1、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '命题的真假性判断']正确率60.0%下列不等式正确的是$${{(}{)}}$$
C
A.$$x+\frac{1} {x} \geqslant2$$
B.$$x^{2}+\frac{1} {4} > x ( x > 0 )$$
C.$$\left| x+\frac{1} {x} \right| \geq2$$
D.$$\operatorname{s i n} x+\frac{1} {\operatorname{s i n} x} \geq2$$
2、['余弦定理及其应用'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%已知$${{P}}$$为双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {3}-y^{2}=1$$上位于右支上的动点，过$${{P}}$$作两渐近线的垂线，垂足分别为$${{A}{，}{B}{，}}$$则$${{|}{A}{B}{|}}$$的最小值为（）
D
A.$$\frac{8 1} {1 6}$$
B.$$\frac{2 7} {8}$$
C.$$\frac{9} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
3、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '对数（型）函数的单调性'， '等比数列的性质'， '不等式比较大小']正确率40.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的各项均为正数，公比$${{q}{≠}{1}}$$，设$$P=\frac1 2 ( l o g_{0. 5} a_{5}+\operatorname{l o g}_{0. 5} a_{7} )$$ ，$$Q=\operatorname{l o g}_{0. 5} \frac{a_{3}+a_{9}} {2}$$ ， $${{P}}$$ 与 $${{Q}}$$ 的大小关系是
D
A.$${{P}{⩾}{Q}}$$
B.$${{P}{<}{Q}}$$
C.$${{P}{⩽}{Q}}$$
D.$${{P}{>}{Q}}$$
4、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '等差数列的性质']正确率40.0%四个不相等的正数$${{a}{，}{b}{，}{c}{，}{d}}$$成等差数列，则（）
A
A.$$\frac{a+d} {2} > \sqrt{b c}$$
B.$$\frac{a+d} {2} < \sqrt{b c}$$
C.$$\frac{a+d} {2}=\sqrt{b c}$$
D.$$\frac{a+d} {2} \leqslant\sqrt{b c}$$
5、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '不等式比较大小']正确率60.0%若$${{m}{，}{n}{，}{a}{，}{b}{，}{c}{，}{d}}$$均为正数$$p=\sqrt{a b}+\sqrt{c d}， \， \， \， q=\sqrt{m a+n c} \cdot\sqrt{\frac{b} {m}+\frac{d} {n}}.$$则$${{p}{，}{q}}$$的大小关系为（）
B
A.$${{p}{≥}{q}}$$
B.$${{p}{≤}{q}}$$
C.$${{p}{>}{q}}$$
D.不确定
6、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立']正确率60.0%在不等式$$\frac{a+b} {2} \geqslant\sqrt{a b}$$中$${，{a}{，}{b}}$$需满足（）
B
A.$${{a}{>}{0}{，}{b}{>}{0}}$$
B.$${{a}{⩾}{0}{，}{b}{⩾}{0}}$$
C.$${{a}{b}{⩾}{0}}$$
D.$${{a}{b}{>}{0}}$$
7、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立']正确率60.0%函数 $$y=3 x+\frac{4} {3 x-1} \bigg( x > \frac{1} {3} \bigg)$$ 的最小值为（）
D
A.$${{8}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{5}}$$
8、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '对数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的单调性'， '分段函数模型的应用'， '分段函数求值'， '利用基本不等式求最值'， '对数函数的定义']正确率60.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{|}{l}{g}{x}{|}}$$，若$${{f}{（}{x}{）}{=}{k}}$$有两个不等的实根$${{α}{，}{β}{，}}$$则$${{4}{α}{+}{β}}$$的取值范围是（）
C
A.$${（{2}{，}{+}{∞}{）}}$$
B.$${{[}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$
C.$${（{4}{，}{+}{∞}{）}}$$
D.$${{[}{4}{，}{+}{∞}{）}}$$
9、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%已知$${{x}{>}{0}{，}{y}{>}{0}}$$且$${{x}{+}{y}{=}{1}}$$，则$$\sqrt{\frac{2} {x}+\frac{3} {y}}$$的最小值是（）
A
A.$${\sqrt {3}{+}{\sqrt {2}}}$$
B.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
C.$${{5}{+}{2}{\sqrt {6}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {6}}}$$
10、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立']正确率80.0%给出下列条件：①$${{a}{b}{>}{0}}$$；②$${{a}{b}{<}{0}}$$；③$${{a}{>}{0}}$$，$${{b}{>}{0}}$$；④$${{a}{<}{0}}$$，$${{b}{<}{0}}$$.其中能使$$\frac b a+\frac a b \geq2$$成立的条件有（）
C
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
1. 解析：
选项A：$$x+\frac{1}{x} \geqslant2$$ 仅在 $$x>0$$ 时成立，但题目未限制 $$x$$ 的范围，因此不正确。
选项B：$$x^{2}+\frac{1}{4} > x$$ 对所有实数 $$x$$ 成立，因为 $$x^{2}-x+\frac{1}{4} = \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$$，且当 $$x=\frac{1}{2}$$ 时取等，但题目要求 $$x>0$$，因此正确。
选项C：$$\left| x+\frac{1}{x} \right| \geq2$$ 对所有 $$x \neq 0$$ 成立，因为 $$x+\frac{1}{x}$$ 的绝对值在 $$x>0$$ 或 $$x<0$$ 时均满足不等式，正确。
选项D：$$\sin x+\frac{1}{\sin x} \geq2$$ 仅在 $$\sin x>0$$ 时成立，但 $$\sin x$$ 可能为负，因此不正确。
综上，正确答案为 B、C。
2. 解析：
双曲线 $$C: \frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$$ 的渐近线为 $$y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}x$$。设点 $$P(x_0, y_0)$$ 在右支上，满足 $$\frac{x_0^2}{3}-y_0^2=1$$。
点 $$A$$ 和 $$B$$ 是 $$P$$ 到两条渐近线的垂足，利用点到直线的距离公式和几何性质，可以推导出 $$|AB|$$ 的表达式为 $$\frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{|x_0^2-3y_0^2|}{\sqrt{x_0^2+3y_0^2}}$$。
代入双曲线方程化简得 $$|AB| = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{x_0^2+3y_0^2}}$$，最小值为 $$\frac{3}{2}$$，对应选项 D。
3. 解析：
设等比数列的公比为 $$q$$，则 $$a_5 = a_3 q^2$$，$$a_7 = a_3 q^4$$，$$a_9 = a_3 q^6$$。
$$P = \frac{1}{2}(\log_{0.5} a_5 + \log_{0.5} a_7) = \log_{0.5} \sqrt{a_5 a_7} = \log_{0.5} (a_3 q^3)$$。
$$Q = \log_{0.5} \frac{a_3 + a_9}{2} = \log_{0.5} \frac{a_3 (1 + q^6)}{2}$$。
因为 $$q \neq 1$$ 且各项为正，由均值不等式 $$\frac{1+q^6}{2} > q^3$$，所以 $$\frac{a_3 (1 + q^6)}{2} > a_3 q^3$$。
由于对数函数 $$\log_{0.5} x$$ 是减函数，因此 $$P > Q$$，对应选项 D。
4. 解析：
设等差数列为 $$a, b, c, d$$，公差为 $$t$$，则 $$b = a + t$$，$$c = a + 2t$$，$$d = a + 3t$$。
$$\frac{a+d}{2} = \frac{2a + 3t}{2} = a + \frac{3t}{2}$$。
$$\sqrt{bc} = \sqrt{(a + t)(a + 2t)} = \sqrt{a^2 + 3a t + 2 t^2}$$。
比较两者平方：$$(a + \frac{3t}{2})^2 = a^2 + 3a t + \frac{9 t^2}{4}$$ 和 $$a^2 + 3a t + 2 t^2$$。
因为 $$\frac{9 t^2}{4} > 2 t^2$$（$$t \neq 0$$），所以 $$\frac{a+d}{2} > \sqrt{bc}$$，对应选项 A。
5. 解析：
利用柯西不等式：
$$q = \sqrt{m a + n c} \cdot \sqrt{\frac{b}{m} + \frac{d}{n}} \geq \sqrt{a b} + \sqrt{c d} = p$$。
因此 $$p \leq q$$，对应选项 B。
6. 解析：
不等式 $$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}$$ 成立的条件是 $$a \geq 0$$ 且 $$b \geq 0$$，否则平方根无意义或不等式不成立。
因此正确答案为 A（$$a > 0$$ 且 $$b > 0$$），但更严格的描述是 $$a \geq 0$$ 且 $$b \geq 0$$（选项B）。
题目选项可能存在歧义，但最接近的是 A。
7. 解析：
设 $$t = 3x - 1$$（$$t > 0$$），则 $$y = t + 1 + \frac{4}{t} = t + \frac{4}{t} + 1$$。
由均值不等式，$$t + \frac{4}{t} \geq 4$$，当 $$t = 2$$ 时取等，因此最小值为 $$4 + 1 = 5$$。
但重新检查：$$y = 3x + \frac{4}{3x - 1} = (3x - 1) + \frac{4}{3x - 1} + 1 \geq 4 + 1 = 5$$，对应选项 D。
8. 解析：
函数 $$f(x) = |\lg x|$$ 与 $$y = k$$ 有两个交点 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$，则 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$ 满足 $$\lg \alpha = k$$ 和 $$\lg \beta = -k$$，即 $$\alpha = 10^k$$，$$\beta = 10^{-k}$$。
因此 $$4 \alpha + \beta = 4 \cdot 10^k + 10^{-k}$$，当 $$k > 0$$ 时，$$4 \cdot 10^k + 10^{-k} > 4$$，取值范围为 $$(4, +\infty)$$，对应选项 C。
9. 解析：
利用柯西不等式：
$$\left(\frac{2}{x} + \frac{3}{y}\right)(x + y) \geq (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$$，因为 $$x + y = 1$$，所以 $$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} \geq 5 + 2 \sqrt{6}$$。
因此 $$\sqrt{\frac{2}{x} + \frac{3}{y}} \geq \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$$，对应选项 A。
10. 解析：
不等式 $$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$$ 成立的条件是 $$\frac{b}{a}$$ 和 $$\frac{a}{b}$$ 同号，即 $$a b > 0$$（条件①）。
条件③（$$a > 0$$ 且 $$b > 0$$）和条件④（$$a < 0$$ 且 $$b < 0$$）均满足 $$a b > 0$$，因此有 3 个条件（①、③、④）使不等式成立，对应选项 C。
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