基本不等式：√ab ≤ (a+b)/2,当且仅当a=b 时等号成立-2.2 基本不等式知识点月考进阶选择题自测题答案-北京市等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '命题的真假性判断']

正确率60.0%已知命题$$p_{\colon} \， \， 4 > 3^{l n 2}$$；命题$$q ; ~ \forall a， ~ b \in~ ( 0， ~+\infty) ~ ~， ~ ~ ( 2 a+b ) ~ ~ ( \frac{1} {a}+\frac{2} {b} ) ~ \geq1 6$$，则下列命题中的真命题是（）

A.$${{q}}$$

B.$${{p}{∧}{q}}$$

C.$${（{￢}{p}{）}{∨}{q}}$$

D.$${{p}{∧}{（}{￢}{q}{）}}$$

2、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '平面向量基本定理']

正确率60.0%$${{C}}$$在线段$${{A}{B}}$$上且不与$${{A}{、}{B}}$$重合，$${{O}}$$是直线$${{A}{B}}$$外一点，满足$$\overrightarrow{O C}=a \overrightarrow{O A}+b \overrightarrow{O B}，$$则$$\frac{2} {a}+\frac{1} {b}$$的最小值为（）

A.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{6}}$$

C.$$\frac{8+8 \sqrt{2}} {3}$$

D.$${{8}}$$

3、['点到直线的距离'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '直线和圆相切']

正确率40.0%设$${{m}{，}{n}{∈}{R}}$$，若直线$${{(}{m}{+}{1}{)}{x}{+}{(}{n}{+}{1}{)}{y}{−}{2}{=}{0}}$$与圆$${{(}{x}{−}{1}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{1}{{)}^{2}}{=}{1}}$$相切，则$${{m}{+}{n}}$$的取值范围是（）

A.$${{[}{1}{−}{\sqrt {3}}{，}{1}{+}{\sqrt {3}}{]}}$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{−}{\sqrt {3}}{]}{∪}{[}{1}{+}{\sqrt {3}}{，}{+}{∞}{)}}$$

C.$${{[}{2}{−}{2}{\sqrt {2}}{，}{2}{+}{2}{\sqrt {2}}{]}}$$

D.$${{(}{−}{∞}{，}{2}{−}{2}{\sqrt {2}}{]}{∪}{[}{2}{+}{2}{\sqrt {2}}{，}{+}{∞}{)}}$$

4、['在给定区间上恒成立问题'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '“对勾”函数的应用']

正确率60.0%己知正实数$${{x}{，}{y}}$$满足$${{x}{+}{y}{+}{3}{=}{x}{y}}$$，若对任意满足条件的$${{x}{，}{y}}$$，都有$${（{x}{+}{y}{）^{2}}{−}{a}{（}{x}{+}{y}{）}{+}{6}{⩾}{0}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的最大值为（）

A.$${{2}{\sqrt {6}}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{4}{\sqrt {6}}}$$

D.$${{8}}$$

5、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '归纳推理'， '函数求解析式']

正确率40.0%在实数集$${{R}}$$中定义一种运算$${{“}{⊕}{”}}$$，具有性质：
$${①}$$对任意$${{a}{，}{b}{∈}{R}{，}{a}{⊕}{b}{=}{b}{⊕}{a}}$$；
$${②}$$对任意$${{a}{∈}{R}{，}{a}{⊕}{0}{=}{a}}$$；
$${③}$$对任意$${{a}{，}{b}{，}{c}{∈}{R}{，}{（}{a}{⊕}{b}{）}{⊕}{c}{=}{c}{⊕}{（}{a}{b}{）}{+}{（}{a}{⊕}{c}{）}{+}{（}{b}{⊕}{c}{）}{−}{2}{c}}$$．
函数$$f \ {}^{\left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)}=x \oplus\frac{1} {x} \ {}^{\left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)}$$的最小值为（）

A.$${{4}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{1}}$$

6、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立']

正确率60.0%已知$${{a}{>}{0}{，}{b}{>}{0}{，}{a}{+}{b}{=}{1}}$$，则$$\frac1 a+\frac1 b$$的取值范围（）

A.$${（{2}{，}{+}{∞}{）}}$$

B.$${{[}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$

C.$${（{4}{，}{+}{∞}{）}}$$

D.$${{[}{4}{，}{+}{∞}{）}}$$

7、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '不等式的性质']

正确率60.0%已知$${{a}{>}{b}{>}{0}{，}{c}{≠}{0}}$$，则下列不等式中不恒成立的是（）

A.$$\frac{a-b} {c} > 0$$

B.$${{a}{{c}^{2}}{>}{b}{{c}^{2}}}$$

C.$${（{a}{+}{b}{）}{（}}$$$$\frac{1} {a}+\frac{1} {b} ) > 4$$

D.$${{a}^{2}{+}{{b}^{2}}{+}{2}{>}{2}{a}{+}{2}{b}}$$

8、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '不等式的性质']

正确率60.0%若实数$${{a}{>}{b}}$$，则下列不等式中一定成立的是（）

A.$${{a}{+}{b}{>}{2}{\sqrt {{a}{b}}}}$$

B.$${{a}^{2}{>}{{b}^{2}}}$$

C.$$\frac{1} {a} > \frac{1} {b}$$

D.$${{(}{a}{−}{b}{)}{{c}^{2}}{⩾}{0}}$$

9、['基本不等式的综合应用'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%设$${{x}{，}{y}{∈}{{R}_{+}}{，}}$$且$${{x}{y}{−}{(}{x}{+}{y}{)}{=}{1}{，}}$$则（）

A.$${{x}{+}{y}{⩾}{2}{(}{\sqrt {2}}{+}{1}{)}}$$

B.$${{x}{y}{⩽}{\sqrt {2}}{+}{1}}$$

C.$${{x}{+}{y}{⩽}{(}{\sqrt {2}}{+}{1}{{)}^{2}}}$$

D.$${{x}{y}{⩾}{2}{(}{\sqrt {2}}{+}{1}{)}}$$

10、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '函数的最大(小)值'， '分段函数的图象']

正确率40.0%设$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} ( x-a )^{2}， \， \， \， x \leqslant0，} \\ {} & {{} x+\frac{1} {x}+a， \， \， \， x > 0，} \\ \end{aligned} \right.$$若$${{f}{(}{0}{)}}$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小值，则$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$${{[}{−}{1}{，}{2}{]}}$$

B.$${{[}{−}{1}{，}{0}{]}}$$

C.$${{[}{1}{，}{2}{]}}$$

D.$${{[}{0}{，}{2}{]}}$$

1. 解析：

首先分析命题$$p$$：$$4 > 3^{\ln 2}$$。取自然对数得$$\ln 4 > \ln 3 \cdot \ln 2$$，即$$2 \ln 2 > \ln 3 \cdot \ln 2$$。由于$$\ln 2 > 0$$，化简得$$2 > \ln 3$$。计算$$\ln 3 \approx 1.0986$$，成立，故$$p$$为真。

再分析命题$$q$$：由柯西不等式，$$(2a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b}\right) \geq ( \sqrt{2a \cdot \frac{1}{a}} + \sqrt{b \cdot \frac{2}{b}} )^2 = ( \sqrt{2} + \sqrt{2} )^2 = 8$$。题目要求$$\geq 16$$，显然不成立，故$$q$$为假。

选项分析：A（假），B（假），C（假），D（真）。答案为D。

2. 解析：

由题意，$$C$$在$$AB$$上，故$$a + b = 1$$且$$a, b > 0$$。利用$$\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$$的最小值，设$$a + b = 1$$，由权方和不等式得$$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$$。验证等号成立条件$$a = 2 - \sqrt{2}$$，$$b = \sqrt{2} - 1$$，故答案为A。

3. 解析：

直线与圆相切条件为距离等于半径，即$$\frac{|m + n|}{\sqrt{(m+1)^2 + (n+1)^2}} = 1$$。化简得$$(m + n)^2 = (m + 1)^2 + (n + 1)^2$$，进一步得$$mn = m + n + 1$$。设$$m + n = t$$，则$$mn = t + 1$$，由判别式$$t^2 - 4(t + 1) \geq 0$$，解得$$t \in (-\infty, 2 - 2\sqrt{2}] \cup [2 + 2\sqrt{2}, +\infty)$$。答案为D。

4. 解析：

由$$x + y + 3 = xy$$，设$$x + y = s$$，$$xy = s + 3$$。由$$s^2 \geq 4xy$$得$$s^2 \geq 4(s + 3)$$，解得$$s \geq 6$$（舍负）。不等式$$(x + y)^2 - a(x + y) + 6 \geq 0$$化为$$s^2 - a s + 6 \geq 0$$对$$s \geq 6$$恒成立。求$$a \leq s + \frac{6}{s}$$的最小值，$$s + \frac{6}{s}$$在$$s = 6$$时取最小值$$7$$，故$$a \leq 7$$。答案为B。

5. 解析：

由性质③，令$$c = 0$$得$$a \oplus b = a + b + ab$$。函数$$f(x) = x \oplus \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} + 1$$。由均值不等式，$$x + \frac{1}{x} \geq 2$$，故$$f(x) \geq 3$$，等号当$$x = 1$$时成立。答案为B。

6. 解析：

由$$a + b = 1$$，$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} = \frac{1}{ab}$$。由$$ab \leq \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$，故$$\frac{1}{ab} \geq 4$$，等号当$$a = b = \frac{1}{2}$$时成立。答案为D。

7. 解析：

A选项：若$$c < 0$$，则$$\frac{a - b}{c} < 0$$，不恒成立。B选项：$$c^2 > 0$$，故$$a c^2 > b c^2$$恒成立。C选项：$$(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 4$$恒成立。D选项：$$a^2 + b^2 + 2 - 2a - 2b = (a - 1)^2 + (b - 1)^2 \geq 0$$恒成立。答案为A。

8. 解析：

A选项：$$a + b > 2\sqrt{ab}$$在$$a \neq b$$时成立。B选项：若$$a = 1$$，$$b = -2$$，不成立。C选项：若$$a = 1$$，$$b = -1$$，不成立。D选项：$$c^2 \geq 0$$，故$$(a - b)c^2 \geq 0$$恒成立。答案为D。

9. 解析：

由$$xy - (x + y) = 1$$，设$$x + y = s$$，$$xy = s + 1$$。由$$s^2 \geq 4xy$$得$$s^2 \geq 4(s + 1)$$，解得$$s \geq 2 + 2\sqrt{2}$$（舍负）。又$$xy = s + 1 \geq 3 + 2\sqrt{2}$$。选项A正确，B、C错误，D等价于$$s \geq 2 + 2\sqrt{2}$$，与A一致。答案为A。

10. 解析：

$$f(0) = a^2$$为最小值，需满足：
1. 当$$x \leq 0$$时，$$(x - a)^2 \geq a^2$$，即$$x(x - 2a) \geq 0$$对所有$$x \leq 0$$成立，故$$a \geq 0$$。
2. 当$$x > 0$$时，$$x + \frac{1}{x} + a \geq a^2$$。由$$x + \frac{1}{x} \geq 2$$，故$$2 + a \geq a^2$$，解得$$-1 \leq a \leq 2$$。
综上，$$a \in [0, 2]$$。答案为D。

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