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正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c，$$若$$a=4 \sqrt{3}， \， \， \， \frac{c-b} {\operatorname{s i n} A+\operatorname{s i n} C}=$$$$\frac{c-a} {\operatorname{s i n} ( A+C )}， ~ A H$$为$${{B}{C}}$$边上的高，则$${{A}{H}}$$长度的取值范围为（）
B
A.$$[ 4， 6 ]$$
B.$$( 0， 6 ]$$
C.$$( 0， 4 \sqrt{3} ]$$
D.$$\left( \frac{3} {2}， 6 \right]$$
2、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '基本不等式的拓展']正确率80.0%不等式$$m^{2}+1 \geqslant2 m$$中等号成立的条件是（）
A
A.$${{m}{=}{1}}$$
B.$${{m}{=}{±}{1}}$$
C.$${{m}{=}{−}{1}}$$
D.$${{m}{=}{0}}$$
3、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%已知正实数$${{a}{，}{b}}$$满足$$a+b=2，$$则$$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}$$的最大值为（）
A
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{1}{6}}$$
4、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']正确率40.0%已知$$x > 0， \ y > 0， \ \frac{1} {x}+\frac{9} {y}=1$$，不等式$$x+y \geq2 m-1$$恒成立，则$${{m}}$$的取值范围$${{(}{)}}$$
D
A.$$(-\infty， \frac{7} {2} ]$$
B.$$(-\infty， \frac{1 3} {2} ]$$
C.$$(-\infty， \frac{1 5} {2} ]$$
D.$$(-\infty， \frac{1 7} {2} ]$$
5、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式求最值'， '基本不等式的实际应用']正确率60.0%已知$$a， \; b \in R^{+}$$，且$$\frac{1} {a}+\frac{2} {b}=4，$$则$${{a}{+}{2}{b}}$$的最小值是（）
B
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{9} {4}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$${{3}}$$
6、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '不等式的性质']正确率60.0%已知$$a > b > 0， \， \， \， c \neq0$$，则下列不等式中不恒成立的是（）
A
A.$$\frac{a-b} {c} > 0$$
B.$$a c^{2} > b c^{2}$$
C.$$( a+b ) \setminus($$$$\frac{1} {a}+\frac{1} {b} ) > 4$$
D.$$a^{2}+b^{2}+2 > 2 a+2 b$$
7、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立']正确率60.0%已知$$\frac{5} {x}+\frac{3} {y}=1 ( x > 0， y > 0 )，$$则$${{x}{y}}$$的最小值（）
A
A.$${{6}{0}}$$
B.$${{1}{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{1}}$$
8、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '利用基本不等式证明不等式']正确率60.0%若$$a， b \in{\bf R}$$，且$${{a}{b}{>}{0}}$$，则下列不等式恒成立的是（）
D
A.$$a^{2}+b^{2} > 2 a b$$
B.$$a+b \geq2 \sqrt{a b}$$
C.$$\frac1 a+\frac1 b > \frac2 {\sqrt{a b}}$$
D.$$\frac b a+\frac a b \geq2$$
9、['充分不必要条件'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立']正确率60.0%若$$a > 0， b > 0$$，则“$$a+b \leqslant4$$”是“$${{a}{b}{⩽}{4}}$$”的 （）
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '函数的最大(小)值'， '分段函数的图象']正确率40.0%设$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} ( x-a )^{2}， \， \， \， x \leqslant0，} \\ {} & {{} x+\frac{1} {x}+a， \， \， \， x > 0，} \\ \end{aligned} \right.$$若$${{f}{(}{0}{)}}$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小值，则$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$$[-1， 2 ]$$
B.$$[-1， 0 ]$$
C.$$[ 1， 2 ]$$
D.$$[ 0， 2 ]$$
1. 在三角形 $$ABC$$ 中，已知 $$a = 4\sqrt{3}$$，且 $$\frac{c - b}{\sin A + \sin C} = \frac{c - a}{\sin(A + C)}$$。由于 $$\sin(A + C) = \sin B$$，代入得 $$\frac{c - b}{\sin A + \sin C} = \frac{c - a}{\sin B}$$。利用正弦定理 $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$，设 $$k = 2R$$，则 $$\sin A = \frac{a}{k}$$，$$\sin B = \frac{b}{k}$$，$$\sin C = \frac{c}{k}$$。代入原式：$$\frac{c - b}{\frac{a}{k} + \frac{c}{k}} = \frac{c - a}{\frac{b}{k}}$$，化简得 $$\frac{c - b}{a + c} \cdot k = \frac{c - a}{b} \cdot k$$，约去 $$k$$ 得 $$\frac{c - b}{a + c} = \frac{c - a}{b}$$。交叉相乘：$$b(c - b) = (a + c)(c - a)$$，展开得 $$bc - b^2 = c^2 - a^2$$，整理得 $$a^2 = b^2 + c^2 - bc$$。由余弦定理 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$，对比得 $$2 \cos A = 1$$，即 $$\cos A = \frac{1}{2}$$，所以 $$A = \frac{\pi}{3}$$。
高 $$AH$$ 的长度为 $$c \sin B$$ 或 $$b \sin C$$。由正弦定理，$$b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{4\sqrt{3} \sin B}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \sin B$$，$$c = \frac{a \sin C}{\sin A} = 8 \sin C$$。由于 $$B + C = \frac{2\pi}{3}$$，设 $$B = x$$，则 $$C = \frac{2\pi}{3} - x$$，其中 $$0 < x < \frac{2\pi}{3}$$。则 $$AH = b \sin C = 8 \sin x \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3} - x\right)$$。利用积化和差公式：$$\sin x \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2} \right]$$。所以 $$AH = 8 \cdot \frac{1}{2} \left[ \cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2} \right] = 4 \cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) + 2$$。由于 $$\cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) \in [-1, 1]$$，所以 $$AH \in [4 \cdot (-1) + 2, 4 \cdot 1 + 2] = [-2, 6]$$。但高为正，故 $$AH \in (0, 6]$$。选项 B 正确。
2. 不等式 $$m^2 + 1 \geq 2m$$ 移项得 $$m^2 - 2m + 1 \geq 0$$，即 $$(m - 1)^2 \geq 0$$，等号成立当且仅当 $$m - 1 = 0$$，即 $$m = 1$$。选项 A 正确。
3. 已知 $$a + b = 2$$，求 $$\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1}$$ 的最大值。由柯西不等式：$$(\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1})^2 \leq (1^2 + 1^2)(a + 1 + b + 1) = 2 \cdot (2 + 2) = 8$$，所以 $$\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1} \leq 2\sqrt{2}$$，当且仅当 $$\sqrt{a + 1} = \sqrt{b + 1}$$ 即 $$a = b = 1$$ 时取等。最大值是 $$2\sqrt{2}$$，选项 A 正确。
4. 已知 $$x > 0$$，$$y > 0$$，$$\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1$$，求使 $$x + y \geq 2m - 1$$ 恒成立的 $$m$$ 范围。即求 $$x + y$$ 的最小值，令 $$m$$ 满足 $$2m - 1 \leq \min(x + y)$$。由柯西不等式：$$(x + y)\left(\frac{1}{x} + \frac{9}{y}\right) \geq (1 + 3)^2 = 16$$，所以 $$x + y \geq 16$$，当且仅当 $$\frac{y}{x} = \frac{9}{1}$$ 即 $$y = 9x$$ 时取等。代入条件：$$\frac{1}{x} + \frac{9}{9x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x} = 1$$，得 $$x = 2$$，$$y = 18$$。所以 $$x + y$$ 最小值为 16。不等式恒成立需 $$2m - 1 \leq 16$$，即 $$2m \leq 17$$，$$m \leq \frac{17}{2}$$。选项 D 正确。
5. 已知 $$a, b \in R^+$$，$$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 4$$，求 $$a + 2b$$ 的最小值。由柯西不等式：$$(a + 2b)\left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b}\right) \geq (1 + 2)^2 = 9$$，所以 $$a + 2b \geq \frac{9}{4}$$，当且仅当 $$\frac{a}{1} = \frac{2b}{2}$$ 即 $$a = b$$ 时取等。代入条件：$$\frac{1}{a} + \frac{2}{a} = \frac{3}{a} = 4$$，得 $$a = \frac{3}{4}$$，$$b = \frac{3}{4}$$。最小值为 $$\frac{9}{4}$$，选项 B 正确。
6. 已知 $$a > b > 0$$，$$c \neq 0$$，判断各不等式是否恒成立。
A: $$\frac{a - b}{c} > 0$$，若 $$c < 0$$ 则不等式不成立，例如 $$a=2$$，$$b=1$$，$$c=-1$$，则 $$\frac{1}{-1} = -1 < 0$$，不恒成立。
B: $$a c^2 > b c^2$$，由于 $$c^2 > 0$$，且 $$a > b$$，所以恒成立。
C: $$(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 + 2 = 4$$，当且仅当 $$a = b$$ 时取等，但 $$a > b$$，故恒大于 4，成立。
D: $$a^2 + b^2 + 2 > 2a + 2b$$，整理得 $$a^2 - 2a + 1 + b^2 - 2b + 1 > 0$$，即 $$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 > 0$$，由于 $$a > b > 0$$，不能同时为 1，故恒成立。
因此不恒成立的是 A，选项 A 正确。
7. 已知 $$\frac{5}{x} + \frac{3}{y} = 1$$，$$x > 0$$，$$y > 0$$，求 $$xy$$ 的最小值。由柯西不等式：$$(xy)\left(\frac{5}{x} + \frac{3}{y}\right) \geq (\sqrt{5} \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{y} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}})^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$$，但此法不便。改用均值不等式：$$1 = \frac{5}{x} + \frac{3}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{15}{xy}}$$，所以 $$\sqrt{xy} \geq 2 \sqrt{15}$$，$$xy \geq 60$$，当且仅当 $$\frac{5}{x} = \frac{3}{y}$$ 即 $$y = \frac{3x}{5}$$ 时取等。代入条件：$$\frac{5}{x} + \frac{3}{\frac{3x}{5}} = \frac{5}{x} + \frac{5}{x} = \frac{10}{x} = 1$$，得 $$x = 10$$，$$y = 6$$。最小值为 60，选项 A 正确。
8. 若 $$a, b \in R$$，且 $$ab > 0$$，判断各不等式是否恒成立。
A: $$a^2 + b^2 > 2ab$$，即 $$(a - b)^2 > 0$$，当 $$a = b$$ 时不成立，故不恒成立。
B: $$a + b \geq 2 \sqrt{ab}$$，需 $$a, b > 0$$，但 $$ab > 0$$ 可能同为负，例如 $$a = b = -1$$，则左边为 -2，右边为 2，不成立。
C: $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{2}{\sqrt{ab}}$$，同理需正数，负时不成立。
D: $$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$$，由均值不等式，由于 $$ab > 0$$，比值正，故恒成立。
选项 D 正确。
9. 若 $$a > 0$$，$$b > 0$$，判断“$$a + b \leq 4$$”是“$$ab \leq 4$$”的条件。由均值不等式，$$ab \leq \left(\frac{a + b}{2}\right)^2$$，若 $$a + b \leq 4$$，则 $$ab \leq 4$$，故充分。反之不必要，例如 $$a = 1$$，$$b = 5$$，则 $$ab = 5 > 4$$，但 $$a + b = 6 > 4$$；或 $$a = 0.5$$，$$b = 8$$，$$ab = 4$$，但 $$a + b = 8.5 > 4$$。故是充分不必要条件，选项 A 正确。
10. 函数 $$f(x) = \begin{cases} (x - a)^2, & x \leq 0 \\ x + \frac{1}{x} + a, & x > 0 \end{cases}$$，且 $$f(0)$$ 是最小值。$$f(0) = (0 - a)^2 = a^2$$。对于 $$x > 0$$，$$f(x) = x + \frac{1}{x} + a \geq 2 + a$$，由均值不等式，当 $$x = 1$$ 时取最小值 $$2 + a$$。要求 $$f(0)$$ 为最小值，需 $$a^2 \leq 2 + a$$，即 $$a^2 - a - 2 \leq 0$$，解得 $$-1 \leq a \leq 2$$。同时，对于 $$x \leq 0$$，$$f(x) = (x - a)^2$$，开口向上，最小值在 $$x = a$$ 处，但定义域为 $$x \leq 0$$，故若 $$a \leq 0$$，则最小值为 $$f(a) = 0$$，但需 $$f(0)$$ 为最小，所以需 $$a^2 \leq 0$$，即 $$a = 0$$；若 $$a > 0$$，则最小值在 $$x = 0$$ 处，即 $$f(0) = a^2$$。结合前面 $$a^2 \leq 2 + a$$，且 $$a > 0$$ 时成立，同时需 $$a^2 \leq f(x)$$ 对于 $$x \leq 0$$，即 $$a^2 \leq (x - a)^2$$ 对所有 $$x \leq 0$$ 成立，即 $$|x - a| \geq |a|$$，由于 $$x \leq 0$$，若 $$a > 0$$，则 $$x - a \leq -a$$，故 $$|x - a| \geq a$$，成立。另外还需 $$a^2 \leq 2 + a$$，即 $$a \in [0, 2]$$。若 $$a < 0$$，则 $$f(0) = a^2$$，但 $$x \leq 0$$ 时最小值在 $$x = a$$ 处为 0，需 $$a^2 \leq 0$$，故 $$a = 0$$，不满足 $$a < 0$$。所以 $$a \in [0, 2]$$。选项 D 正确。