 - m}$$）。
设 $$P(x, y)$$ 在椭圆上，则 $$|PF_1| + |PF_2| = 2\sqrt{m}$$，且 $$|PF_1| = \sqrt{x^2 + (y + c)^2}$$，$$|PF_2| = \sqrt{x^2 + (y - c)^2}$$。
化简 $$\frac{|PF_2|^2 + |PF_1|}{|PF_1|}$$ 并求最小值，可得离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{1 - m}}{\sqrt{m}}$$，结合最小值为 $$\frac{4}{3}$$，解得 $$m = \frac{9}{16}$$，故 $$e = \frac{1}{3}$$。
答案：B。
4. 解析：
设等比数列 $$\{a_n\}$$ 的公比为 $$q$$，等差数列 $$\{b_n\}$$ 的公差为 $$d$$，且 $$a_6 = b_7$$。
由 $$a_3 + a_9 = a_6(q^{-3} + q^3)$$，$$b_4 + b_{10} = 2b_7 = 2a_6$$。
由于 $$q > 0$$，由不等式 $$q^{-3} + q^3 \geq 2$$（当且仅当 $$q = 1$$ 时取等），故 $$a_3 + a_9 \geq b_4 + b_{10}$$。
答案：B。
5. 解析：
递推关系 $$a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{a_n}$$ 是牛顿迭代法求 $$\sqrt{2}$$ 的公式。
对于任意 $$a > 0$$，数列 $$\{a_n\}$$ 收敛于 $$\sqrt{2}$$，且从第二项开始单调递减趋近于 $$\sqrt{2}$$。
选项分析：
A. 对于任意 $$a > 0$$，存在 $$n \geq 2$$ 使得 $$a_n < \sqrt{2}$$，正确。
B. 不存在 $$a > 0$$ 使得 $$a_n < a_{n+1}$$（数列单调递减），错误。
C. 对于任意 $$a > 0$$，存在 $$m$$ 使得 $$a_m < a_n$$ 不成立（数列递减，$$a_m$$ 随 $$m$$ 增大而减小），错误。
D. 不存在 $$a > 0$$ 使得 $$a_{m+n} = a_n$$（数列收敛但不稳定），错误。
答案：A。
6. 解析：
设画面高为 $$h$$ cm，宽为 $$\frac{4840}{h}$$ cm。
纸张面积 $$S = (h + 16)\left(\frac{4840}{h} + 10\right) = 4840 + 10h + \frac{77440}{h} + 160$$。
求导得 $$S' = 10 - \frac{77440}{h^2}$$，令 $$S' = 0$$，解得 $$h = 88$$ cm。
答案：D。
7. 解析：
设全程为 $$2d$$，选手甲用时 $$t_1 = \frac{d}{a} + \frac{d}{b}$$。
选手乙用时 $$t_2$$，满足 $$\frac{t_2}{2}a + \frac{t_2}{2}b = 2d$$，故 $$t_2 = \frac{4d}{a + b}$$。
比较 $$t_1$$ 和 $$t_2$$：
$$t_1 - t_2 = d\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{a + b}\right) = d \cdot \frac{(a - b)^2}{ab(a + b)} > 0$$（因为 $$a \neq b$$），故 $$t_1 > t_2$$，乙先到达。
答案：B。
9. 解析：
由 $$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 4$$，利用柯西不等式：
$$(a + 2b)\left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b}\right) \geq (1 + 2)^2 = 9$$，故 $$a + 2b \geq \frac{9}{4}$$。
当且仅当 $$\frac{a}{1} = \frac{b}{2}$$ 时取等，即 $$a = \frac{3}{4}$$，$$b = \frac{3}{2}$$。
答案：B。
10. 解析：
设甲乙两地距离为 $$d$$，全程平均时速 $$v = \frac{2d}{\frac{d}{a} + \frac{d}{b}} = \frac{2ab}{a + b}$$。
比较 $$v$$ 与 $$\sqrt{ab}$$：
$$v - \sqrt{ab} = \frac{2ab - (a + b)\sqrt{ab}}{a + b} = \frac{\sqrt{ab}(2\sqrt{ab} - \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} - \sqrt{b} \cdot \sqrt{a})}{a + b} < 0$$，故 $$v < \sqrt{ab}$$。
又 $$v > b$$（因为 $$a > b$$），故 $$b < v < \sqrt{ab}$$。
答案：B。