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正确率60.0%已知$${{x}{∈}{{(}{0}{，}{{\frac{π}{2}}}{]}}}$$，则函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}{+}{{\frac{4}_{{s}{i}{n}{x}}}}}$$的最小值为（）
A
A.$${{5}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
3、['导数的几何意义'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%设点$${{P}}$$为函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{\frac{1}{2}}}{(}{{x}^{3}}{−}{{\frac{1}{x}}}{)}}$$图象上任一点，且$${{f}{(}{x}{)}}$$在点$${{P}}$$处的切线的倾斜角为$${{α}{，}}$$则$${{α}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{[}{{\frac{π}{6}}}{，}{{\frac{π}{3}}}{]}}$$
B.$${{[}{{\frac{π}{6}}}{，}{{\frac^{{2}{π}}{3}}}{]}}$$
C.$${{[}{{\frac{π}{6}}}{，}{{\frac{π}{2}}}{)}}$$
D.$${{[}{{\frac{π}{3}}}{，}{{\frac{π}{2}}}{)}}$$
4、['利用诱导公式化简'， '用余弦定理、正弦定理解三角形'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$${{\frac{1}_{{t}{a}{n}{B}}}{+}{{\frac{1}_{{t}{a}{n}{C}}}}{=}{{\frac{1}_{{t}{a}{n}{A}}}}{，}}$$则$${{c}{o}{s}{A}}$$的取值范围为（）
D
A.$${{(}{0}{，}{{\frac{1}{3}}}{]}}$$
B.$${{[}{{\frac{1}{3}}}{，}{1}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{{\frac{2}{3}}}{]}}$$
D.$${{[}{{\frac{2}{3}}}{，}{1}{)}}$$
5、['向量的线性运算'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，过中线$${{A}{D}}$$的中点$${{E}}$$任作一直线分别交边$${{A}{B}}$$、$${{A}{C}}$$于$${{M}}$$、$${{N}}$$两点，设$$None$$，$$None$$，
（$${{x}}$$、$${{y}{≠}{0}}$$），则$${{4}{x}{+}{y}}$$的最小值是（）。
D
A.$${{\frac{3}{4}}}$$
B.$${{\frac{5}{4}}}$$
C.$${{\frac{7}{4}}}$$
D.$${{\frac{9}{4}}}$$
6、['圆与圆的位置关系及其判定'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%两个圆$${{C}_{1}{：}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{+}{2}{a}{x}{+}{{a}^{2}}{−}{4}{=}{0}{(}{a}{∈}{R}{)}}$$与$${{C}_{2}{：}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{b}{y}{−}{1}{+}{{b}^{2}}{=}{0}{(}{b}{∈}{R}{)}}$$恰有三条公切线，则$${{a}{+}{b}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{−}{3}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{−}{6}}$$
7、['数列的函数特征'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项为$${{a}_{n}{=}{{\frac{n}_{{n}^{2}{+}{{5}{8}}}}}}$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的最大值为（）
C
A.$${{\frac{1}_{{2}{\sqrt {{5}{8}}}}}}$$
B.$${{\frac{7}_{{1}{0}{7}}}}$$
C.$${{\frac{4}_{{6}{1}}}}$$
D.不存在
8、['利用基本不等式求最值']正确率60.0%已知$${{a}{>}{0}{，}{b}{>}{0}{，}}$$且$${{a}{+}{2}{b}{=}{a}{b}{，}}$$则$${{a}{+}{b}}$$的最小值是（）
B
A.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{3}{2}}$$
9、['单调性的定义与证明'， '函数单调性的判断'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%如果函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$图象上任意一点的坐标$${（{x}{，}{y}{）}}$$都满足方程$${{l}{g}{（}{x}{+}{y}{）}{=}{l}{g}{x}{+}{l}{g}{y}}$$，那么正确的选项是（）
C
A.$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$是区间$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$上的减函数，且$${{x}{+}{y}{⩽}{4}}$$
B.$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$是区间$${（{1}{，}{+}{∞}{）}}$$上的增函数，且$${{x}{+}{y}{⩾}{4}}$$
C.$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$是区间$${（{1}{，}{+}{∞}{）}}$$上的减函数，且$${{x}{+}{y}{⩾}{4}}$$
D.$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$是区间$${（{1}{，}{+}{∞}{）}}$$上的减函数，且$${{x}{+}{y}{⩽}{4}}$$
10、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%已知$${{x}{>}{0}{，}{y}{>}{0}}$$，若$${{x}{+}{y}{=}{1}}$$，则$${{\frac{1}_{{x}{y}}}}$$的最小值为
A
A.$${{4}}$$
B.$${{\frac{1}{4}}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{\frac{1}{2}}}$$
第2题解析：
函数 $$y = \sin x + \frac{4}{\sin x}$$ 在区间 $$x \in (0, \frac{\pi}{2}]$$ 上求最小值。
设 $$t = \sin x$$，则 $$t \in (0, 1]$$，函数变为 $$y = t + \frac{4}{t}$$。
求导得 $$y' = 1 - \frac{4}{t^2}$$，令导数为零，解得 $$t = 2$$，但 $$t \in (0, 1]$$，故最小值在边界 $$t = 1$$ 处取得：
$$y(1) = 1 + 4 = 5$$。
因此，最小值为 $$5$$，选项 A 正确。
第3题解析：
函数 $$f(x) = \frac{1}{2}(x^3 - \frac{1}{x})$$ 的导数为 $$f'(x) = \frac{1}{2}(3x^2 + \frac{1}{x^2})$$。
因为 $$3x^2 + \frac{1}{x^2} \geq 2\sqrt{3}$$（由 AM-GM 不等式），所以 $$f'(x) \geq \sqrt{3}$$。
切线的斜率 $$k = f'(x) \geq \sqrt{3}$$，对应的倾斜角 $$\alpha$$ 满足 $$\tan \alpha \geq \sqrt{3}$$，即 $$\alpha \in [\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$$。
选项 D 正确。
第4题解析：
在 $$\triangle ABC$$ 中，由条件 $$\frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan C} = \frac{1}{\tan A}$$，可以化简为 $$\tan A = \frac{\tan B \tan C}{\tan B + \tan C}$$。
利用 $$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$$，代入得 $$\tan^2 A = 1 + \tan B \tan C$$。
因为 $$\tan B \tan C > 0$$，所以 $$\tan^2 A \geq 1$$，即 $$\tan A \geq 1$$ 或 $$\tan A \leq -1$$（舍去负值）。
因此 $$\cos A = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 A}} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$$，但进一步推导可得 $$\cos A \in (0, \frac{1}{3}]$$。
选项 A 正确。
第5题解析：
设 $$E$$ 为中线 $$AD$$ 的中点，通过向量法或坐标法分析可得 $$4x + y$$ 的最小值。
利用面积比和参数化方法，可以证明 $$4x + y \geq \frac{9}{4}$$，当且仅当 $$x = \frac{3}{4}$$，$$y = \frac{3}{2}$$ 时取到最小值。
选项 D 正确。
第6题解析：
两圆 $$C_1$$ 和 $$C_2$$ 的方程分别为 $$(x + a)^2 + y^2 = 4$$ 和 $$x^2 + (y - b)^2 = 1$$，圆心距为 $$\sqrt{a^2 + b^2}$$。
因为两圆有三条公切线，说明两圆外切，圆心距等于半径之和：$$\sqrt{a^2 + b^2} = 3$$。
求 $$a + b$$ 的最小值，利用不等式 $$|a + b| \leq \sqrt{2(a^2 + b^2)} = 3\sqrt{2}$$，最小值为 $$-3\sqrt{2}$$。
选项 B 正确。
第7题解析：
数列通项 $$a_n = \frac{n}{n^2 + 58}$$，求其最大值。
对 $$a_n$$ 求导并令导数为零，解得 $$n = \sqrt{58}$$，约为 $$7.6$$。
计算 $$a_7 = \frac{7}{49 + 58} = \frac{7}{107}$$，$$a_8 = \frac{8}{64 + 58} = \frac{8}{122} = \frac{4}{61}$$。
比较得 $$\frac{7}{107} \approx 0.0654$$，$$\frac{4}{61} \approx 0.0656$$，因此最大值为 $$\frac{4}{61}$$。
选项 C 正确。
第8题解析：
由 $$a + 2b = ab$$ 可以表示为 $$\frac{1}{b} + \frac{2}{a} = 1$$。
设 $$x = \frac{1}{b}$$，$$y = \frac{2}{a}$$，则 $$x + y = 1$$，且 $$a + b = \frac{2}{y} + \frac{1}{x}$$。
利用不等式或拉格朗日乘数法，求得最小值为 $$3 + 2\sqrt{2}$$。
选项 B 正确。
第9题解析：
方程 $$\lg(x + y) = \lg x + \lg y$$ 化简为 $$x + y = xy$$，即 $$y = \frac{x}{x - 1}$$（$$x > 1$$）。
函数 $$y = f(x) = \frac{x}{x - 1}$$ 在 $$(1, +\infty)$$ 上是减函数，因为其导数 $$f'(x) = -\frac{1}{(x - 1)^2} < 0$$。
由 $$x + y = xy \geq 4$$（因为 $$x + y \geq 2\sqrt{xy}$$ 代入得 $$xy \geq 4$$）。
选项 C 正确。
第10题解析：
已知 $$x + y = 1$$，$$x, y > 0$$，求 $$\frac{1}{xy}$$ 的最小值。
由不等式 $$xy \leq \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$，所以 $$\frac{1}{xy} \geq 4$$。
当且仅当 $$x = y = \frac{1}{2}$$ 时取到最小值 $$4$$。
选项 A 正确。