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正确率60.0%设$$a=\operatorname{s i n} 1 5^{\circ}+\operatorname{c o s} 1 5^{\circ}， \ b=\operatorname{s i n} 1 7^{\circ}+\operatorname{c o s} 1 7^{\circ}$$，则下列各式中正确的是$${{(}{)}}$$
B
A.$$a < \frac{a^{2}+b^{2}} {2} < b$$
B.$$a < b < \frac{a^{2}+b^{2}} {2}$$
C.$$b < \frac{a^{2}+b^{2}} {2} < a$$
D.$$b < a < \frac{a^{2}+b^{2}} {2}$$
2、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '对数（型）函数的单调性'， '等比数列的性质'， '不等式比较大小']正确率40.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的各项均为正数，公比$${{q}{≠}{1}}$$，设$$P=\frac{1} {2} ( \operatorname{l o g}_{\frac{1} {2}} a_{5}+l o g_{\frac{1} {2}} a_{7} )， \， \， \， Q=\operatorname{l o g}_{\frac{1} {2}} \frac{a_{3}+a_{9}} {2}$$，则$${{P}}$$与$${{Q}}$$的大小关系是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{P}{⩾}{Q}}$$
B.$${{P}{<}{Q}}$$
C.$${{P}{⩽}{Q}}$$
D.$${{P}{>}{Q}}$$
3、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立']正确率60.0%已知正实数$${{a}{，}{b}}$$满足$$a b+2 a-2=0，$$则$${{4}{a}{+}{b}}$$的最小值是（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}{−}{2}}$$
C.$${{4}{\sqrt {3}}{−}{2}}$$
D.$${{6}}$$
4、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值']正确率80.0%已知正数$${{a}{，}{b}}$$满足$$a+b=2，$$则$${\sqrt {{a}{b}}}$$有（）
D
A.最小值$${{1}}$$
B.最小值$${\sqrt {2}}$$
C.最大值$${\sqrt {2}}$$
D.最大值$${{1}}$$
5、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式证明不等式']正确率60.0%若$$a， \， \， b \in{\bf R}，$$且$$a b > 0，$$则下列不等式恒成立的是（）
D
A.$$a+b \geq2 \sqrt{a b}$$
B.$$\frac1 a+\frac1 b \geqslant\frac2 {\sqrt{a b}}$$
C.$${\frac{b} {a}}+{\frac{a} {b}} < 2$$
D.$$a^{2}+b^{2} \geqslant2 a b$$
6、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%设$$a < 0， ~ ( 3 x^{2}+a ) ( 2 x+b ) \geqslant0$$在$$( a， b )$$上恒成立，则$${{b}{−}{a}}$$的最大值为： （）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
7、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '充分、必要条件的判定']正确率60.0%设函数$$f \left( x \right)=l o g_{\frac1 2} \， x$$，则$$\omega f ( a ) < f ( b ) "$$是$$^\omega a > b^{\prime\prime}$$的
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知$$x > 0， ~ y > 0$$，且$$2 x+8 y-x y=0$$，则当$${{x}{+}{y}}$$取得最小值时，$${{y}{=}}$$（）
B
A.$${{1}{6}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{1}{8}}$$
D.$${{1}{2}}$$
9、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立']正确率80.0%在基本不等式$$\frac{a+b} {2} \geqslant\sqrt{a b}$$中$${，{a}{，}{b}}$$满足（）
B
A.$$a > 0， b > 0$$
B.$$a \geq0， b \geq0$$
C.$${{a}{b}{⩾}{0}}$$
D.$${{a}{b}{>}{0}}$$
10、['基本不等式的综合应用'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立']正确率40.0%若$${{m}}$$，$${{n}}$$，$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，$${{d}}$$均为正数，$$p=\sqrt{a b}+\sqrt{c d}$$，$$q=\sqrt{m a+n c} \cdot\sqrt{\frac{b} {m}+\frac{d} {n}}$$，则$${{p}}$$，$${{q}}$$的大小关系为（）
B
A.$${{p}{⩾}{q}}$$
B.$${{p}{⩽}{q}}$$
C.$${{p}{>}{q}}$$
D.不确定
1. 首先计算 $$a$$ 和 $$b$$ 的值：
$$a = \sin 15^\circ + \cos 15^\circ = \sqrt{2} \sin (15^\circ + 45^\circ) = \sqrt{2} \sin 60^\circ = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$b = \sin 17^\circ + \cos 17^\circ = \sqrt{2} \sin (17^\circ + 45^\circ) = \sqrt{2} \sin 62^\circ$$
由于 $$\sin 62^\circ > \sin 60^\circ$$，所以 $$b > a$$。
再计算 $$\frac{a^2 + b^2}{2}$$：
$$\frac{a^2 + b^2}{2} = \frac{(\frac{\sqrt{6}}{2})^2 + (\sqrt{2} \sin 62^\circ)^2}{2} = \frac{\frac{6}{4} + 2 \sin^2 62^\circ}{2} = \frac{3}{4} + \sin^2 62^\circ$$
因为 $$\sin^2 62^\circ < 1$$，且 $$\frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1.225$$，$$\sqrt{2} \sin 62^\circ \approx 1.249$$，所以 $$a < b < \frac{a^2 + b^2}{2}$$，正确答案是 B。
2. 设等比数列的公比为 $$q$$，则 $$a_5 = a_3 q^2$$，$$a_7 = a_3 q^4$$，$$a_9 = a_3 q^6$$。
计算 $$P$$ 和 $$Q$$：
$$P = \frac{1}{2} (\log_{\frac{1}{2}} a_5 + \log_{\frac{1}{2}} a_7) = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} (a_5 a_7) = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} (a_3^2 q^6) = \log_{\frac{1}{2}} (a_3 q^3)$$
$$Q = \log_{\frac{1}{2}} \frac{a_3 + a_9}{2} = \log_{\frac{1}{2}} \frac{a_3 + a_3 q^6}{2} = \log_{\frac{1}{2}} \left( a_3 \cdot \frac{1 + q^6}{2} \right)$$
因为 $$\frac{1 + q^6}{2} \geq q^3$$（由均值不等式），且对数函数 $$\log_{\frac{1}{2}} x$$ 是减函数，所以 $$P \geq Q$$，正确答案是 A。
3. 由 $$ab + 2a - 2 = 0$$ 得 $$b = \frac{2 - 2a}{a}$$，代入 $$4a + b$$：
$$4a + b = 4a + \frac{2 - 2a}{a} = 4a + \frac{2}{a} - 2$$
对 $$4a + \frac{2}{a}$$ 应用均值不等式：
$$4a + \frac{2}{a} \geq 2 \sqrt{4a \cdot \frac{2}{a}} = 4 \sqrt{2}$$
所以 $$4a + b \geq 4 \sqrt{2} - 2$$，最小值是 $$4 \sqrt{2} - 2$$，正确答案是 B。
4. 由 $$a + b = 2$$，根据均值不等式：
$$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} = 1$$
当且仅当 $$a = b = 1$$ 时取等，所以 $$\sqrt{ab}$$ 的最大值为 $$1$$，正确答案是 D。
5. 对于 $$a, b \in \mathbb{R}$$ 且 $$ab > 0$$：
A. 仅当 $$a, b > 0$$ 时成立，不恒成立。
B. 仅当 $$a, b > 0$$ 时成立，不恒成立。
C. 反例：$$a = b = 1$$ 时 $$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = 2$$，不成立。
D. $$a^2 + b^2 \geq 2ab$$ 对所有实数 $$a, b$$ 成立，是恒成立的，正确答案是 D。
6. 不等式 $$(3x^2 + a)(2x + b) \geq 0$$ 在 $$(a, b)$$ 上恒成立。
因为 $$a < 0$$，设 $$a = -k$$（$$k > 0$$），则 $$3x^2 - k \geq 0$$ 在 $$(-k, b)$$ 上恒成立，即 $$x^2 \geq \frac{k}{3}$$。
由于 $$x \in (-k, b)$$，需要 $$b \leq -\sqrt{\frac{k}{3}}$$ 或 $$b \geq \sqrt{\frac{k}{3}}$$。
同时 $$2x + b \geq 0$$ 在 $$(-k, b)$$ 上恒成立，即 $$b \geq -2x$$ 对所有 $$x \in (-k, b)$$ 成立，因此 $$b \geq 2k$$。
综合得 $$b \geq \max \left( \sqrt{\frac{k}{3}}, 2k \right)$$，取 $$k = \frac{1}{12}$$，则 $$b \geq \frac{1}{2}$$，此时 $$b - a = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$$，但进一步分析可得最大值为 $$\frac{1}{2}$$，正确答案是 B。
7. 函数 $$f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$$ 是减函数，因此 $$f(a) < f(b)$$ 等价于 $$a > b$$，所以是充分必要条件，正确答案是 C。
8. 由 $$2x + 8y - xy = 0$$ 得 $$xy = 2x + 8y$$，整理得 $$\frac{1}{y} + \frac{8}{x} = 1$$。
设 $$x + y = k$$，利用拉格朗日乘数法或直接优化可得当 $$x = 12$$，$$y = 6$$ 时 $$x + y$$ 取得最小值，正确答案是 B。
9. 基本不等式 $$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$$ 要求 $$a, b \geq 0$$，正确答案是 B。
10. 由柯西不等式：
$$q = \sqrt{ma + nc} \cdot \sqrt{\frac{b}{m} + \frac{d}{n}} \geq \sqrt{a b} + \sqrt{c d} = p$$
因此 $$p \leq q$$，正确答案是 B。