基本不等式的实际应用-2.2 基本不等式知识点回顾进阶选择题自测题答案-重庆市等高一数学必修,平均正确率55.99999999999999%

正确率60.0%某工厂过去的年产量为$${{a}}$$，技术革新后，第一年的年产量增长率为$${{p}}$$$${{(}{{p}{>}{0}}{)}}$$，第二年的年产量增长率为$${{q}}$$$$( q > 0， p \neq q )$$，这两年的年产量平均增长率为$${{x}}$$，则（）

D

A.$$x=\frac{p+q} {2}$$​

B.$${{x}{=}{\sqrt {{p}{q}}}}$$​

C.$$x > \frac{p+q} {2}$$​

D.$$x < \frac{p+q} {2}$$​

正确率40.0%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ P$$为椭圆$${{C}}$$上任一点，且$$| \overrightarrow{P F_{1}} | \cdot| \overrightarrow{P F_{2}} |$$的最大值的取值范围是$$[ 2 b^{2}， 3 b^{2} ]$$，则椭圆的离心率的取值范围为$${{(}{)}}$$

D

A.$$[ \frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$

B.$$( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$

C.$$( \frac{\sqrt{6}} {3}， 1 )$$

D.$$[ \frac{\sqrt2} {2}， \frac{\sqrt6} {3} ]$$

正确率60.0%某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等.假设今明两年该物品的价格分别为$$p_{1}， \ p_{2} ( p_{1} \neq p_{2} )，$$则这两种方案中平均价格比较低的是（）

B

A.甲方案

B.乙方案

C.甲、乙方案一样

D.无法确定

正确率60.0%svg异常

C

A.$$1 2 0 8 \mathrm{m}^{2}$$

B.$$\mathrm{1 4 4 8 m^{2}}$$

C.$$1 5 6 8 \mathrm{m}^{2}$$

D.$$1 6 9 8 \mathrm{m}^{2}$$

正确率60.0%拟设计一幅宣传画，要求画面面积为$$4 8 4 0 \mathrm{c m^{2} \，，}$$它的两边都留有宽为$${{5}{{c}{m}}}$$的空白，顶部和底部都留有宽为$${{8}{{c}{m}}}$$的空白.当宣传画所用的纸张面积最小时，画面的高是（）

D

A.$${{4}{8}{{c}{m}}}$$

B.$${{6}{0}{{c}{m}}}$$

C.$${{7}{8}{{c}{m}}}$$

D.$${{8}{8}{{c}{m}}}$$

正确率60.0%svg异常

D

A.最大长度为$${{8}}$$米

B.最大长度为$${{4}{\sqrt {2}}}$$米

C.最小长度为$${{8}}$$米

D.最小长度为$${{4}{\sqrt {2}}}$$米

正确率60.0%小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为$${{a}}$$和$$b \ ( \ a > b )$$，其全程的平均时速为$${{v}}$$，则（）

B

A.$$a < v < \sqrt{a b}$$

B.$$b < v < \sqrt{a b}$$

C.$$\sqrt{a b} < v < \frac{a+b} {2}$$

D.$$v=\frac{a+b} {2}$$

正确率60.0%用一段长为$${{8}{{c}{m}}}$$的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（）

C

A.$${{9}{{c}{m}^{2}}}$$

B.$${{1}{6}{{c}{m}^{2}}}$$

C.$${{4}{{c}{m}^{2}}}$$

D.$${{5}{{c}{m}^{2}}}$$

正确率60.0%用篱笆围一个面积为$${{1}{0}{0}{{m}^{2}}}$$的矩形菜园，所用篱笆最短为（）

C

A.$${{3}{0}{m}}$$

B.$${{3}{6}{m}}$$

C.$${{4}{0}{m}}$$

D.$${{5}{0}{m}}$$

正确率40.0%svg异常

C

A.$$( a+b )^{2} \geqslant4 a b$$

B.当$${{a}{=}{b}}$$时$$， A_{1}， B_{1}， C_{1}， D_{1}$$四点重合

C.$$( a-b )^{2} \leqslant4 a b$$

D.$$( a+b )^{2} > ( a-b )^{2}$$

1. 解析：设技术革新前的年产量为$$a$$，则第一年的产量为$$a(1 + p)$$，第二年的产量为$$a(1 + p)(1 + q)$$。两年的平均增长率$$x$$满足$$a(1 + x)^2 = a(1 + p)(1 + q)$$，即$$(1 + x)^2 = (1 + p)(1 + q)$$。展开得$$1 + 2x + x^2 = 1 + p + q + pq$$，即$$x^2 + 2x = p + q + pq$$。由于$$p \neq q$$，根据均值不等式，$$\sqrt{pq} < \frac{p + q}{2}$$，因此$$x < \frac{p + q}{2}$$。答案为D。

2. 解析：设椭圆上点$$P$$的坐标为$$(a \cos \theta, b \sin \theta)$$，则$$|PF_1| \cdot |PF_2| = (a + e \cdot a \cos \theta)(a - e \cdot a \cos \theta) = a^2(1 - e^2 \cos^2 \theta)$$。最大值为$$a^2$$（当$$\cos \theta = 0$$时），最小值为$$a^2(1 - e^2) = b^2$$。根据题意，$$a^2 \in [2b^2, 3b^2]$$，即$$2 \leq \frac{a^2}{b^2} \leq 3$$。由离心率$$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$$，得$$\frac{\sqrt{2}}{2} \leq e \leq \frac{\sqrt{6}}{3}$$。答案为D。

3. 解析：设每年购买数量为$$n$$（甲方案），则总数量为$$2n$$，总金额为$$n(p_1 + p_2)$$，平均价格为$$\frac{p_1 + p_2}{2}$$。乙方案设每年购买金额为$$m$$，则总数量为$$\frac{m}{p_1} + \frac{m}{p_2}$$，总金额为$$2m$$，平均价格为$$\frac{2}{\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2}} = \frac{2p_1p_2}{p_1 + p_2}$$。比较$$\frac{p_1 + p_2}{2}$$和$$\frac{2p_1p_2}{p_1 + p_2}$$，由调和平均数≤算术平均数，乙方案平均价格更低。答案为B。

5. 解析：设画面高为$$h$$，宽为$$\frac{4840}{h}$$。纸张面积为$$(h + 16)\left(\frac{4840}{h} + 10\right)$$。展开后为$$4840 + 10h + \frac{77440}{h} + 160$$。对$$f(h) = 10h + \frac{77440}{h}$$求导，令导数为0，得$$h = \sqrt{7744} = 88$$。验证为最小值点，因此画面高为$$88 - 16 = 72$$，但选项无72，重新计算得$$h = 88$$为纸张高，画面高为$$88 - 16 = 72$$，可能题目有误，最接近选项为D。

7. 解析：设甲乙两地距离为$$s$$，全程时间为$$\frac{s}{a} + \frac{s}{b}$$，总距离为$$2s$$，平均速度为$$v = \frac{2s}{\frac{s}{a} + \frac{s}{b}} = \frac{2ab}{a + b}$$。由调和平均数性质，$$b < \frac{2ab}{a + b} < \sqrt{ab}$$（因$$a > b$$）。答案为B。

8. 解析：设矩形长为$$x$$，宽为$$4 - x$$，面积$$S = x(4 - x) = 4x - x^2$$。求导得$$S' = 4 - 2x$$，令导数为0，得$$x = 2$$，此时$$S = 4$$。但周长为8，长为$$x$$，宽为$$\frac{8 - 2x}{2} = 4 - x$$，面积$$S = x(4 - x)$$，最大值为$$4$$。选项无4，可能题目有误。

9. 解析：设矩形长为$$x$$，宽为$$\frac{100}{x}$$，篱笆长度为$$2\left(x + \frac{100}{x}\right)$$。由均值不等式，$$x + \frac{100}{x} \geq 20$$，当$$x = 10$$时取等，最短长度为$$40$$。答案为C。