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正确率40.0%如图，在$${{△}{O}{A}{B}}$$中，点$${{C}}$$满足$$B C=2 C A，$$点$${{P}}$$为$${{O}{C}}$$的中点，过点$${{P}}$$的直线交线段$$O A， \ O B$$分别于点$${{M}{，}{N}{，}}$$若$$O M=\lambda O A ( 0 < ~ \lambda< ~ 1 )， ~ O N=\mu O B ( 0 < ~ \mu< ~ 1 ).$$则$${{2}{λ}{+}{μ}}$$的最小值为（）
D
A.$${{9}}$$
B.$${{4}}$$
C.$$\frac{4} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
2、['直线的点斜式方程'， '两直线的交点坐标'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '三角形的面积（公式）'， '两条直线垂直'， '“对勾”函数的应用'， '基本不等式的实际应用']正确率40.0%设直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$分别是函数$$f ( x )=| \operatorname{l n} \， x |$$图象上点$${{P}_{1}{，}{{P}_{2}}}$$处的切线，$${{l}_{1}}$$与$${{l}_{2}}$$垂直相交于点$${{P}}$$，且$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$分别与$${{y}}$$轴相交于点$${{A}{，}{B}}$$，则$${{△}{P}{A}{B}}$$的面积的取值范围是（）
A
A.$$( 0， 1 )$$
B.$$( 0， 2 )$$
C.$$( 0，+\infty)$$
D.$$( 1，+\infty)$$
4、['基本不等式的实际应用']正确率60.0%为提高居民的冬季取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区$${{2}{0}}$$千米处建立供热站，那么这两项费用分别为$${{5}}$$千元和$${{8}}$$万元，若要使这两项费用之和最小，则供热站应建在离社区（）
A
A.$${{5}}$$千米处
B.$${{6}}$$千米处
C.$${{7}}$$千米处
D.$${{8}}$$千米处
5、['利用基本不等式求最值'， '基本不等式的实际应用']正确率80.0%单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关$${{.}}$$假设某条道路一小时通过的车辆数$${{N}}$$满足关系$$N=\frac{1 0 0 0 v} {0. 7 v+0. 3 v^{2}+d_{0}}$$，其中$${{d}_{0}}$$为安全距离，$${{v}}$$为车速$${{(}{{m}{/}{s}}{)}{.}}$$当安全距离$${{d}_{0}}$$取$${{3}{0}{m}}$$时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}{3}{5}}$$
B.$${{1}{4}{9}}$$
C.$${{1}{6}{5}}$$
D.$${{1}{9}{5}}$$
6、['基本不等式的实际应用']正确率60.0%在某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度$${{a}}$$匀速跑，后半程以速度$${{b}}$$匀速跑；选手乙前一半时间以速度$${{a}}$$匀速跑，后一半时间以速度$${{b}}$$匀速跑(注：速度单位$${{m}{/}{s}{)}}$$.若$${{a}{≠}{b}{，}}$$则（）
B
A.甲先到达终点
B.乙先到达终点
C.甲、乙同时到达终点
D.无法确定谁先到达终点
7、['基本不等式的实际应用']正确率60.0%svg异常，非svg图片
C
A.$${{1}{5}}$$
B.$${{2}{0}}$$
C.$${{2}{5}}$$
D.$${{3}{0}}$$
8、['反证法'， '基本不等式的实际应用']正确率40.0%设$$a， b， c \in( 0， 2 )$$，则三个数$$a \left( 2-b \right)， \， \， b \left( 2-c \right)， \， \， c \left( 2-a \right)$$）
C
A.都小于$${{1}}$$
B.至少有一个大于$${{1}}$$
C.至少有一个不大于$${{1}}$$
D.至少有一个不小于$${{1}}$$
9、['利用基本不等式求最值'， '基本不等式的实际应用']正确率40.0%中国南宋大数学家秦九韶提出了$${{“}}$$三斜求积术$${{”}}$$，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为$$a， ~ b， ~ c$$，则三角形的面积$${{S}}$$可由公式$$S=\sqrt{p ( p-a ) ( p-b ) ( p-c )}$$求得，其中$${{p}}$$为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足$$a=6， ~ b+c=8$$，则此三角形面积的最大值为（）
A
A.$${{3}{\sqrt {7}}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{4}{\sqrt {7}}}$$
D.$${{9}{\sqrt {3}}}$$
10、['利用基本不等式求最值'， '基本不等式的实际应用']正确率60.0%用篱笆围一个面积为$${{1}{0}{0}{{m}^{2}}}$$的矩形菜园，所用篱笆最短为（）
C
A.$${{3}{0}{m}}$$
B.$${{3}{6}{m}}$$
C.$${{4}{0}{m}}$$
D.$${{5}{0}{m}}$$
1. 在三角形 $$OAB$$ 中，点 $$C$$ 满足 $$BC = 2CA$$，点 $$P$$ 为 $$OC$$ 的中点。过点 $$P$$ 的直线交 $$OA$$ 和 $$OB$$ 于点 $$M$$ 和 $$N$$，且 $$OM = \lambda OA$$，$$ON = \mu OB$$，其中 $$0 < \lambda < 1$$，$$0 < \mu < 1$$。求 $$2\lambda + \mu$$ 的最小值。
设 $$OA = \vec{a}$$，$$OB = \vec{b}$$。由 $$BC = 2CA$$，得 $$OC = \frac{2}{3}OA + \frac{1}{3}OB = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$$。点 $$P$$ 为 $$OC$$ 的中点，故 $$OP = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b}$$。
直线 $$MN$$ 过点 $$P$$，且 $$OM = \lambda \vec{a}$$，$$ON = \mu \vec{b}$$。由共线条件，存在实数 $$k$$ 使得 $$OP = (1 - k)OM + kON = (1 - k)\lambda \vec{a} + k\mu \vec{b}$$。
因此，$$\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} = (1 - k)\lambda \vec{a} + k\mu \vec{b}$$。比较系数得：
$$(1 - k)\lambda = \frac{1}{3}$$
$$k\mu = \frac{1}{6}$$
消去 $$k$$，由第二式得 $$k = \frac{1}{6\mu}$$，代入第一式：
$$(1 - \frac{1}{6\mu})\lambda = \frac{1}{3}$$
解得 $$\lambda = \frac{1}{3(1 - \frac{1}{6\mu})} = \frac{2\mu}{6\mu - 1}$$。
于是 $$2\lambda + \mu = \frac{4\mu}{6\mu - 1} + \mu = \frac{4\mu + \mu(6\mu - 1)}{6\mu - 1} = \frac{6\mu^2 + 3\mu}{6\mu - 1}$$。
令 $$t = 6\mu - 1$$，则 $$\mu = \frac{t + 1}{6}$$，代入得：
$$2\lambda + \mu = \frac{6(\frac{t + 1}{6})^2 + 3(\frac{t + 1}{6})}{t} = \frac{\frac{(t + 1)^2}{6} + \frac{t + 1}{2}}{t} = \frac{(t + 1)^2 + 3(t + 1)}{6t} = \frac{t^2 + 5t + 4}{6t} = \frac{t}{6} + \frac{5}{6} + \frac{2}{3t}$$。
由均值不等式，$$\frac{t}{6} + \frac{2}{3t} \geq 2\sqrt{\frac{t}{6} \cdot \frac{2}{3t}} = 2\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{2}{3}$$，当且仅当 $$\frac{t}{6} = \frac{2}{3t}$$ 即 $$t^2 = 4$$，$$t = 2$$ 时取等（因 $$t > 0$$）。
故最小值为 $$\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$$。
答案：D. $$\frac{3}{2}$$
2. 设直线 $$l_1$$ 和 $$l_2$$ 分别是函数 $$f(x) = |\ln x|$$ 图象上点 $$P_1$$ 和 $$P_2$$ 处的切线，$$l_1$$ 与 $$l_2$$ 垂直相交于点 $$P$$，且 $$l_1$$、$$l_2$$ 分别与 $$y$$ 轴相交于点 $$A$$、$$B$$。求三角形 $$PAB$$ 的面积的取值范围。
考虑 $$x > 1$$ 和 $$0 < x < 1$$ 两种情况。由于对称性，设 $$P_1$$ 在 $$x_1 > 1$$ 处，$$P_2$$ 在 $$x_2 < 1$$ 处。
在 $$x_1$$ 处，$$f(x) = \ln x$$，导数 $$f'(x_1) = \frac{1}{x_1}$$，切线方程：$$y - \ln x_1 = \frac{1}{x_1}(x - x_1)$$。
在 $$x_2$$ 处，$$f(x) = -\ln x$$，导数 $$f'(x_2) = -\frac{1}{x_2}$$，切线方程：$$y + \ln x_2 = -\frac{1}{x_2}(x - x_2)$$。
两切线垂直，故 $$\frac{1}{x_1} \cdot (-\frac{1}{x_2}) = -1$$，即 $$\frac{1}{x_1 x_2} = 1$$，所以 $$x_1 x_2 = 1$$。
联立两切线方程求交点 $$P$$ 的坐标：
由第一切线：$$y = \frac{1}{x_1}x + \ln x_1 - 1$$
由第二切线：$$y = -\frac{1}{x_2}x - \ln x_2 + 1$$
令相等：$$\frac{1}{x_1}x + \ln x_1 - 1 = -\frac{1}{x_2}x - \ln x_2 + 1$$
代入 $$x_2 = \frac{1}{x_1}$$，$$\ln x_2 = -\ln x_1$$，得：
$$\frac{1}{x_1}x + \ln x_1 - 1 = -x_1 x + \ln x_1 + 1$$
化简：$$\frac{1}{x_1}x + x_1 x = 2$$，即 $$x(\frac{1}{x_1} + x_1) = 2$$，解得 $$x_P = \frac{2}{\frac{1}{x_1} + x_1} = \frac{2x_1}{1 + x_1^2}$$
代入求 $$y_P$$：$$y_P = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{2x_1}{1 + x_1^2} + \ln x_1 - 1 = \frac{2}{1 + x_1^2} + \ln x_1 - 1$$
求 $$A$$ 和 $$B$$ 的坐标：
对于 $$l_1$$，当 $$x = 0$$ 时，$$y_A = \ln x_1 - 1$$
对于 $$l_2$$，当 $$x = 0$$ 时，$$y_B = -\ln x_2 + 1 = \ln x_1 + 1$$（因 $$x_2 = 1/x_1$$）
故 $$A(0, \ln x_1 - 1)$$，$$B(0, \ln x_1 + 1)$$，$$P(x_P, y_P)$$
三角形 $$PAB$$ 的面积：底边 $$AB$$ 长度为 $$|y_B - y_A| = 2$$，高为 $$|x_P|$$，故面积 $$S = \frac{1}{2} \times 2 \times |x_P| = |x_P| = \frac{2x_1}{1 + x_1^2}$$
其中 $$x_1 > 1$$。令 $$g(x_1) = \frac{2x_1}{1 + x_1^2}$$，求其取值范围。
$$g(x_1)$$ 在 $$x_1 > 1$$ 时单调递减（因为导数负），且当 $$x_1 \to 1^+$$ 时，$$g(1) = \frac{2}{2} = 1$$；当 $$x_1 \to +\infty$$ 时，$$g(x_1) \to 0$$。
故面积取值范围为 $$(0, 1)$$。
答案：A. $$(0, 1)$$
4. 供热站每月自然消费与距离成反比，供热费与距离成正比。在20千米处，费用分别为5千元和8万元。求使两项费用之和最小时的距离。
设距离为 $$x$$ 千米。自然消费 $$C_1 = \frac{k_1}{x}$$，供热费 $$C_2 = k_2 x$$。
由已知：当 $$x = 20$$ 时，$$C_1 = 5$$，$$C_2 = 80$$（单位：千元）。
故 $$5 = \frac{k_1}{20}$$，得 $$k_1 = 100$$；$$80 = k_2 \cdot 20$$，得 $$k_2 = 4$$。
总费用 $$S = \frac{100}{x} + 4x$$。
由均值不等式，$$S \geq 2\sqrt{\frac{100}{x} \cdot 4x} = 2\sqrt{400} = 40$$，当且仅当 $$\frac{100}{x} = 4x$$ 即 $$x^2 = 25$$，$$x = 5$$ 时取等。
答案：A. $$5$$ 千米处
5. 道路容量公式：$$N = \frac{1000v}{0.7v + 0.3v^2 + d_0}$$，其中 $$d_0 = 30$$，求 $$N$$ 的最大值。
代入 $$d_0 = 30$$：$$N = \frac{1000v}{0.3v^2 + 0.7v + 30}$$
令 $$f(v) = \frac{1000v}{0.3v^2 + 0.7v + 30}$$，求最大值。
等价于求分母的最小值：$$g(v) = 0.3v^2 + 0.7v + 30$$
$$g(v)$$ 为二次函数，最小值在 $$v = -\frac{0.7}{2 \times 0.3} \approx -1.1667$$，但 $$v > 0$$，故在 $$v > 0$$ 时单调增，最小值在 $$v \to 0^+$$ 时，但 $$v=0$$ 无意义。实际上需考虑 $$v$$ 的合理范围。
更直接：$$N = \frac{1000}{0.3v + 0.7 + \frac{30}{v}}$$
由均值不等式，$$0.3v + \frac{30}{v} \geq 2\sqrt{0.3 \times 30} = 2\sqrt{9} = 6$$，当且仅当 $$0.3v = \frac{30}{v}$$ 即 $$v^2 = 100$$，$$v = 10$$ 时取等。
故分母最小值为 $$6 + 0.7 = 6.7$$，最大 $$N = \frac{1000}{6.7} \approx 149.25$$。
答案：B. $$149$$
6. 马拉松比赛：甲前半程速度 $$a$$，后半程速度 $$b$$；乙前一半时间速度 $$a$$，后一半时间速度 $$b$$。比较到达终点时间。
设总路程为 $$2s$$。甲的时间：$$t_{甲} = \frac{s}{a} + \frac{s}{b} = s(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$$。
乙的时间：设总时间为 $$t$$，则前一半时间路程为 $$\frac{t}{2}a$$，后一半时间路程为 $$\frac{t}{2}b$$，总路程 $$\frac{t}{2}(a + b) = 2s$$，故 $$t = \frac{4s}{a + b}$$。
比较 $$t_{甲}$$ 和 $$t$$：$$t_{甲} - t = s(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) - \frac{4s}{a + b} = s \cdot \frac{a + b}{ab} - \frac{4s}{a + b} = s \left( \frac{(a + b)^2 - 4ab}{ab(a + b)} \right) = s \cdot \frac{(a - b)^2}{ab(a + b)} > 0$$（因为 $$a \neq b$$）。
故 $$t_{甲} > t$$，乙先到达终点。
答案：B. 乙先到达终点
8. 设 $$a, b, c \in (0, 2)$$，考虑三个数 $$a(2 - b)$$, $$b(2 - c)$$, $$c(2 - a)$$。
反证法：假设都小于1，即 $$a(2 - b) < 1$$, $$b(2 - c) < 1$$, $$c(2 - a) < 1$$。
相乘：$$a(2 - b) \cdot b(2 - c) \cdot c(2 - a) < 1$$
即 $$abc (2 - a)(2 - b)(2 - c) < 1$$。
但由均值不等式，$$a(2 - a) \leq \left( \frac{a + (2 - a)}{2} \right)^2 = 1$$，同理 $$b(2 - b) \leq 1$$，$$c(2 - c) \leq 1$$，相乘得 $$abc (2 - a)(2 - b)(2 - c) \leq 1$$，等号仅当 $$a = b = c = 1$$ 时成立。
这与假设矛盾，故假设不成立，即至少有一个数不小于1。
答案：D. 至少有一个不小于 $$1$$
9. 三角形边长 $$a = 6$$，$$b + c = 8$$，求最大面积（海伦公式）。
半周长 $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 8}{2} = 7$$。
面积 $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{7 \cdot 1 \cdot (7 - b)(7 - c)}$$。
由 $$b + c = 8$$，设 $$b = 4 + t$$，$$c = 4 - t$$，$$-4 < t < 4$$。
则 $$(7 - b)(7 - c) = (3 - t)(3 + t) = 9 - t^2$$。
故 $$S = \sqrt{7 \cdot 1 \cdot (9 - t^2)} = \sqrt{7(9 - t^2)}$$。
当 $$t = 0$$ 时，$$S$$ 最大，为 $$\sqrt{7 \cdot 9} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$$。
答案：A. $$3\sqrt{7}$$
10. 用篱笆围面积为 $$100 m^2$$ 的矩形菜园，求最短篱笆长度。
设长和宽为 $$x$$ 和 $$y$$，则 $$xy = 100$$，周长 $$L = 2(x + y)$$。
由均值不等式，$$x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20$$，当且仅当 $$x = y = 10$$ 时取等。
故最短篱笆 $$L_{min} = 2 \times 20 = 40 m$$。
答案：C. $$40 m$$