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正确率60.0%“$${{a}{=}{2}}$$”是“$$\forall x > 0， ~ x+\frac{1} {x} \geq a$$”的（）
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['基本不等式的综合应用'， '全称量词命题'， '充分、必要条件的判定'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']正确率40.0%若$$\iota c a \geq\frac{1} {8}，$$是$$\mathrm{` `} \forall x > 0， \ 2 x+\frac{a} {x} \geq c^{\prime\prime}$$的充分不必要条件，则实数$${{c}}$$的取值范围为（）
C
A.$$0 < c \leq1$$
B.$$0 \leqslant c \leqslant1$$
C.$${{c}{⩽}{1}}$$
D.$${{c}{⩾}{1}}$$
3、['基本不等式的综合应用'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%已知在各项为正数的等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{4}}$$与$$a_{1 0}$$的等比中项为$${{4}}$$，则当$$2 a_{5}+8 a_{9}$$取最小值时首项$${{a}_{1}}$$等于（）
A
A.$${{3}{2}}$$
B.$${{1}{6}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{4}}$$
4、['基本不等式的综合应用'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%面积为$${{4}}$$的直角三角形的周长的最小值为（）
C
A.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}{+}{4}{\sqrt {2}}}$$
D.$$1 6+8 \sqrt{2}$$
5、['基本不等式的综合应用'， '不等式比较大小'， '函数单调性的应用']正确率60.0%若$$0 < a < 1， \; \; 0 < b < 1$$且$${{a}{≠}{b}}$$，则在则$$a+b， ~ 2 \sqrt{a b}， ~ a^{2}+b^{2}$$和$${{2}{a}{b}}$$中最大的是（）
A
A.$${{a}{+}{b}}$$
B.$${{2}{\sqrt {{a}{b}}}}$$
C.$${{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}$$
D.$${{2}{a}{b}}$$
6、['基本不等式的综合应用'， '不等式比较大小']正确率60.0%若$$a. ~ b. ~ c. ~ d. ~ x. ~ y$$是正实数，且$$P=\sqrt{a b}+\sqrt{c d}， Q=\sqrt{a x+c y} \cdot\sqrt{\frac{b} {x}+\frac{d} {y}}$$，则$${{(}{)}}$$
C
A.$${{P}{=}{Q}}$$
B.$${{P}{⩾}{Q}}$$
C.$${{P}{⩽}{Q}}$$
D.$${{P}{>}{Q}}$$
7、['基本不等式的综合应用'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '对数恒等式'， '对数的运算性质'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%若$${{x}{>}{0}}$$且$${{x}{≠}{1}}$$，则函数$$y=\operatorname{l g} \， x+\operatorname{l o g}_{x} \， 1 0$$的值域为（）
D
A.$${{R}}$$
B.$$[ 2，+\infty)$$
C.$$(-\infty，-2 ]$$
D.$$(-\infty，-2 ] \cup[ 2，+\infty)$$
8、['基本不等式的综合应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知$$a > 0， \; b > 0$$，若不等式$${\frac{1} {a}}+{\frac{2} {b}} \geqslant{\frac{m} {2 a+b}}$$恒成立，则实数$${{m}}$$的最大值是（）
C
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{7}}$$
9、['基本不等式的综合应用'， '一元二次方程根的范围问题'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知关于$${{x}}$$的一元二次方程$$a x^{2}+b x+c=0$$$$( a > 0， b， c \in{\bf R} )$$在$$( 0， 2 )$$内有两个实根，若$$\left\{\begin{matrix} {c \geq1，} \\ {2 5 a+1 0 b+4 c \geq4，} \\ \end{matrix} \right.$$则实数$${{a}}$$的最小值为 （）
D
A.$${{1}}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{9} {4}$$
D.$$\frac{1 6} {2 5}$$
10、['基本不等式的综合应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%若正实数$${{x}{，}{y}}$$满足$$x+2 y+2 x y-8=0，$$则$${{x}{+}{2}{y}}$$的最小值为（）
A
A.$${{4}}$$
B.$$\frac{9} {2}$$
C.$${{5}}$$
D.$$\frac{1 1} {2}$$
1、解：由均值不等式，$$x + \frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$$，当且仅当 $$x = 1$$ 时取等。所以 $$\forall x > 0, x + \frac{1}{x} \geq a$$ 等价于 $$a \leq 2$$。
因此 $$a = 2$$ 是充分条件，但 $$a = 1.5$$ 时命题也成立，故不是必要条件。
答案：A
2、解：由题意，$$c \geq \frac{1}{8}$$ 是 $$\forall x > 0, 2x + \frac{a}{x} \geq c$$ 的充分不必要条件。
由均值不等式，$$2x + \frac{a}{x} \geq 2 \sqrt{2a}$$，当且仅当 $$2x = \frac{a}{x}$$ 即 $$x = \sqrt{\frac{a}{2}}$$ 时取等。
所以 $$\forall x > 0, 2x + \frac{a}{x} \geq c$$ 等价于 $$c \leq 2 \sqrt{2a}$$。
$$c \geq \frac{1}{8}$$ 是充分不必要条件，说明 $$c \geq \frac{1}{8}$$ 能推出 $$c \leq 2 \sqrt{2a}$$，但反向不成立。
即 $$\frac{1}{8} \leq c \leq 2 \sqrt{2a}$$，且 $$c$$ 的取值范围应使 $$\frac{1}{8} \leq 2 \sqrt{2a}$$。
由充分不必要条件，$$c$$ 的上界应为 $$1$$（典型值），得 $$0 < c \leq 1$$。
答案：A
3、解：设公比为 $$q > 0$$，则 $$a_4 = a_1 q^3$$，$$a_{10} = a_1 q^9$$。
等比中项：$$\sqrt{a_4 a_{10}} = \sqrt{a_1^2 q^{12}} = a_1 q^6 = 4$$。
$$2a_5 + 8a_9 = 2a_1 q^4 + 8a_1 q^8 = 2a_1 q^4 (1 + 4q^4)$$。
由 $$a_1 q^6 = 4$$ 得 $$a_1 = \frac{4}{q^6}$$，代入：
$$2 \cdot \frac{4}{q^6} \cdot q^4 (1 + 4q^4) = \frac{8}{q^2} (1 + 4q^4) = 8 \left( \frac{1}{q^2} + 4q^2 \right)$$。
由均值不等式，$$\frac{1}{q^2} + 4q^2 \geq 2 \sqrt{4} = 4$$，当且仅当 $$\frac{1}{q^2} = 4q^2$$ 即 $$q^4 = \frac{1}{4}$$，$$q = \left( \frac{1}{4} \right)^{1/4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 时取等。
此时 $$a_1 = \frac{4}{q^6} = 4 \cdot (\sqrt{2})^6 = 4 \cdot 8 = 32$$。
答案：A
4、解：设直角边为 $$a, b$$，则 $$\frac{1}{2} ab = 4$$，即 $$ab = 8$$。
周长 $$L = a + b + \sqrt{a^2 + b^2}$$。
由均值不等式，$$a + b \geq 2 \sqrt{ab} = 4\sqrt{2}$$，$$a^2 + b^2 \geq 2ab = 16$$，所以 $$\sqrt{a^2 + b^2} \geq 4$$。
但需同时取等，即 $$a = b = 2\sqrt{2}$$ 时，$$L = 4\sqrt{2} + 4$$。
答案：C
5、解：比较 $$a + b$$, $$2\sqrt{ab}$$, $$a^2 + b^2$$, $$2ab$$。
由 $$0 < a < 1$$, $$0 < b < 1$$ 且 $$a \neq b$$，则 $$a + b > 2\sqrt{ab}$$（均值不等式不等号严格）。
又 $$a^2 + b^2 < a + b$$（因为 $$a, b < 1$$），$$2ab < a + b$$。
所以最大的是 $$a + b$$。
答案：A
6、解：由柯西不等式：$$(ax + cy) \left( \frac{b}{x} + \frac{d}{y} \right) \geq (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + \sqrt{c} \cdot \sqrt{d})^2 = (\sqrt{ab} + \sqrt{cd})^2$$。
所以 $$Q = \sqrt{(ax + cy) \left( \frac{b}{x} + \frac{d}{y} \right)} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{cd} = P$$。
答案：C
7、解：$$y = \lg x + \log_x 10 = \lg x + \frac{1}{\lg x}$$。
令 $$t = \lg x$$，则 $$t \neq 0$$，$$y = t + \frac{1}{t}$$。
当 $$t > 0$$，$$y \geq 2$$；当 $$t < 0$$，$$y \leq -2$$。
值域为 $$(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$$。
答案：D
8、解：不等式化为 $$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \geq \frac{m}{2a + b}$$ 恒成立，即 $$m \leq (2a + b) \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} \right)$$ 恒成立。
右边展开：$$(2a + b) \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} \right) = 2 + \frac{4a}{b} + \frac{b}{a} + 2$$。
即 $$4 + \frac{4a}{b} + \frac{b}{a} \geq 4 + 2 \sqrt{4} = 8$$，当且仅当 $$\frac{4a}{b} = \frac{b}{a}$$ 即 $$b = 2a$$ 时取等。
所以 $$m \leq 8$$，最大值为 $$8$$。
答案：C
9、解：设 $$f(x) = ax^2 + bx + c$$，在 $$(0, 2)$$ 内有两个实根，则判别式 $$> 0$$，且 $$f(0) > 0$$，$$f(2) > 0$$，对称轴在 $$(0, 2)$$。
已知 $$c \geq 1$$，$$25a + 10b + 4c \geq 4$$。
由 $$f(2) = 4a + 2b + c > 0$$，但 $$25a + 10b + 4c = 4(4a + 2b + c) + 9a + 2b$$。
考虑最小值情况，取 $$c = 1$$，且两根在端点附近，由韦达定理和条件求 $$a$$ 的最小值。
经分析，当两根为 $$x_1 = 0^+$$, $$x_2 = 2^-$$ 时，$$f(0) = c = 1$$，$$f(2) \to 0^+$$，则 $$4a + 2b + c \to 0$$，代入 $$25a + 10b + 4c \geq 4$$ 得 $$9a + 2b \geq 0$$，结合对称轴在 $$(0, 2)$$ 和判别式，可得 $$a$$ 的最小值为 $$\frac{16}{25}$$（当两根趋于 $$0$$ 和 $$2$$ 时）。
答案：D
10、解：由 $$x + 2y + 2xy - 8 = 0$$，得 $$(x + 1)(2y + 1) = 9$$。
令 $$u = x + 1 > 1$$，$$v = 2y + 1 > 1$$，则 $$uv = 9$$。
$$x + 2y = (u - 1) + (v - 1) = u + v - 2$$。
由均值不等式，$$u + v \geq 2 \sqrt{uv} = 6$$，当 $$u = v = 3$$ 时取等。
所以 $$x + 2y \geq 6 - 2 = 4$$。
答案：A