利用基本不等式求最值-2.2 基本不等式知识点月考基础自测题解析-吉林省等高一数学必修,平均正确率60.0%

1、['实数指数幂的运算性质'， '利用基本不等式求最值']

正确率60.0%已知$$a+b=2$$，则$${{3}^{a}{+}{{3}^{b}}}$$的最小值是（）

A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

3、['球的结构特征及其性质'， '球的表面积'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%若矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$的对角线交点为$${{O}{^{′}}}$$，周长为$${{4}{\sqrt {{1}{0}}}}$$，四个顶点都在球$${{O}}$$的表面上，且$$O O^{\prime}=\sqrt{3}$$，则球$${{O}}$$的表面积的最小值为

A.$$\frac{3 2 \sqrt{2} \pi} {3}$$

B.$$\frac{6 4 \sqrt{2} \pi} {3}$$

C.$${{3}{2}{π}}$$

D.$${{4}{8}{π}}$$

4、['直线的点斜式方程'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%已知过点$$( 1， \ 3 )$$的直线$${{l}}$$的倾斜角为$${{1}{3}{5}^{∘}}$$，设点$$( \ x， \ y )$$是直线$${{l}}$$在第一象限内的部分上的一点，则$$\frac{1} {x}+\frac{4} {y}$$的最小值是（）

A.$$\frac{9} {2}$$

B.$${{2}}$$

C.$$\frac{9} {4}$$

D.$${{4}}$$

5、['利用基本不等式求最值']

正确率80.0%已知正数$${{x}}$$、$${{y}}$$满足$$\frac{2} {x}+\frac{1} {y}=1$$，若不等式$$x+2 y > m$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$( 8，+\infty)$$

B.$$( 4，+\infty)$$

C.$$(-\infty， 8 )$$

D.$$(-\infty， 4 )$$

6、['利用基本不等式求最值']

正确率80.0%已知$${{a}{>}{0}}$$，$${{b}{>}{0}}$$，若$$a+b-4 \sqrt{2}=0$$，则$${{a}{b}}$$的最大值为$${{(}{)}}$$

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{8}}$$

7、['导数的四则运算法则'， '利用基本不等式求最值'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率60.0%二次函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=a x^{2}+b x+c$$的导数为$$f^{\prime} \textsubscript{\textit{( x )}}$$，对一切$$x \in R， ~ f \left( x \right) ~ \geq0$$，又$$f^{\prime} \ ( 0 ) \ > 0$$，则$$\frac{f ( 1 )} {f^{\prime} ( 0 )}$$的最小值是（）

A.$${{2}}$$

B.$${{2}{.}{5}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

8、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '导数与单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%若函数$$f ( x )=\operatorname{l n} x+x^{2}-2 a x$$在区间$$( 0， 1 )$$上是递增函数，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[-\sqrt{2}，+\infty)$$

B.$$[-\sqrt{2}， 0 )$$

C.$$(-\infty， \sqrt{2} ]$$

D.$$( 0， \sqrt{2} ]$$

9、['利用基本不等式求最值']

正确率60.0%设$${{x}{，}{y}}$$均为正数，且$$x+4 y=4$$，则$${{x}{y}}$$的最大值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{1}{6}}$$

10、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%已知$$x > 0， ~ y > 0$$，且$$2 x+8 y-x y=0$$，则当$${{x}{+}{y}}$$取得最小值时，$${{y}{=}}$$（）

A.$${{1}{6}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{1}{8}}$$

D.$${{1}{2}}$$

1. 已知$$a+b=2$$，求$$3^a + 3^b$$的最小值。

由于$$a+b=2$$，利用对称性，设$$a = 1 + t$$，$$b = 1 - t$$，则： $$3^a + 3^b = 3^{1+t} + 3^{1-t} = 3 \cdot 3^t + 3 \cdot 3^{-t} = 3(3^t + 3^{-t})$$ 由AM-GM不等式，$$3^t + 3^{-t} \geq 2\sqrt{3^t \cdot 3^{-t}} = 2$$，当且仅当$$t=0$$时取等。因此，最小值为$$3 \times 2 = 6$$，答案为$$B$$。

3. 矩形$$ABCD$$的对角线交点为$$O'$$，周长为$$4\sqrt{10}$$，四个顶点在球$$O$$上，且$$OO'=\sqrt{3}$$，求球$$O$$表面积的最小值。

设矩形长和宽为$$2a$$和$$2b$$，则周长为$$4(a+b) = 4\sqrt{10}$$，即$$a+b=\sqrt{10}$$。对角线长度为$$2\sqrt{a^2 + b^2}$$，球心到矩形平面的距离为$$OO' = \sqrt{3}$$。球的半径$$R$$满足$$R^2 = OO'^2 + \left(\frac{对角线}{2}\right)^2 = 3 + (a^2 + b^2)$$。由$$a+b=\sqrt{10}$$，$$a^2 + b^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2} = 5$$，当$$a=b$$时取等。因此，$$R^2 \geq 3 + 5 = 8$$，最小表面积为$$4\pi R^2 = 32\pi$$，答案为$$C$$。

4. 直线$$l$$过点$$(1,3)$$，倾斜角为$$135^\circ$$，求$$\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$$的最小值。

直线斜率为$$\tan 135^\circ = -1$$，方程为$$y - 3 = -1(x - 1)$$，即$$y = -x + 4$$。点$$(x,y)$$在第一象限内，故$$0 < x < 4$$，$$y = -x + 4$$。目标函数为$$\frac{1}{x} + \frac{4}{-x+4}$$。设$$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{4}{4-x}$$，求导得： $$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{4}{(4-x)^2}$$，令导数为零： $$-\frac{1}{x^2} + \frac{4}{(4-x)^2} = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$$。代入得最小值为$$\frac{9}{4}$$，答案为$$C$$。

5. 正数$$x,y$$满足$$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$$，求$$x + 2y > m$$恒成立时$$m$$的范围。

由条件得$$y = \frac{x}{x-2}$$（$$x > 2$$），则： $$x + 2y = x + \frac{2x}{x-2}$$。设$$t = x - 2$$（$$t > 0$$），则： $$x + 2y = t + 2 + \frac{2(t+2)}{t} = t + 2 + \frac{2t + 4}{t} = t + \frac{4}{t} + 4$$。由AM-GM不等式，$$t + \frac{4}{t} \geq 4$$，当$$t=2$$时取等。因此，$$x + 2y \geq 8$$，故$$m < 8$$，答案为$$C$$。

6. 已知$$a + b = 4\sqrt{2}$$，求$$ab$$的最大值。

由AM-GM不等式，$$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \left(\frac{4\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 8$$，当$$a = b = 2\sqrt{2}$$时取等。答案为$$D$$。

7. 二次函数$$f(x) = ax^2 + bx + c$$满足$$f(x) \geq 0$$对所有$$x \in R$$成立，且$$f'(0) > 0$$，求$$\frac{f(1)}{f'(0)}$$的最小值。

由$$f(x) \geq 0$$，得$$a > 0$$且判别式$$b^2 - 4ac \leq 0$$。导数$$f'(x) = 2ax + b$$，故$$f'(0) = b > 0$$。目标为$$\frac{f(1)}{f'(0)} = \frac{a + b + c}{b}$$。由判别式条件，$$c \geq \frac{b^2}{4a}$$，因此： $$\frac{a + b + c}{b} \geq \frac{a + b + \frac{b^2}{4a}}{b} = \frac{a}{b} + 1 + \frac{b}{4a}$$。设$$t = \frac{a}{b}$$，则表达式为$$t + 1 + \frac{1}{4t}$$。求导得最小值在$$t = \frac{1}{2}$$时取得，值为$$2$$，答案为$$A$$。

8. 函数$$f(x) = \ln x + x^2 - 2a x$$在$$(0,1)$$上递增，求$$a$$的范围。

导数$$f'(x) = \frac{1}{x} + 2x - 2a \geq 0$$在$$(0,1)$$上恒成立。即$$a \leq \frac{1}{2x} + x$$对$$x \in (0,1)$$成立。函数$$g(x) = \frac{1}{2x} + x$$在$$(0,1)$$上最小值为$$g\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}$$。因此，$$a \leq \sqrt{2}$$，答案为$$C$$。

9. 正数$$x,y$$满足$$x + 4y = 4$$，求$$xy$$的最大值。

由AM-GM不等式，$$xy = x \cdot 4y / 4 \leq \frac{(x + 4y)^2}{16} = \frac{16}{16} = 1$$，当$$x = 4y = 2$$时取等。答案为$$A$$。

10. 正数$$x,y$$满足$$2x + 8y - xy = 0$$，求$$x + y$$的最小值及对应的$$y$$。

由条件得$$y = \frac{2x}{x - 8}$$（$$x > 8$$），则： $$x + y = x + \frac{2x}{x - 8}$$。设$$t = x - 8$$（$$t > 0$$），则： $$x + y = t + 8 + \frac{2(t + 8)}{t} = t + 8 + \frac{2t + 16}{t} = t + \frac{16}{t} + 10$$。由AM-GM不等式，$$t + \frac{16}{t} \geq 8$$，当$$t = 4$$时取等。此时$$x = 12$$，$$y = 6$$，答案为$$B$$。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}