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正确率40.0%秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作$${《}$$数书九章$${》}$$中叙述了已知三角形的三条边长$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，求三角形面积的方法．其求法是：$${{“}}$$以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．$${{”}}$$若把以上这段文字写成公式，即为$${{S}{=}}$$$$\sqrt{\frac{1} {4} [ a^{2} c^{2}-( \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}} {2} )^{2} ]}$$.已知$${{△}}$$$${{A}{B}{C}}$$的三条边长为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，其面积为$${{1}{2}}$$，且$${{a}^{2}{+}{{c}^{2}}{−}{{b}^{2}}{=}{{1}{4}}}$$，则$${{△}}$$$${{A}{B}{C}}$$周长的最小值为（）
C
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{1}{8}}$$
2、['等比数列的性质'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%设正项等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项之积为$${{T}_{n}}$$，且$$T_{1 0}=3 2$$，则$$\frac{1} {a_{5}}+\frac{1} {a_{6}}$$的最小值为
C
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
3、['利用基本不等式求最值']正确率60.0%已知$${{t}{>}{0}{，}}$$则$$y=\frac{t^{2}-4 t+1} {t}$$的最小值为（）
A
A.$${{−}{2}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
4、['导数与单调性'， '利用基本不等式求最值'， '函数中的恒成立问题']正确率19.999999999999996%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$${{e}^{x}{{(}{{f}^{′}{(}{x}{)}{+}{2}{f}{(}{x}{)}}{)}}{=}{\sqrt {x}}{，}}$$$$f \left( \frac{1} {2} \right)=\frac{1} {2 \sqrt{2 \mathrm{e}}}$$，若对满足$${{a}{b}{=}{{3}{2}}{e}}$$的任意正数$${{a}{，}{b}}$$都有$$f ( 2^{x} ) < \frac{1} {a}+\frac{1} {b}$$，则$${{x}}$$的取值范围是 （）
B
A.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{)}}$$
B.$${{(}{−}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
D.$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
5、['利用基本不等式求最值']正确率60.0%正数$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}{{x}_{3}}}$$满足$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}{+}{{x}_{3}}{=}{3}}$$，则$$x_{1}+\frac{2} {4-x_{2}}+x_{3}$$的最小值为
A
A.$${{2}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$
B.$${\sqrt {2}{−}{1}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}{+}{1}}$$
6、['利用基本不等式求最值']正确率60.0%已知$${{a}{>}{0}{，}{b}{>}{0}{且}{a}{+}{2}{b}{=}{3}{a}{b}}$$，则$${{2}{a}{+}{b}}$$的最小值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{9}}$$
7、['利用基本不等式求最值']正确率60.0%设正实数$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$满足$${{a}^{2}{−}{3}{a}{b}{+}{4}{{b}^{2}}{−}{c}{=}{0}}$$，则当$$\frac{a b} {c}$$取得最大值时，$$\frac{2} {a}+\frac{1} {b}-\frac{2} {c}$$最大值为（）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{9} {4}$$
D.$${{3}}$$
8、['利用基本不等式求最值']正确率60.0%若$${{a}{>}{0}{，}{b}{>}{0}}$$，且$${{a}{+}{b}{=}{1}}$$，则$${{a}{b}}$$的最大值为（）
B
A.$$\frac{1} {8}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
9、['利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知正数$${{x}{，}{y}{，}{z}}$$满足$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{+}{{z}^{2}}{=}{1}}$$，则$$S=\frac{1+z} {2 x y z}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{3 ( \sqrt{3}+1 )} {2}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}{(}{\sqrt {2}}{+}{1}{)}}$$
10、['对数的运算性质'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%若$${{l}{g}{x}{+}{l}{g}{y}{=}{2}}$$，则$$\frac{1} {x}+\frac{1} {y}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{1} {2 0}$$
B.$$\frac{1} {5}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{2}}$$
1. 解析：根据秦九韶公式和已知条件，首先利用余弦定理和面积公式进行化简。
已知面积 $$S = \frac{1}{2}$$，且 $$a^2 + c^2 - b^2 = \frac{1}{4}$$，代入公式：
$$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1}{4} \left[ a^2 c^2 - \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2} \right)^2 \right]}$$
化简得：
$$1 = a^2 c^2 - \left( \frac{1/4}{2} \right)^2 \Rightarrow a^2 c^2 = \frac{17}{16}$$
由 $$a^2 + c^2 = b^2 + \frac{1}{4}$$，结合周长最小化条件，当 $$a = c$$ 时取得最小值。
设 $$a = c$$，则 $$2a^2 = b^2 + \frac{1}{4}$$，且 $$a^4 = \frac{17}{16}$$，解得 $$a = \sqrt[4]{\frac{17}{16}}$$。
进一步计算周长 $$P = 2a + b$$，代入得最小值为 $$12$$，故选 A。
2. 解析：设等比数列公比为 $$r$$，首项为 $$a_1$$，则 $$T_{10} = a_1^{10} r^{45} = 32$$。
取对数得 $$10 \ln a_1 + 45 \ln r = \ln 32$$。
需要最小化 $$\frac{1}{a_5} + \frac{1}{a_6} = \frac{1}{a_1 r^4} + \frac{1}{a_1 r^5}$$。
设 $$x = a_1 r^4$$，则表达式为 $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x r}$$。
由 $$T_{10}$$ 条件可得 $$x^2 r^{11} = 32$$。
利用拉格朗日乘数法或直接优化，最小值为 $$2 \sqrt{2}$$，故选 A。
3. 解析：函数 $$y = \frac{t^2 - 4t + 1}{t} = t + \frac{1}{t} - 4$$。
对 $$t > 0$$，$$t + \frac{1}{t} \geq 2$$（当且仅当 $$t = 1$$ 时取等），故最小值为 $$2 - 4 = -2$$，选 A。
4. 解析：解微分方程 $$e^x (f'(x) + 2f(x)) = \sqrt{x}$$。
积分因子为 $$e^{2x}$$，解得 $$f(x) = e^{-2x} \int e^{2x} \sqrt{x} dx + C e^{-2x}$$。
由初始条件 $$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{2e}}$$ 确定常数。
对 $$ab = 32e$$，利用不等式 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{ab}} = \frac{1}{\sqrt{8e}}$$。
由题意 $$f(2^x) < \frac{1}{\sqrt{8e}}$$，解得 $$x > -1$$，选 B。
5. 解析：设 $$x_2 = t$$，则表达式为 $$3 - t + \frac{2}{4 - t}$$。
定义域 $$0 < t < 4$$，求导得极值点 $$t = 4 - \sqrt{2}$$。
代入得最小值为 $$2 \sqrt{2} - 1$$，选 A。
6. 解析：由 $$a + 2b = 3ab$$，得 $$\frac{1}{b} + \frac{2}{a} = 3$$。
设 $$x = \frac{1}{b}$$，$$y = \frac{2}{a}$$，则 $$x + y = 3$$。
表达式 $$2a + b = \frac{4}{y} + \frac{1}{x}$$，利用约束条件优化，最小值为 $$3$$，选 C。
7. 解析：由 $$c = a^2 - 3ab + 4b^2$$，则 $$\frac{ab}{c} = \frac{ab}{a^2 - 3ab + 4b^2}$$。
设 $$k = \frac{a}{b}$$，化简为 $$\frac{k}{k^2 - 3k + 4}$$，最大值在 $$k = 2$$ 时取得。
此时 $$a = 2b$$，$$c = 2b^2$$，代入 $$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} - \frac{2}{c} = \frac{3}{2b} - \frac{1}{b^2}$$。
求导得最大值 $$1$$，选 B。
8. 解析：由 $$a + b = 1$$，利用不等式 $$ab \leq \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$。
当且仅当 $$a = b = \frac{1}{2}$$ 时取等，选 B。
9. 解析：利用球坐标和拉格朗日乘数法，约束条件为 $$x^2 + y^2 + z^2 = 1$$。
表达式 $$S = \frac{1 + z}{2xyz}$$，通过对称性分析，最小值在 $$x = y$$ 时取得。
设 $$x = y$$，化简后求导得最小值为 $$\frac{3(\sqrt{3} + 1)}{2}$$，选 B。
10. 解析：由 $$\lg x + \lg y = 2$$ 得 $$xy = 100$$。
表达式 $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} \geq \frac{2 \sqrt{xy}}{xy} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$。
当且仅当 $$x = y = 10$$ 时取等，选 B。