利用基本不等式求最值-2.2 基本不等式知识点回顾进阶自测题解析-辽宁省等高一数学必修,平均正确率52.0%

1. 函数 $$f(x)=2ax+b$$ 经过点 $$(1,2)$$，代入得：$$2a \times 1 + b = 2$$，即 $$2a + b = 2$$。

目标表达式为 $$\frac{8a+b}{ab}$$，代入 $$b=2-2a$$（注意 $$a>0, b>0$$，故 $$0 < a < 1$$）：

$$\frac{8a + (2-2a)}{a(2-2a)} = \frac{6a+2}{2a(1-a)} = \frac{3a+1}{a(1-a)}$$

令 $$t = a(1-a)$$，在 $$a \in (0,1)$$ 时，$$t$$ 最大值为 $$\frac{1}{4}$$（当 $$a=\frac{1}{2}$$），但此处需求最小值。

实际上，直接对 $$\frac{3a+1}{a(1-a)}$$ 求导或使用不等式：

由 $$2a+b=2$$ 且 $$a>0,b>0$$，则 $$b=2-2a>0 \Rightarrow a<1$$。

原式 $$\frac{8a+b}{ab} = \frac{8a+2-2a}{a(2-2a)} = \frac{6a+2}{2a-2a^2} = \frac{3a+1}{a-a^2}$$

令 $$g(a)=\frac{3a+1}{a-a^2}$$，求导得极值点。

更简便：由 $$2a+b=2$$，则 $$\frac{8a+b}{ab} = \frac{8a+b}{a b} = \frac{8}{b} + \frac{1}{a}$$

但 $$b=2-2a$$，代入得 $$\frac{8}{2-2a} + \frac{1}{a} = \frac{4}{1-a} + \frac{1}{a}$$

由 $$a>0, 1-a>0$$，应用不等式：$$\frac{4}{1-a} + \frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{4}{1-a} \cdot \frac{1}{a}} = 2 \sqrt{\frac{4}{a(1-a)}}$$

又 $$a(1-a) \leq \frac{1}{4}$$，故 $$\frac{4}{a(1-a)} \geq 16$$，$$\sqrt{\frac{4}{a(1-a)}} \geq 4$$，所以原式 $$\geq 8$$。

当且仅当 $$\frac{4}{1-a} = \frac{1}{a}$$ 即 $$4a = 1-a$$，$$a=\frac{1}{5}$$，此时 $$b=2-2/5=8/5$$，满足条件。

故最小值为 $$8$$，对应选项 C。

2. 在 $$\triangle ABC$$ 中，给定 $$3(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB}) = 2 |\overrightarrow{AB}|^2$$。

设 $$\overrightarrow{AB} = \vec{c}$$，则 $$\overrightarrow{CA} = \vec{b} - \vec{a}$$，$$\overrightarrow{CB} = \vec{a} - \vec{b}$$？实际上用几何关系：

$$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) \cdot \overrightarrow{AB}$$

由向量加法，$$\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{CM}$$，其中 M 为 AB 中点，但此处更直接：

$$\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = (\vec{a} - \vec{c}) + (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}$$，不简洁。

实际上，利用投影：$$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} = |CA| \cdot |AB| \cos(\angle CAB)$$，$$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB} = |CB| \cdot |AB| \cos(\angle CBA)$$。

原式化为：$$3|AB| (|CA| \cos A + |CB| \cos B) = 2 |AB|^2$$

即 $$3(|CA| \cos A + |CB| \cos B) = 2 |AB|$$

由正弦定理，$$|CA| = b, |CB| = a, |AB| = c$$，且 $$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$ 等，但复杂。

另一种思路：$$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) \cdot \overrightarrow{AB}$$

而 $$\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{CM}$$，M 为 AB 中点，但 C 到 AB 的投影？

实际上，$$\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}$$ 在 AB 上的投影即为 $$2 \times$$ (C 到 AB 的垂足到 M 的距离)？不直接。

考虑坐标化：设 A(0,0), B(c,0), C(x,y)，则 $$\overrightarrow{AB}=(c,0)$$，$$\overrightarrow{CA}=(-x,-y)$$，$$\overrightarrow{CB}=(c-x,-y)$$。

则 $$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB} = (-x,-y)\cdot(c,0) + (c-x,-y)\cdot(c,0) = -xc + (c-x)c = -xc + c^2 - xc = c^2 - 2xc$$

代入原式：$$3(c^2 - 2xc) = 2 c^2$$，即 $$3c^2 - 6xc = 2c^2$$，$$c^2 = 6xc$$，故 $$x = c/6$$。

即 C 的横坐标为 c/6，故 tan A = y/x, tan B = y/(c-x) = y/(5c/6)。

则 $$\tan A + \frac{1}{\tan B} = \frac{y}{x} + \frac{c-x}{y} = \frac{y}{c/6} + \frac{5c/6}{y} = \frac{6y}{c} + \frac{5c}{6y}$$

由不等式，$$\frac{6y}{c} + \frac{5c}{6y} \geq 2 \sqrt{\frac{6y}{c} \cdot \frac{5c}{6y}} = 2 \sqrt{5}$$。

当且仅当 $$\frac{6y}{c} = \frac{5c}{6y}$$ 即 $$36 y^2 = 5 c^2$$，$$y = c \sqrt{5}/6$$ 时取等。

故最小值为 $$2\sqrt{5}$$，对应选项 B。

3. 动直线 $$x+my=0$$ 过定点 A：当 m=0 时，x=0；当 m=1 时，x+y=0，得 A(0,0)。

动直线 $$mx-y-m+3=0$$ 即 $$m(x-1) - y + 3=0$$，当 x=1 时，-y+3=0，y=3，故 B(1,3)。

两直线交于 P(x,y)，由 $$x+my=0$$ 得 $$x=-my$$，代入第二式：$$m(-my) - y - m + 3=0$$，即 $$-m^2 y - y - m + 3=0$$，$$y(-m^2-1) = m-3$$，$$y = \frac{m-3}{-m^2-1} = \frac{3-m}{m^2+1}$$。

则 $$x = -m y = -m \frac{3-m}{m^2+1} = \frac{m(m-3)}{m^2+1}$$。

计算 |PA| 和 |PB|：A(0,0), B(1,3), P(x,y)。

$$|PA| = \sqrt{x^2+y^2}$$，$$|PB| = \sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}$$。

则 $$|PA| \cdot |PB| = \sqrt{ [x^2+y^2] [(x-1)^2+(y-3)^2] }$$。

由几何意义，P 在两直线交点，且两直线垂直？验证斜率：

第一条斜率 $$k_1 = -1/m$$（m≠0），第二条斜率 $$k_2 = m$$，故 $$k_1 k_2 = -1$$，即两直线垂直。

所以 $$\angle APB = 90^\circ$$，故 $$|PA|^2 + |PB|^2 = |AB|^2 = 1^2+3^2=10$$。

由不等式，$$|PA| \cdot |PB| \leq \frac{|PA|^2+|PB|^2}{2} = 5$$，当 |PA|=|PB| 时取等。

故最大值为 5，对应选项 C。

4. 等比数列 $${a_n}$$ 满足 $$a_7 = a_6 + 2a_5$$，设公比为 q，则 $$a_1 q^6 = a_1 q^5 + 2 a_1 q^4$$，即 $$q^2 = q + 2$$，$$q^2 - q - 2=0$$，解得 q=2（负舍）。

又存在 $$a_m, a_n$$ 使得 $$\lg a_m + \lg a_n = 4\lg 2 + 2\lg a_1$$，即 $$\lg(a_m a_n) = \lg(16 a_1^2)$$，故 $$a_m a_n = 16 a_1^2$$。

而 $$a_m = a_1 2^{m-1}$$，$$a_n = a_1 2^{n-1}$$，所以 $$a_1^2 2^{m+n-2} = 16 a_1^2$$，即 $$2^{m+n-2} = 16 = 2^4$$，故 $$m+n-2=4$$，$$m+n=6$$。

求 $$\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$$ 的最小值，其中 m,n 为正整数。

由 m+n=6，设 m=1,2,3,4,5，对应 n=5,4,3,2,1。

计算：m=1,n=5：1 + 4/5=1.8；m=2,n=4：0.5+1=1.5；m=3,n=3：1/3+4/3≈1.667；m=4,n=2：0.25+2=2.25；m=5,n=1：0.2+4=4.2。

最小值为 1.5，即 $$\frac{3}{2}$$，对应选项 A。

5. 函数 $$y = x + \frac{1}{x-4}$$，定义域 $$x>4$$。

令 t=x-4>0，则 x=t+4，$$y = t+4 + \frac{1}{t} = t + \frac{1}{t} + 4$$。

由不等式，$$t + \frac{1}{t} \geq 2$$，当 t=1 即 x=5 时取等。

故 $$y \geq 2+4=6$$，有最小值 6，对应选项 B。

6. 正数 x,y 满足 $$\frac{1}{x} + \frac{4}{y+1} = 3$$。

求 x+y 的最小值。

设 y+1 = t，则 y=t-1, t>1，原式化为 $$\frac{1}{x} + \frac{4}{t} = 3$$。

则 $$\frac{1}{x} = 3 - \frac{4}{t}$$，故 $$x = \frac{1}{3-4/t} = \frac{t}{3t-4}$$。

则 x+y = \frac{t}{3t-4} + (t-1) = \frac{t}{3t-4} + t - 1$$。

令 f(t) = \frac{t}{3t-4} + t - 1，t>4/3（保证分母正）。

求导或直接尝试：当 t=2时，x=2/(6-4)=1, y=1, x+y=2；t=4/3+? 实际上，由不等式：

由 $$\frac{1}{x} + \frac{4}{y+1} = 3$$，应用柯西：$$(x+y) \left( \frac{1}{x} + \frac{4}{y+1} \right) \geq (1+2)^2=9$$，即 $$3(x+y) \geq 9$$，$$x+y \geq 3$$，但等号条件为 $$\frac{x}{1} = \frac{y+1}{2}$$，即 y=2x-1，代入原式验证。

但此处等号不一定成立，需验证。

实际上，由原式解出 x，代入 x+y 求极值。

更直接：令 $$\frac{1}{x} = 3u$$，$$\frac{4}{y+1}=3v$$，则 u+v=1，x=1/(3u), y=4/(3v)-1。

则 x+y = \frac{1}{3u} + \frac{4}{3v} - 1 = \frac{1}{3u} + \frac{4}{3(1-u)} - 1$$。

求导得最小值，或尝试 u=1/3, v=2/3：x=1, y=4/(2)-1=1, x+y=2；u=1/2,v=1/2：x=2/3, y=8/3-1=5/3, x+y=2/3+5/3=7/3≈2.333；u=1/4,v=3/4：x=4/3, y=16/9-1=7/9, x+y=4/3+7/9=19/9≈2.111。

似乎最小为2，当 x=1,y=1。

验证：1/1 + 4/2=1+2=3，满足。

故最小值为2，对应选项 B。

7. 已知 $$x>0,y>0$$，且 $$2x+8y-xy=0$$。

则 $$xy = 2x+8y \geq 2 \sqrt{16xy} = 8\sqrt{xy}$$，令 t=\sqrt{xy}>0，则 $$t^2 \geq 8t$$，$$t \geq 8$$，故 xy \geq 64。

当且仅当 2x=8y 即 x=4y 时取等，代入原式：2*(4y)+8y-4y*y=8y+8y-4y^2=16y-4y^2=0，得 y=4, x=16。

故 xy 最小值为64，对应选项 D。

8. 已知 $$x-2y-4=0$$，即 $$x=2y+4$$。

则 $$2^x + \frac{1}{4^y} = 2^{2y+4} + 4^{-y} = 16 \cdot 4^y + 4^{-y}$$。

由不等式，$$16 \cdot 4^y + 4^{-y} \geq 2 \sqrt{16 \cdot 4^y \cdot 4^{-y}} = 2 \sqrt{16} = 8$$。

当且仅当 $$16 \cdot 4^y = 4^{-y}$$，即 $$16 \cdot 4^{2y}=1$$，$$4^{2y}=1/16$$，$$2y=-2$$, y=-1, x=2*(-1)+4=2。

故最小值为8，对应选项 A。

9. 题目中为图片，但内容应为已知某条件，求 4x+y 最小值。常见题为已知正数 x _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}