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正确率60.0%已知点$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的边$${{B}{C}}$$上的任意一点，且满足$$\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}， \， \， \， x， \， \， y \in R.$$则$$\frac{1} {x}+\frac{4} {y}$$的最小值是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{4}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{1}{6}}$$
2、['点到直线的距离'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '两条直线垂直'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%已知动点$$( a， b )$$到直线$$2 x-y=0$$和$$x+2 y=0$$的距离之和为$${{4}}$$，则$${\sqrt {{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
3、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立']正确率60.0%已知$${{x}{>}{0}{，}}$$则$$x-4+\frac{4} {x}$$的最小值为（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
4、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立']正确率60.0%已知$$x \in(-2， ~ ~+\infty)，$$则函数$$y=x+\frac{1 6} {x+2}$$的最小值为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{0}}$$
5、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$${{C}{=}{{9}{0}^{∘}}}$$，三边为$$a， ~ b， ~ c$$，则$$\frac{a+b} {c}$$的范围是（）
B
A.$$( \sqrt{2}， \ 2 )$$
B.$$( 1， ~ \sqrt{2} ]$$
C.$$( 0， ~ \sqrt{2} ]$$
D.$$[ \frac{\sqrt{2}} {2}， ~ \sqrt{2} ]$$
6、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '反证法']正确率40.0%设$$x， ~ y， ~ z < 0$$，则$$x+\frac{1} {y}， ~ y+\frac{1} {z}， ~ z+\frac{1} {x}$$，则（）
D
A.至少有一个不小于$${{2}}$$
B.至少有一个不小于$${{−}{2}}$$
C.至少有一个不大于$${{2}}$$
D.至少有一个不大于$${{−}{2}}$$
7、['在给定区间上恒成立问题'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值'， '利用函数奇偶性求解析式']正确率40.0%设$${{a}}$$为实常数，$$y=f ~ ( x )$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，且当$${{x}{<}{0}}$$时，$$f ( x )=9 x+\frac{a^{2}} {x}+7$$．若$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \geq a+1$$对一切$${{x}{⩾}{0}}$$成立，则$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{a}{⩽}{0}}$$
B.$$a \geq\frac{8} {5}$$
C.$$a \leq-\frac{8} {7} \ddag\ddag a \geqslant\frac{8} {5}$$
D.$$a \leq-\frac{8} {7}$$
8、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立']正确率60.0%下列不等式正确的是（）
A
A.$$x^{2}+\frac{3} {x^{2}} \geqslant2 \sqrt{3}$$
B.$$a^{2}+b^{2} \geqslant4 a b$$
C.$$\sqrt{a b} \geq\frac{a+b} {2}$$
D.$$a+\frac{4} {a} \geqslant4$$
9、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '充分、必要条件的判定']正确率60.0%若$$a > 0， \; b > 0$$，则$$\omega a+b \leqslant8 "$$是
的（）
B
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '不等式的性质']正确率60.0%若实数$${{a}{>}{b}}$$，则下列不等式中一定成立的是（）
D
A.$$a+b > 2 \sqrt{a b}$$
B.$${{a}^{2}{>}{{b}^{2}}}$$
C.$$\frac{1} {a} > \frac{1} {b}$$
D.$$\left( a-b \right) c^{2} \ge0$$
1. 由于点$$P$$在边$$BC$$上，根据向量共线定理，存在$$t \in [0,1]$$，使得$$\overrightarrow{AP} = (1-t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$$。与题目给出的$$\overrightarrow{AP} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$$对比，可得$$x + y = 1$$（因为$$(1-t) + t = 1$$）。
要求$$\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$$的最小值，代入$$y = 1 - x$$，转化为求$$\frac{1}{x} + \frac{4}{1-x}$$在$$x \in (0,1)$$的最小值。利用导数或不等式（如柯西不等式）可得最小值为$$9$$，当$$x = \frac{1}{3}$$时取得。故选$$C$$。
2. 动点$$(a,b)$$到两条直线的距离和为$$4$$，即$$\frac{|2a - b|}{\sqrt{5}} + \frac{|a + 2b|}{\sqrt{5}} = 4$$。化简得$$|2a - b| + |a + 2b| = 4\sqrt{5}$$。
利用绝对值不等式和几何意义，$$a^2 + b^2$$的最小值为$$4$$，故$$\sqrt{a^2 + b^2}$$的最小值为$$2$$。故选$$A$$。
3. 函数$$y = x - 4 + \frac{4}{x}$$，对$$x > 0$$求最小值。利用导数法或不等式（如AM-GM不等式），令$$y = x + \frac{4}{x} - 4 \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} - 4 = 0$$，当且仅当$$x = 2$$时取等。故选$$B$$。
4. 函数$$y = x + \frac{16}{x+2}$$，令$$t = x + 2$$（$$t > 0$$），则$$y = t + \frac{16}{t} - 2$$。利用AM-GM不等式，$$t + \frac{16}{t} \geq 8$$，故$$y \geq 6$$，当$$t = 4$$即$$x = 2$$时取等。故选$$B$$。
5. 在直角三角形$$ABC$$中，$$C = 90^\circ$$，$$a^2 + b^2 = c^2$$。设$$\theta$$为角$$A$$，则$$\frac{a+b}{c} = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + 45^\circ)$$，其范围为$$(1, \sqrt{2}]$$。故选$$B$$。
6. 设$$x, y, z < 0$$，考虑$$x + \frac{1}{y}$$、$$y + \frac{1}{z}$$、$$z + \frac{1}{x}$$。假设三者均大于$$-2$$，则$$x > -2 - \frac{1}{y}$$，$$y > -2 - \frac{1}{z}$$，$$z > -2 - \frac{1}{x}$$。通过循环代入可导出矛盾，故至少有一个不大于$$-2$$。故选$$D$$。
7. 函数$$f(x)$$为奇函数，故$$f(0) = 0$$。当$$x < 0$$时，$$f(x) = 9x + \frac{a^2}{x} + 7$$；当$$x > 0$$时，$$f(x) = -f(-x) = 9x + \frac{a^2}{x} - 7$$。
要求$$f(x) \geq a + 1$$对一切$$x \geq 0$$成立，即$$9x + \frac{a^2}{x} - 7 \geq a + 1$$。利用不等式分析可得$$a \leq -\frac{8}{7}$$或$$a \geq \frac{8}{5}$$。故选$$C$$。
8. 选项分析：
A. $$x^2 + \frac{3}{x^2} \geq 2\sqrt{3}$$（正确，AM-GM不等式）。
B. $$a^2 + b^2 \geq 4ab$$（错误，反例$$a = b = 1$$）。
C. $$\sqrt{ab} \geq \frac{a+b}{2}$$（错误，应为$$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$$）。
D. $$a + \frac{4}{a} \geq 4$$（正确，当$$a > 0$$时成立）。
故选$$A$$和$$D$$，但题目为单选题，可能选项有误。
9. 题目描述不完整，无法解析。
10. 选项分析：
A. $$a + b > 2\sqrt{ab}$$（不一定，如$$a = 4$$，$$b = 1$$时成立，但$$b$$为负时不成立）。
B. $$a^2 > b^2$$（不一定，如$$a = -1$$，$$b = -2$$）。
C. $$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$（不一定，如$$a = 1$$，$$b = -1$$）。
D. $$(a - b)c^2 \geq 0$$（成立，因为$$a > b$$且$$c^2 \geq 0$$）。
故选$$D$$。