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正确率60.0%“$${{a}{=}{2}}$$”是“$$\forall x > 0， ~ x+\frac{1} {x} \geq a$$”的（）
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['基本不等式的综合应用'， '对数的运算性质']正确率60.0%设$$a=\operatorname{l o g}_{2} 3， b=\operatorname{l o g}_{2} {\frac{4} {3}}$$，则$$\frac{a+b} {2}， a b， \frac b a$$的大小关系为（）
C
A.$$a b > \frac{a+b} {2} > \frac{b} {a}$$
B.$$\frac{a+b} {2} > \frac{b} {a} > a b$$
C.$${\frac{a+b} {2}} > a b > {\frac{b} {a}}$$
D.$$a b > \frac b a > \frac{a+b} 2$$
3、['基本不等式的综合应用'， '有理数指数幂的运算性质']正确率60.0%已知$$a， \， \， b \in R$$，且$$2 a-3 b+6=0$$，则$$4^{a}+\frac{1} {8^{b}}$$的最小值为（）
D
A.$${{1}{2}{8}}$$
B.$$\frac{1} {3 2}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
4、['基本不等式的综合应用'， '向量坐标与向量的数量积'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率19.999999999999996%已知圆$${{O}}$$为$$R t \triangle A B C$$的内切圆，$$A C=3， \， \， \， B C=4， \， \， \， \angle C=9 0^{\circ}$$，过圆心$${{O}}$$的直线$${{l}}$$交圆$${{O}}$$于$${{P}{，}{Q}}$$两点，则$$\overrightarrow{B P} \cdot\overrightarrow{C Q}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$(-7， 1 )$$
B..$$[ 0， 1 ]$$
C.$$[-7， 0 ]$$
D.$$[-7， 1 ]$$
5、['基本不等式的综合应用']正确率60.0%下列不等式中恒成立的个数是（）
$$( 1 ) a+\frac{1} {a} \geq2$$；$$( 2 ) (-a )+\left(-\frac{1} {a} \right) \leqslant-2$$；
$$( 3 ) a^{2}+\frac{1} {a^{2}} \geq2$$；$$( 4 ) (-a )^{2}+\left(-\frac{1} {a} \right)^{2} \leqslant-2$$.
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['基本不等式的综合应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%若正实数$${{a}{，}{b}}$$满足$$\frac{1} {a+1}+\frac{1} {b+2}=\frac{1} {4}，$$则$$a b+a+b$$的最小值为（$${）}$$．
A
A.$$2 7+1 6 \sqrt{3}$$
B.$${{8}{\sqrt {3}}}$$
C.$$1 5+4 \sqrt{3}$$
D.$$1 9+1 6 \sqrt{3}$$
7、['基本不等式的综合应用'， '对数的运算性质']正确率60.0%已知正数$${{x}{，}{y}}$$满足$$\operatorname{l o g}_{2} ~ ( x+y+3 ) ~=\operatorname{l o g}_{2} x+\operatorname{l o g}_{2} y+1$$，则$${{x}{+}{y}}$$的取值范围是（）
C
A.$$[ 6， ~+\infty)$$
B.$$( \ 0， \ \ 6 ]$$
C.$$[ 1+\sqrt{7}， ~+\infty)$$
D.$$( 0， ~ 1+\sqrt{7} ]$$
8、['基本不等式的综合应用'， '基本不等式链']正确率40.0%已知$${{a}}$$，$${{b}}$$为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是（）
B
A.$$\frac{2} {a+b}$$
B.$$\frac1 a+\frac1 b$$
C.$$\frac{2} {\sqrt{a b}}$$
D.$$\sqrt{\frac{2} {a^{2}+b^{2}}}$$
9、['基本不等式的综合应用'， '利用基本不等式证明不等式']正确率60.0%若$$a > b > 0$$，则下列不等式成立的是（）
B
A.$$a > b > \frac{a+b} 2 > \sqrt{a b}$$
B.$$a > \frac{a+b} {2} > \sqrt{a b} > b$$
C.$$a > \frac{a+b} {2} > b > \sqrt{a b}$$
D.$$a > \sqrt{a b} > \frac{a+b} {2} > b$$
10、['基本不等式的综合应用']正确率40.0%设$$a > b > c$$，$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，且$$\frac1 {a-b}+\frac1 {b-c} \geqslant\frac n {a-c}$$恒成立，则$${{n}}$$的最大值为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
1、首先分析不等式 $$x + \frac{1}{x} \geq a$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立的最小 $$a$$ 值。由均值不等式，$$x + \frac{1}{x} \geq 2$$，当且仅当 $$x = 1$$ 时取等。因此，$$a \leq 2$$ 时不等式恒成立。题目中给出 $$a = 2$$ 是充分条件，但不是必要条件（因为 $$a$$ 可以更小）。故选 **A**。
$$a + b = \log_2 3 + \log_2 \frac{4}{3} = \log_2 4 = 2$$，故 $$\frac{a+b}{2} = 1$$。
$$ab = \log_2 3 \cdot \log_2 \frac{4}{3} \approx 1.585 \times 0.415 \approx 0.658$$。
$$\frac{b}{a} = \frac{\log_2 \frac{4}{3}}{\log_2 3} \approx \frac{0.415}{1.585} \approx 0.262$$。
因此，$$\frac{a+b}{2} > ab > \frac{b}{a}$$，选 **C**。3、由 $$2a - 3b + 6 = 0$$ 得 $$b = \frac{2a + 6}{3}$$。将 $$4^a + \frac{1}{8^b}$$ 表示为 $$4^a + 8^{-b} = 2^{2a} + 2^{-3b}$$。代入 $$b$$ 得 $$2^{2a} + 2^{-2a - 6}$$。设 $$t = 2^{2a}$$，则表达式为 $$t + \frac{1}{64t}$$。由均值不等式，$$t + \frac{1}{64t} \geq 2 \sqrt{\frac{t}{64t}} = \frac{1}{4}$$，当且仅当 $$t = \frac{1}{8}$$ 时取等。故选 **D**。
计算 $$\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{CQ} = (1 \pm \cos \theta)(1 \mp \cos \theta) + (-3 \pm \sin \theta)(1 \mp \sin \theta) = 1 - \cos^2 \theta - 3 + 3 \sin \theta \mp \sin \theta \pm \sin^2 \theta$$。由于对称性，结果为 $$-2 - \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 2 \sin \theta = -2 \cos 2\theta + 2 \sin \theta - 2$$。其取值范围为 $$[-7, 1]$$，选 **D**。
5、分析不等式：
(1) $$a + \frac{1}{a} \geq 2$$ 当 $$a > 0$$ 时成立；
(2) $$-a - \frac{1}{a} \leq -2$$ 当 $$a > 0$$ 时成立；
(3) $$a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2$$ 对所有 $$a \neq 0$$ 成立；
(4) $$(-a)^2 + \left(-\frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2$$，原式错误。
因此，(1)(2)(3) 正确，选 **C**。6、设 $$x = a + 1$$，$$y = b + 2$$，则 $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$$，且 $$x > 1$$，$$y > 2$$。由调和均值不等式，$$\frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \leq \frac{x + y}{2}$$，即 $$8 \leq \frac{x + y}{2}$$，故 $$x + y \geq 16$$。目标式为 $$(x-1)(y-2) + (x-1) + (y-2) = xy - 2$$。由约束条件，$$y = \frac{4x}{x - 4}$$，代入得 $$xy - 2 = \frac{4x^2}{x - 4} - 2$$。求导得极小值为 $$27 + 16 \sqrt{3}$$，选 **A**。
7、由题意得 $$x + y + 3 = 2xy$$。设 $$s = x + y$$，$$p = xy$$，则 $$s + 3 = 2p$$。由均值不等式，$$p \leq \frac{s^2}{4}$$，代入得 $$s + 3 \leq \frac{s^2}{2}$$，解得 $$s \geq 6$$ 或 $$s \leq -1$$（舍去）。故 $$x + y \in [6, +\infty)$$，选 **A**。
8、比较四个选项：
由调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数，对于不等的正数 $$a, b$$：
$$\frac{2}{a + b} < \frac{2}{\sqrt{ab}} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$，且 $$\sqrt{\frac{2}{a^2 + b^2}}$$ 最小。因此 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$ 最大，选 **B**。
9、由 $$a > b > 0$$，根据均值不等式，$$a > \frac{a + b}{2} > \sqrt{ab} > b$$，选 **B**。
10、设 $$a - b = x$$，$$b - c = y$$，则 $$a - c = x + y$$。不等式化为 $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{n}{x + y}$$。由调和均值不等式，$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$$，故 $$n \leq 4$$，最大值为 **C**。
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