.jpg)
正确率60.0%下列不等式正确的是$${{(}{)}}$$
C
A.$$x+\frac{1} {x} \geqslant2$$
B.$$x^{2}+\frac{1} {4} > x ( x > 0 )$$
C.$$\left| x+\frac{1} {x} \right| \geq2$$
D.$$\operatorname{s i n} x+\frac{1} {\operatorname{s i n} x} \geq2$$
2、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '向量的模'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{O A}=( 3， 1 )， \overrightarrow{O B}=(-1， 3 )， \ \overrightarrow{O C}=m \overrightarrow{O A}-n \overrightarrow{O B} ( m > 0， n > 0 ).$$若$$m+n=1$$，则$$| \overrightarrow{O C} |$$的最小值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {2}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
3、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '平面向量共线的坐标表示'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知$${{m}{，}{n}}$$为正实数，向量$$\vec{a} \，=( m， 1 )， \vec{b} \，=( 1-n， 1 )，$$若$$\vec{a} \， / / \vec{b} \;，$$则$$\frac1 m+\frac2 n$$的最小值为
C
A.$${{3}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{7}}$$
4、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的性质']正确率60.0%等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{4} a_{8}=9$$，则$${{a}_{3}{+}{{a}_{9}}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[ 6， ~+\infty)$$
B.$$( ~-\infty， ~-6 \big] \cup[ 6， ~+\infty)$$
C.$$( \ 6， \ \ +\infty)$$
D.$$( \ -6， \ 6 )$$
5、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立']正确率60.0%已知$$x \in(-2， ~ ~+\infty)，$$则函数$$y=x+\frac{1 6} {x+2}$$的最小值为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{0}}$$
6、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%当$${{x}{>}{1}}$$时，函数$$f ( x )=2 x+\frac{1} {x-1}$$的最小值是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}{+}{1}}$$
C.$$2 ( \sqrt{2}+1 )$$
D.$${{4}{\sqrt {2}}{+}{2}}$$
8、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '函数的最大(小)值'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%当$${{x}{>}{1}}$$时，不等式$$x+\frac1 {x-1} \leqslant a$$有解，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$$(-\infty， 2 ]$$
B.$$[ 2，+\infty)$$
C.$$[ 3，+\infty)$$
D.$$(-\infty， 3 ]$$
9、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '不等式的性质']正确率60.0%若$$a， \， \， b \in R$$下列说法中正确的个数为（）
$$\oplus\ ( a+b )^{2} \geqslant a^{2}+b^{2} ;$$若$$| a | > b$$，则$$a^{2} > b^{2}， ~ \oplus a+b \geqslant2 \sqrt{a b}$$
A
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
10、['基本不等式的综合应用'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '用不等式组表示不等关系'， '基本不等式的拓展']正确率40.0%在$$a > 0， b > 0$$的条件下，给出如下结论：①$$\left( \frac{a+b} {2} \right)^{2} \geqslant a b$$； ②$$\frac{a+b} {2} \geqslant\frac{2 a b} {a+b}$$； ③$$\frac{a+b} {2} \leq\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}} {2}}$$； ④$$\frac{a^{2}} {b}+\frac{b^{2}} {a} \leq a+b$$.其中正确结论的个数是（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
1. 选项分析：
A. 当 $$x > 0$$ 时，$$x + \frac{1}{x} \geq 2$$ 成立（由 AM-GM 不等式），但当 $$x < 0$$ 时不成立（如 $$x = -1$$ 时，$$x + \frac{1}{x} = -2$$）。因此 A 不完全正确。
B. 化简得 $$x^2 + \frac{1}{4} > x$$，即 $$x^2 - x + \frac{1}{4} > 0$$，即 $$(x - \frac{1}{2})^2 > 0$$。当 $$x \neq \frac{1}{2}$$ 时成立，但题目限定 $$x > 0$$，故 B 不完全正确。
C. 对于 $$x > 0$$，由 A 知 $$x + \frac{1}{x} \geq 2$$；对于 $$x < 0$$，设 $$x = -t$$（$$t > 0$$），则 $$\left| x + \frac{1}{x} \right| = t + \frac{1}{t} \geq 2$$。当 $$x = \pm 1$$ 时取等，故 C 正确。
D. 当 $$\sin x > 0$$ 时成立，但 $$\sin x$$ 可能为负（如 $$x = \frac{3\pi}{2}$$ 时，$$\sin x + \frac{1}{\sin x} = -2$$），故 D 不完全正确。
综上，正确答案为 C。
2. 向量计算：
由题意，$$\overrightarrow{OC} = m(3, 1) - n(-1, 3) = (3m + n, m - 3n)$$。
由 $$m + n = 1$$，设 $$m = t$$，则 $$n = 1 - t$$（$$t \in (0, 1)$$）。
则 $$|\overrightarrow{OC}| = \sqrt{(3t + (1 - t))^2 + (t - 3(1 - t))^2} = \sqrt{(2t + 1)^2 + (4t - 3)^2}$$。
展开得 $$\sqrt{4t^2 + 4t + 1 + 16t^2 - 24t + 9} = \sqrt{20t^2 - 20t + 10}$$。
配方得 $$\sqrt{20(t^2 - t + \frac{1}{2})} = \sqrt{20\left((t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}\right)}$$。
当 $$t = \frac{1}{2}$$ 时，最小值为 $$\sqrt{20 \times \frac{1}{4}} = \sqrt{5}$$。
正确答案为 C。
3. 向量平行条件：
由 $$\vec{a} \parallel \vec{b}$$，得 $$\frac{m}{1 - n} = \frac{1}{1}$$，即 $$m = 1 - n$$。
代入 $$\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$$，得 $$\frac{1}{1 - n} + \frac{2}{n}$$。
设 $$f(n) = \frac{1}{1 - n} + \frac{2}{n}$$（$$0 < n < 1$$），求导得极值点为 $$n = \frac{2}{3}$$。
代入得 $$f\left(\frac{2}{3}\right) = 3 + 2\sqrt{2}$$（由 AM-GM 不等式也可直接得到）。
正确答案为 C。
4. 等比数列性质：
设公比为 $$r$$，则 $$a_4 a_8 = a_3 r \cdot a_7 r = a_3 a_7 r^2 = 9$$。
但 $$a_3 + a_9 = a_3 + a_3 r^6 = a_3 (1 + r^6)$$。
由 $$a_4 a_8 = a_6^2 = 9$$，得 $$a_6 = \pm 3$$。
若 $$a_6 = 3$$，则 $$a_3 + a_9 = \frac{3}{r^3} + 3r^3 \geq 6$$（由 AM-GM 不等式）。
若 $$a_6 = -3$$，则 $$a_3 + a_9 = -\frac{3}{r^3} - 3r^3 \leq -6$$。
故取值范围为 $$(-\infty, -6] \cup [6, +\infty)$$。
正确答案为 B。
5. 函数最小值：
设 $$t = x + 2$$，则 $$t > 0$$，函数变为 $$y = t - 2 + \frac{16}{t} = t + \frac{16}{t} - 2$$。
由 AM-GM 不等式，$$t + \frac{16}{t} \geq 8$$，当 $$t = 4$$ 时取等。
故最小值为 $$8 - 2 = 6$$。
正确答案为 B。
6. 函数最小值：
设 $$t = x - 1$$，则 $$t > 0$$，函数变为 $$f(x) = 2(t + 1) + \frac{1}{t} = 2t + \frac{1}{t} + 2$$。
由 AM-GM 不等式，$$2t + \frac{1}{t} \geq 2\sqrt{2}$$，当 $$t = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 时取等。
故最小值为 $$2\sqrt{2} + 2$$。
正确答案为 C。
8. 不等式有解条件：
设 $$t = x - 1$$，则 $$t > 0$$，不等式变为 $$t + 1 + \frac{1}{t} \leq a$$。
函数 $$f(t) = t + \frac{1}{t} + 1 \geq 3$$（由 AM-GM 不等式），当 $$t = 1$$ 时取等。
为使不等式有解，需 $$a \geq 3$$。
正确答案为 C。
9. 命题分析：
① $$(a + b)^2 \geq a^2 + b^2$$ 化简为 $$2ab \geq 0$$，当 $$ab \geq 0$$ 时成立，但题目未限定 $$a, b$$ 符号，故不总是成立。
② 若 $$|a| > b$$，则 $$a^2 > b^2$$ 成立（因为 $$|a| > b \geq 0$$）。
③ $$a + b \geq 2\sqrt{ab}$$ 仅在 $$a, b \geq 0$$ 时成立。
综上，只有 ② 一定正确。
正确答案为 B。
10. 不等式验证：
① 由 AM-GM 不等式，$$\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \geq ab$$ 成立。
② 由调和平均 ≤ 算术平均，$$\frac{2ab}{a + b} \leq \frac{a + b}{2}$$ 成立。
③ 由平方平均 ≥ 算术平均，$$\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$$ 成立。
④ 反例：设 $$a = 1$$，$$b = 2$$，则 $$\frac{1}{2} + \frac{4}{1} = 4.5 > 3 = 1 + 2$$，故不成立。
综上，正确结论有 3 个。
正确答案为 C。