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正确率40.0%设某批产品的产量为$${{x}}$$(单位：万件)，总成本$$c ( x )=1 0 0+1 3 x$$(单位：万元)，销售单价$$p ( x )=\frac{8 0 0} {x+2}-3$$(单位：元).若该批产品全部售出，则总利润(总利润=销售收入-总成本)最大时的产量为（）
B
A.$${{7}}$$万件
B.$${{8}}$$万件
C.$${{9}}$$万件
D.$${{1}{0}}$$万件
3、['椭圆的标准方程'， '双曲线的标准方程'， '基本不等式的实际应用']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {2 0}+\frac{y^{2}} {m^{2}}=1 \ ( m > 0 )$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {n^{2}}=1 \ ( \ n > 0 )$$有相同的焦点，则$${{m}{+}{n}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( 0， ~ 4 \sqrt{2} ]$$
B.$$[ 4， ~ 8 ]$$
C.$$( 4， ~ 4 \sqrt{2} ]$$
D.$$( 3， \ 5 ]$$
4、['直线与圆的位置关系及其判定'， '基本不等式的实际应用']正确率40.0%若直线$$a x-2 b y-2 a b=0 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$平分圆$$( \textbf{x}-2 )^{\textbf{2}}+\textbf{} ( \textbf{y}+1 )^{\textbf{2}}=2$$的周长，则$${{a}{+}{2}{b}}$$的最小值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{5}}$$
6、['基本不等式的实际应用']正确率60.0%快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算，如果在距离货运枢纽$${{1}{0}{{k}{m}}}$$处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为$${{2}}$$万元和$${{8}}$$万元.要使得两项成本之和最小，分拣中心到货运枢纽的距离应设置为（）
A
A.$${{5}{{k}{m}}}$$
B.$${{6}{{k}{m}}}$$
C.$${{7}{{k}{m}}}$$
D.$${{8}{{k}{m}}}$$
7、['基本不等式的实际应用']正确率60.0%某人从甲地到乙地往返的速度分别为$${{a}}$$和$$b \ ( a < b )$$，其全程的平均速度为$${{v}}$$，则（）
C
A.$$v=\frac{a+b} {2}$$
B.$${{v}{=}{\sqrt {{a}{b}}}}$$
C.$$a < v < \sqrt{a b}$$
D.$$\sqrt{a b} < v < \frac{a+b} {2}$$
8、['基本不等式的实际应用']正确率40.0%一批救灾物资随$${{2}{6}}$$辆汽车从某市以$${{v}{{k}{m}{/}{h}}}$$的速度送达灾区，已知运送的路线长$${{4}{0}{0}{{k}{m}}}$$，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于$$\left( \frac{v} {2 0} \right)^{2} \mathrm{k m}$$，那么这批物资全部到达灾区最少需要时间（）
B
A.$${{5}{h}}$$
B.$${{1}{0}{h}}$$
C.$${{1}{5}{h}}$$
D.$${{2}{0}{h}}$$
1. 总利润函数：$$L(x) = x \cdot p(x) - c(x) = x \left( \frac{{800}}{{x+2}} - 3 \right) - (100 + 13x) = \frac{{800x}}{{x+2}} - 16x - 100$$
求导：$$L'(x) = \frac{{800(x+2) - 800x}}{{(x+2)^2}} - 16 = \frac{{1600}}{{(x+2)^2}} - 16$$
令导数为零：$$\frac{{1600}}{{(x+2)^2}} = 16 \Rightarrow (x+2)^2 = 100 \Rightarrow x+2 = 10 \Rightarrow x = 8$$
验证二阶导：$$L''(x) = -\frac{{3200}}{{(x+2)^3}} < 0$$，故为最大值点。
答案：B. $$8$$万件
3. 椭圆焦点：$$c_1^2 = 20 - m^2$$，双曲线焦点：$$c_2^2 = 4 + n^2$$
由题意：$$20 - m^2 = 4 + n^2 \Rightarrow m^2 + n^2 = 16$$
设$$m = 4\cos\theta, n = 4\sin\theta$$，则$$m+n = 4(\cos\theta + \sin\theta) = 4\sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{{\pi}}{{4}}\right)$$
取值范围：$$(0, 4\sqrt{2}]$$，但需满足$$m>0, n>0$$且椭圆要求$$20-m^2>0 \Rightarrow m^2<20$$，双曲线无额外限制。
当$$\theta \to 0$$时$$m \to 4, n \to 0$$；当$$\theta \to \frac{{\pi}}{{2}}$$时$$m \to 0, n \to 4$$；最大值在$$\theta = \frac{{\pi}}{{4}}$$时取$$4\sqrt{2}$$。
答案：A. $$(0, 4\sqrt{2}]$$
4. 圆心$$(2, -1)$$在直线上，代入：$$a \cdot 2 - 2b \cdot (-1) - 2ab = 0 \Rightarrow 2a + 2b - 2ab = 0 \Rightarrow a + b = ab$$
由$$a+b=ab$$得$$\frac{{1}}{{a}} + \frac{{1}}{{b}} = 1$$，则$$a+2b = (a+2b)\left(\frac{{1}}{{a}} + \frac{{1}}{{b}}\right) = 1 + 2 + \frac{{2b}}{{a}} + \frac{{a}}{{b}} = 3 + \frac{{2b}}{{a}} + \frac{{a}}{{b}}$$
由均值不等式：$$\frac{{2b}}{{a}} + \frac{{a}}{{b}} \geq 2\sqrt{2}$$，当$$\frac{{2b}}{{a}} = \frac{{a}}{{b}}$$即$$a^2=2b^2$$时取等。
最小值：$$3 + 2\sqrt{2}$$
答案：B. $$3+2\sqrt{2}$$
6. 设距离为$$x$$ km，土地租金成本$$R = \frac{{k_1}}{{x}}$$，运输成本$$T = k_2 x$$。
由已知：当$$x=10$$时，$$R=2$$，$$T=8$$，得$$k_1=20$$，$$k_2=0.8$$。
总成本：$$C(x) = \frac{{20}}{{x}} + 0.8x$$，求导：$$C'(x) = -\frac{{20}}{{x^2}} + 0.8$$
令导数为零：$$\frac{{20}}{{x^2}} = 0.8 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = 5$$
答案：A. $$5$$ km
7. 设甲乙两地距离为$$s$$，则全程时间$$t = \frac{{s}}{{a}} + \frac{{s}}{{b}}$$，平均速度$$v = \frac{{2s}}{{t}} = \frac{{2}}{{\frac{{1}}{{a}} + \frac{{1}}{{b}}}} = \frac{{2ab}}{{a+b}}$$
由调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数：$$\frac{{2}}{{\frac{{1}}{{a}} + \frac{{1}}{{b}}}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{{a+b}}{{2}}$$
即$$v \leq \sqrt{ab} \leq \frac{{a+b}}{{2}}$$，且由于$$a \neq b$$，等号不成立，故$$v < \sqrt{ab} < \frac{{a+b}}{{2}}$$。
又$$v - a = \frac{{2ab}}{{a+b}} - a = \frac{{a(b-a)}}{{a+b}} > 0$$，故$$a < v < \sqrt{ab}$$。
答案：C. $$a < v < \sqrt{ab}$$
8. 26辆车形成25个间距，每个间距至少$$\left( \frac{{v}}{{20}} \right)^2$$ km，车队总长度：$$L \geq 25 \cdot \frac{{v^2}}{{400}} + \text{车身长度}$$（车身长度相对可忽略）
路程总长：$$400 + L \approx 400 + \frac{{v^2}}{{16}}$$ km
时间：$$t = \frac{{400 + \frac{{v^2}}{{16}}}}{{v}} = \frac{{400}}{{v}} + \frac{{v}}{{16}}$$
由均值不等式：$$t \geq 2\sqrt{\frac{{400}}{{v}} \cdot \frac{{v}}{{16}}} = 2\sqrt{25} = 10$$
当$$\frac{{400}}{{v}} = \frac{{v}}{{16}} \Rightarrow v^2 = 6400 \Rightarrow v = 80$$时取最小值10小时。
答案：B. $$10$$ h