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正确率40.0%已知函数$$y=m^{x-1}+3 ( m > 0$$且$${{m}{≠}{1}{)}}$$的图象恒过的定点$${{A}}$$在直线$$\frac{x} {a}+\frac{y} {b}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$上，若关于$${{t}}$$的不等式$${{a}{+}{b}{⩾}{{2}{7}^{t}}}$$恒成立，则实数$${{t}}$$的最大值为（）
B
A.$$- \frac2 3$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$- \frac{3} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
2、['基本不等式的综合应用'， '双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线']正确率40.0%双曲线$$C_{1} \colon\ {\frac{x^{2}} {a^{2}}}-{\frac{y^{2}} {b^{2}}}=1 ( a > 0， \ b > 0 )$$的离心率为$${{e}_{1}}$$，双曲线$$C_{2} \colon~ {\frac{y^{2}} {m^{2}}}-{\frac{x^{2}} {n^{2}}}=1 ( m > 0， ~ n > 0 )$$的离心率为$${{e}_{2}}$$，双曲线$${{C}_{1}}$$与双曲线$${{C}_{2}}$$有相同的渐近线，则$$\frac{1} {e_{1}}+\frac{1} {e_{2}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[ \frac{\sqrt{2}} {2}， ~ 1 ]$$
B.$${（{1}{，}{\sqrt {2}}{]}}$$
C.$${{[}{\sqrt {2}}{，}{2}{）}}$$
D.$$[ \frac{\sqrt{2}} {2}， ~ \sqrt{2} ]$$
3、['基本不等式的综合应用'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$是椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {4}=1$$的两个焦点，点$${{M}}$$在$${{C}}$$上，则$${{|}{M}{{F}_{1}}{|}{⋅}{{|}{M}{{F}_{2}}{|}}}$$的最大值为（）
C
A.$${{1}{3}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{6}}$$
4、['基本不等式的综合应用'， '离散型随机变量的方差的性质'， '离散型随机变量的方差、标准差']正确率40.0%设$${{1}{0}{⩽}{{x}_{1}}{<}{{x}_{2}}{<}{{x}_{3}}{<}{{x}_{4}}{⩽}{{1}{0}^{4}}{，}}$$$${{x}_{5}{=}{{1}{0}^{5}}{，}}$$随机变量$${{X}_{1}}$$取值$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}{{x}_{3}}{，}{{x}_{4}}{，}{{x}_{5}}}$$的概率均为$${{0}{.}{2}{，}}$$随机变量$${{X}_{2}}$$取值$$\frac{x_{1}+x_{2}} {2}， ~ \frac{x_{2}+x_{3}} {2}， ~ \frac{x_{3}+x_{4}} {2}，$$$$\frac{x_{4}+x_{5}} {2}， ~ \frac{x_{5}+x_{1}} {2}$$的概率也均为$${{0}{.}{2}{，}}$$若记$${{D}{(}{{X}_{1}}{)}{，}{D}{(}{{X}_{2}}{)}}$$分别为$${{X}_{1}{，}{{X}_{2}}}$$的方差，则（）
A
A.$${{D}{(}{{X}_{1}}{)}{>}{D}{(}{{X}_{2}}{)}}$$
B.$${{D}{(}{{X}_{1}}{)}{=}{D}{(}{{X}_{2}}{)}}$$
C.$${{D}{(}{{X}_{1}}{)}{<}{D}{(}{{X}_{2}}{)}}$$
D.$${{D}{(}{{X}_{1}}{)}}$$与$${{D}{(}{{X}_{2}}{)}}$$的大小关系与$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}{{x}_{3}}{，}{{x}_{4}}}$$的取值有关
5、['基本不等式的综合应用']正确率60.0%已知$${{a}{>}{1}{，}}$$则$$\frac{a+1} {2}， ~ \sqrt{a}， ~ \frac{2 a} {a+1}$$这三个数的大小关系是（）
C
A.$${\frac{a+1} {2}} < ~ {\sqrt{a}} < ~ {\frac{2 a} {a+1}}$$
B.$$\sqrt{a} < ~ \frac{a+1} {2} < ~ \frac{2 a} {a+1}$$
C.$$\frac{2 a} {a+1} < \sqrt{a} < \frac{a+1} {2}$$
D.$$\sqrt{a} < \frac{2 a} {a+1} \leq\frac{a+1} {2}$$
6、['基本不等式的综合应用']正确率40.0%十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把$${{“}}$$$${{=}}$$$${{”}}$$作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用$${{“}}$$$${{>}}$$$${{”}}$$和$${{“}}$$$${{<}}$$$${{”}}$$符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数$$x+3 y=3 \left( x > 1， y > \frac1 3 \right)$$，则$$\frac{x} {x-1}+\frac{3 y} {3 y-1}$$的最小值为（）
A
A.$${{6}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{2}}$$
7、['基本不等式的综合应用'， '对数式的大小的比较'， '对数（型）函数的单调性'， '对数的运算性质']正确率60.0%已知$${{a}{>}{b}{>}{1}{，}{P}{=}{\sqrt {{l}{g}{a}{⋅}{{l}{g}}{b}}}{，}}$$$$Q=\frac1 2 ( \operatorname{l g} \， a+\operatorname{l g} \， b )， \， \， \， R=\operatorname{l g} \， ( \frac{a+b} {2} )$$，则$${{P}{，}{Q}{，}{R}}$$的关系是（）
D
A.$${{P}{>}{Q}{>}{R}}$$
B.$${{Q}{>}{R}{>}{P}}$$
C.$${{P}{>}{R}{>}{Q}}$$
D.$${{R}{>}{Q}{>}{P}}$$
8、['基本不等式的综合应用']正确率60.0%某工厂生产某种产品，第一年产量为$${{A}{，}}$$第二年的增长率为$${{a}{，}}$$第三年的增长率为$${{b}{，}}$$这两年的平均增长率为$${{x}{，}}$$则（）
B
A.$$x=\frac{a+b} {2}$$
B.$$x \leq\frac{a+b} {2}$$
C.$$x > \frac{a+b} {2}$$
D.$$x \geqslant\frac{a+b} {2}$$
9、['基本不等式的综合应用']正确率60.0%若函数$$f ( x )=x+\frac{1} {x-2} ( x > 2 )$$在$${{x}{=}{a}}$$处取最小值，则$${{a}{=}}$$（）
C
A.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{1}{+}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['基本不等式的综合应用'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%设$${{x}{，}{y}{∈}{{R}_{+}}{，}}$$且$${{x}{y}{−}{(}{x}{+}{y}{)}{=}{1}{，}}$$则 （）
A
A.$${{x}{+}{y}{⩾}{2}{(}{\sqrt {2}}{+}{1}{)}}$$
B.$${{x}{y}{⩽}{\sqrt {2}}{+}{1}}$$
C.$${{x}{+}{y}{⩽}{(}{\sqrt {2}}{+}{1}{{)}^{2}}}$$
D.$${{x}{y}{⩾}{2}{(}{\sqrt {2}}{+}{1}{)}}$$
1. 首先确定函数 $$y = m^{x-1} + 3$$ 的定点 $$A$$。当指数部分为 0 时，函数值不依赖于 $$m$$，故 $$x-1=0 \Rightarrow x=1$$，此时 $$y=1+3=4$$，所以 $$A(1,4)$$。将 $$A$$ 代入直线方程 $$\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1$$。根据不等式 $$a + b \geq 27^t$$ 恒成立，利用不等式约束条件，解得 $$t \leq \frac{2}{3}$$，故最大值为 $$\boxed{B}$$。
3. 椭圆 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$ 的焦点为 $$F_1(-\sqrt{5}, 0)$$ 和 $$F_2(\sqrt{5}, 0)$$。设 $$M(3\cos\theta, 2\sin\theta)$$，则 $$|MF_1| \cdot |MF_2| = \sqrt{(3\cos\theta + \sqrt{5})^2 + 4\sin^2\theta} \cdot \sqrt{(3\cos\theta - \sqrt{5})^2 + 4\sin^2\theta}$$。化简后利用不等式得最大值为 9，故答案为 $$\boxed{C}$$。
5. 设 $$a > 1$$，比较 $$\frac{a+1}{2}$$、$$\sqrt{a}$$ 和 $$\frac{2a}{a+1}$$。由均值不等式 $$\frac{a+1}{2} \geq \sqrt{a}$$，且 $$\frac{2a}{a+1} < \sqrt{a}$$（因为 $$a > 1$$），故大小关系为 $$\frac{2a}{a+1} < \sqrt{a} < \frac{a+1}{2}$$，答案为 $$\boxed{C}$$。
7. 由于 $$a > b > 1$$，$$P = \sqrt{\lg a \cdot \lg b}$$，$$Q = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)$$，$$R = \lg\left(\frac{a+b}{2}\right)$$。由均值不等式和函数的单调性可知 $$Q > R > P$$，答案为 $$\boxed{B}$$。
9. 函数 $$f(x) = x + \frac{1}{x-2}$$（$$x > 2$$）在 $$x = a$$ 处取最小值。令 $$t = x - 2$$，则 $$f(x) = t + 2 + \frac{1}{t}$$，由均值不等式得最小值为 $$3$$，当且仅当 $$t = 1$$ 即 $$x = 3$$ 时取得，故答案为 $$\boxed{C}$$。