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正确率19.999999999999996%已知直线$${{x}{=}{3}}$$与双曲线$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {9}-y^{2}=1$$的渐近线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，设$${{P}}$$为双曲线上任一点，若$$\overrightarrow{O P}=a \overrightarrow{O A}+b \overrightarrow{O B} ( a， b \in R， O$$为坐标原点$${{)}}$$，则下列不等式恒成立的是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{a}^{2}{+}{{b}^{2}}{⩾}{1}}$$
B.$${{|}{a}{b}{|}{⩾}{1}}$$
C.$${{|}{a}{+}{b}{|}{⩾}{1}}$$
D.$${{|}{a}{−}{b}{|}{⩾}{1}}$$
2、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '基本不等式的实际应用']正确率40.0%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}{，}{P}}$$为椭圆$${{C}}$$上任一点，且$$| \overrightarrow{P F_{1}} | \cdot| \overrightarrow{P F_{2}} |$$的最大值的取值范围是$${{[}{2}{{b}^{2}}{，}{3}{{b}^{2}}{]}}$$，则椭圆的离心率的取值范围为$${{(}{)}}$$
D
A.$$[ \frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$
B.$$( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$
C.$$( \frac{\sqrt{6}} {3}， 1 )$$
D.$$[ \frac{\sqrt2} {2}， \frac{\sqrt6} {3} ]$$
3、['利用基本不等式求最值'， '等差数列的前n项和的应用'， '基本不等式的实际应用'， '函数的应用（一）']正确率40.0%某企业为节能减排，用$${{9}}$$万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用$${{2}}$$万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加$${{2}}$$万元，该设备每年生产的收入均为$${{1}{1}}$$万元． 设该设备使用了$${{n}{(}{n}{∈}{{N}^{∗}}{)}}$$年后，年平均盈利额达到最大值$${{(}}$$盈利额等于收入减去成本$${{)}}$$，则$${{n}}$$等于$${{(}{)}}$$
A.$${{6}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{3}}$$
4、['基本不等式的实际应用']正确率40.0%某观光种植园开设草莓自摘活动， 使用一架两臂不等长的天平称重$${{.}}$$一顾客欲购买$${{2}{k}{g}}$$的草莓，服务员先将$${{1}{k}{g}}$$的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓$${{A}}$$使天平平衡$${{;}}$$再将$${{1}{k}{g}}$$的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓$${{B}}$$使天平平衡$${{;}}$$最后将两次称得的草莓交给顾客$${{.}}$$你认为顾客购得的草莓是$${{(}{)}}$$
A.等于$${{2}{k}{g}}$$
B.小于$${{2}{k}{g}}$$
C.大于$${{2}{k}{g}}$$
D.不确定
5、['基本不等式的实际应用']正确率40.0%某公司租地建仓库，每月土地占用费$${{y}_{1}}$$与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费$${{y}_{2}}$$与仓库到车站的距离成正比$${{.}}$$如果在距离车站$${{1}{0}}$$千米处建仓库，这两项费用$${{y}_{1}}$$和$${{y}_{2}}$$分别为$${{2}}$$万元和$${{8}}$$万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站$${{(}{)}}$$
A.$${{5}}$$千米处
B.$${{4}}$$千米处
C.$${{3}}$$千米处
D.$${{2}}$$千米处
6、['基本不等式的综合应用'， '基本不等式的实际应用']正确率60.0%拟设计一幅宣传画，要求画面面积为$${{4}{8}{4}{0}{{c}{m}^{2}}{，}}$$它的两边都留有宽为$${{5}{{c}{m}}}$$的空白，顶部和底部都留有宽为$${{8}{{c}{m}}}$$的空白.当宣传画所用的纸张面积最小时，画面的高是（）
D
A.$${{4}{8}{{c}{m}}}$$
B.$${{6}{0}{{c}{m}}}$$
C.$${{7}{8}{{c}{m}}}$$
D.$${{8}{8}{{c}{m}}}$$
7、['基本不等式的实际应用']正确率60.0%小明从$${{A}}$$地到$${{B}}$$地和从$${{B}}$$地到$${{A}}$$地的时速分别为$${{m}}$$和$${{n}{(}{m}{>}{n}{)}{，}}$$其全程的平均速度为$${{v}{，}}$$则（）
B
A.$$\frac{m+n} {2} < v < m$$
B.$${{n}{<}{v}{<}{\sqrt {{m}{n}}}}$$
C.$$\sqrt{m n} < v < \frac{m+n} {2}$$
D.$$v=\frac{m+n} {2}$$
9、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '不等式比较大小'， '基本不等式的实际应用']正确率60.0%已知$${{x}{，}{y}{∈}{R}{，}{M}{=}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{+}{1}{，}{N}{=}{x}{+}{y}{+}{x}{y}}$$，则$${{M}}$$和$${{N}}$$的大小关系是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{M}{>}{N}}$$
B.$${{M}{<}{N}}$$
C.$${{M}{⩾}{N}}$$
D.$${{M}{⩽}{N}}$$
10、['利用基本不等式求最值'， '基本不等式的实际应用']正确率40.0%中国南宋大数学家秦九韶提出了$${{“}}$$三斜求积术$${{”}}$$，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，则三角形的面积$${{S}}$$可由公式$${{S}{=}{\sqrt {{p}{(}{p}{−}{a}{)}{(}{p}{−}{b}{)}{(}{p}{−}{c}{)}}}}$$求得，其中$${{p}}$$为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足$${{a}{=}{6}{，}{b}{+}{c}{=}{8}}$$，则此三角形面积的最大值为（）
A
A.$${{3}{\sqrt {7}}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{4}{\sqrt {7}}}$$
D.$${{9}{\sqrt {3}}}$$
1. 首先确定双曲线的渐近线方程。双曲线$$C: \frac{x^{2}}{9} - y^{2} = 1$$的渐近线为$$y = \pm \frac{1}{3}x$$。将直线$$x = 3$$代入渐近线方程，得到交点$$A(3, 1)$$和$$B(3, -1)$$。
设$$P(x, y)$$为双曲线上任一点，由$$\overrightarrow{OP} = a \overrightarrow{OA} + b \overrightarrow{OB}$$可得$$x = 3a + 3b$$，$$y = a - b$$。代入双曲线方程得：$$\frac{(3a + 3b)^2}{9} - (a - b)^2 = 1$$，化简得$$4ab = 1$$，即$$ab = \frac{1}{4}$$。
由于$$a^2 + b^2 \geq 2|ab| = \frac{1}{2}$$，且$$ab = \frac{1}{4}$$为定值，因此选项A（$$a^2 + b^2 \geq 1$$）不一定恒成立，而选项B（$$|ab| \geq 1$$）不成立。进一步分析$$|a + b|$$和$$|a - b|$$，由于$$ab = \frac{1}{4}$$，$$|a + b|$$和$$|a - b|$$无固定下界，但$$a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}$$表明$$|a| + |b|$$至少有一个不小于$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$，但无法直接推出选项C或D恒成立。重新审视题目要求，实际上$$ab = \frac{1}{4}$$，因此$$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab \geq 0$$，但无更紧约束。综上，题目可能存在其他隐含条件，最接近的是选项A在某些情况下成立，但需进一步验证。
经过重新推导，发现$$a^2 + b^2 = \frac{1}{2} + 2b^2 \geq \frac{1}{2}$$，但题目要求的是$$a^2 + b^2 \geq 1$$，因此选项A并非恒成立。实际上，由$$ab = \frac{1}{4}$$，利用不等式$$(a + b)^2 \geq 4ab = 1$$，得$$|a + b| \geq 1$$，即选项C恒成立。
最终答案为：$$\boxed{C}$$。
2. 椭圆$$C: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$的焦点为$$F_1(-c, 0)$$和$$F_2(c, 0)$$，其中$$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$。设$$P(x, y)$$为椭圆上任意一点，则$$|PF_1| \cdot |PF_2| = \sqrt{(x + c)^2 + y^2} \cdot \sqrt{(x - c)^2 + y^2}$$。
利用椭圆性质$$y^2 = b^2(1 - \frac{x^2}{a^2})$$，化简得$$|PF_1| \cdot |PF_2| = a^2 - c^2 \frac{x^2}{a^2}$$。其最大值为$$a^2 - c^2 \cdot 0 = a^2$$（当$$x = 0$$时），最小值为$$a^2 - c^2$$（当$$x = \pm a$$时）。但题目给出最大值的范围为$$[2b^2, 3b^2]$$，因此$$a^2 \in [2b^2, 3b^2]$$。
由$$a^2 \geq 2b^2$$得$$\frac{c^2}{a^2} = 1 - \frac{b^2}{a^2} \leq \frac{1}{2}$$，即离心率$$e \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$。由$$a^2 \leq 3b^2$$得$$\frac{b^2}{a^2} \geq \frac{1}{3}$$，即$$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} \leq \frac{2}{3}$$，因此$$e \in \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$。
最终答案为：$$\boxed{A}$$。
3. 设备的总成本为购机费用$$9$$万元加上运营费用。运营费用为等差数列，首项$$2$$万元，公差$$2$$万元，$$n$$年总运营费用为$$2n + \frac{n(n-1)}{2} \times 2 = n^2 + n$$万元。
总收入为$$11n$$万元，因此盈利额为$$11n - (n^2 + n) - 9 = -n^2 + 10n - 9$$。年平均盈利额为$$\frac{-n^2 + 10n - 9}{n} = -n + 10 - \frac{9}{n}$$。
求其最大值，对$$f(n) = -n + 10 - \frac{9}{n}$$求导得$$f'(n) = -1 + \frac{9}{n^2}$$，令导数为零得$$n = 3$$。验证$$n = 3$$时年平均盈利额为$$4$$万元，$$n = 4$$时为$$3.75$$万元，因此$$n = 3$$时达到最大值。
最终答案为：$$\boxed{D}$$。
4. 设天平左臂长为$$l_1$$，右臂长为$$l_2$$。第一次称重时，$$1 \cdot l_1 = A \cdot l_2$$，得$$A = \frac{l_1}{l_2}$$。第二次称重时，$$B \cdot l_1 = 1 \cdot l_2$$，得$$B = \frac{l_2}{l_1}$$。
总草莓质量为$$A + B = \frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_1} \geq 2$$（由AM-GM不等式），当且仅当$$l_1 = l_2$$时等号成立。由于天平两臂不等长，因此$$A + B > 2$$。
最终答案为：$$\boxed{C}$$。
5. 设仓库到车站的距离为$$x$$千米。由题意，$$y_1 = \frac{k_1}{x}$$，$$y_2 = k_2 x$$。代入已知条件$$x = 10$$时$$y_1 = 2$$，$$y_2 = 8$$，得$$k_1 = 20$$，$$k_2 = 0.8$$。
总费用$$y = y_1 + y_2 = \frac{20}{x} + 0.8x$$。求最小值，对$$y$$求导得$$y' = -\frac{20}{x^2} + 0.8$$，令导数为零得$$x = 5$$。
最终答案为：$$\boxed{A}$$。
6. 设画面的高为$$h$$ cm，宽为$$\frac{4840}{h}$$ cm。纸张的宽度为$$\frac{4840}{h} + 10$$ cm，高度为$$h + 16$$ cm。纸张面积$$S = \left(\frac{4840}{h} + 10\right)(h + 16) = 4840 + 10h + \frac{4840 \times 16}{h} + 160$$。
化简得$$S = 5000 + 10h + \frac{77440}{h}$$。对$$S$$关于$$h$$求导得$$S' = 10 - \frac{77440}{h^2}$$，令导数为零得$$h = \sqrt{7744} = 88$$ cm。
最终答案为：$$\boxed{D}$$。
7. 设$$A$$到$$B$$的距离为$$d$$，全程时间为$$\frac{d}{m} + \frac{d}{n}$$，平均速度$$v = \frac{2d}{\frac{d}{m} + \frac{d}{n}} = \frac{2mn}{m + n}$$。
由于$$m > n$$，由调和平均数小于几何平均数小于算术平均数得$$\frac{2mn}{m + n} < \sqrt{mn} < \frac{m + n}{2}$$。因此$$v < \sqrt{mn}$$，且$$\sqrt{mn} < \frac{m + n}{2}$$，但题目要求的是$$v$$的范围，即$$v = \frac{2mn}{m + n}$$。
进一步分析，由于$$m > n$$，$$\frac{2mn}{m + n}$$介于$$n$$和$$\sqrt{mn}$$之间，因此选项B（$$n < v < \sqrt{mn}$$）正确。
最终答案为：$$\boxed{B}$$。
9. 比较$$M = x^2 + y^2 + 1$$和$$N = x + y + xy$$。考虑差值$$M - N = x^2 + y^2 + 1 - x - y - xy = \frac{1}{2}[(x - y)^2 + (x - 1)^2 + (y - 1)^2] \geq 0$$，因此$$M \geq N$$。
最终答案为：$$\boxed{C}$$。
10. 已知三角形边长$$a = 6$$，$$b + c = 8$$。设$$b = 4 + t$$，$$c = 4 - t$$，其中$$|t| < 4$$。半周长$$p = \frac{6 + 8}{2} = 7$$。
面积公式为$$S = \sqrt{7(7 - 6)(7 - b)(7 - c)} = \sqrt{7(1)(3 - t)(3 + t)} = \sqrt{7(9 - t^2)}$$。当$$t = 0$$时，$$S$$取得最大值$$\sqrt{7 \times 9} = 3\sqrt{7}$$。
最终答案为：$$\boxed{A}$$。