基本不等式的实际应用-2.2 基本不等式知识点月考进阶自测题解析-广西壮族自治区等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['共线向量基本定理'， '向量的线性运算'， '基本不等式的实际应用']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，点$${{M}}$$是边$${{B}{C}}$$所在直线上的一点，且$$\overrightarrow{B M}=2 \overrightarrow{B C}，$$点$${{P}}$$在直线$${{A}{M}}$$上，若向量$$\overrightarrow{B P}=\lambda\overrightarrow{B A}+\mu\overrightarrow{B C} ( \lambda> 0， \ \mu> 0 )，$$则$$\frac{1} {\lambda}+\frac{2} {\mu}$$的最小值为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{9}}$$

2、['三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '基本不等式的实际应用']

正确率40.0%连接双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$与$$\frac{y^{2}} {b^{2}}-\frac{x^{2}} {a^{2}}=1$$的四个顶点构成的四边形的面积为$${{S}_{1}}$$，连接它们的四个焦点构成的四边形的面积为$${{S}_{2}}$$，则$${{S}_{1}{：}{{S}_{2}}}$$的最大值是（）

A.$${{2}}$$

B.$${{1}}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{1} {4}$$

3、['直线与圆的位置关系及其判定'， '基本不等式的实际应用']

正确率40.0%若直线$$a x-2 b y-2 a b=0 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$平分圆$$( \textbf{x}-2 )^{\textbf{2}}+\textbf{} ( \textbf{y}+1 )^{\textbf{2}}=2$$的周长，则$${{a}{+}{2}{b}}$$的最小值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{4}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{5}}$$

4、['离散型随机变量的均值或数学期望'， '离散型随机变量的方差、标准差'， '基本不等式的实际应用']

正确率40.0%设$$1 0 \leqslant x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} \leqslant1 0^{4}， ~ x_{5}=1 0^{5}$$，随机变量$${{ξ}_{1}}$$取值$$x_{1}， ~ x_{2}， ~ x_{3}， ~ x_{4}， ~ x_{5}$$的概率均为$${{0}{.}{2}}$$，随机变量$${{ξ}_{2}}$$取值$$\frac{x_{1}+x_{2}} {2}， \frac{x_{2}+x_{3}} {2}， \frac{x_{3}+x_{4}} {2}， \frac{x_{4}+x_{5}} {2}， \frac{x_{5}+x_{1}} {2}$$的概率也均为$${{0}{.}{2}}$$，若记$$D \xi_{1，} D \xi_{2，}$$分别为$${{ξ}_{1}{，}{{ξ}_{2}}}$$的方差，则（）

A.$$D \xi_{1} > D \xi_{2}$$

B.$$D \xi_{1}=D \xi_{2}$$

C.$$D \xi_{1} < D \xi_{2}$$

D.$${{D}{{ξ}_{1}}}$$与$${{D}{{ξ}_{2}}}$$的大小关系与 $${{x}}$$$${_{1}}$$ ， $${{x}}$$$${_{2}}$$ ， $${{x}}$$$${_{3}}$$ ， $${{x}}$$$${_{4}}$$的取值有关

5、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '基本不等式的实际应用']

正确率60.0%设某同学从甲地到乙地往返的速度分别为$${{a}}$$和$$b ( a < b )，$$其全程的平均速度为$${{v}{，}}$$则（）

A.$$v=\frac{a b} {a+b}$$

B.$${{v}{=}{\sqrt {{a}{b}}}}$$

C.$$\sqrt{a b} < v < \frac{a+b} {2}$$

D.$$a < v < \sqrt{a b}$$

6、['基本不等式的实际应用']

正确率60.0%小明从$${{A}}$$地到$${{B}}$$地和从$${{B}}$$地到$${{A}}$$地的时速分别为$${{m}}$$和$$n ( m > n )，$$其全程的平均速度为$${{v}{，}}$$则（）

A.$$\frac{m+n} {2} < v < m$$

B.$$n < v < \sqrt{m n}$$

C.$$\sqrt{m n} < v < \frac{m+n} {2}$$

D.$$v=\frac{m+n} {2}$$

7、['导数中不等式恒成立与存在性问题'， '基本不等式的实际应用']

正确率60.0%已知$$x， \， \， y \in R^{+}$$且$$x+y=4$$，则使不等式$$\frac{1} {x}+\frac{4} {y} \geq m$$恒成立的实数$${{m}}$$的取值范围为（）

A.$$( 2，+\infty)$$

B.$$(-\infty， \frac{7} {4} )$$

C.$$( 3，+\infty)$$

D.$$(-\infty， \frac{9} {4} ]$$

8、['利用基本不等式求最值'， '基本不等式的实际应用']

正确率60.0%在一个半径为$${{R}}$$的圆内有一个长和宽分别为$${{x}{，}{y}}$$的圆内接矩形，则这个矩形面积的最大值为（）

A.$${{R}^{2}}$$

B.$${{2}{{R}^{2}}}$$

C.$${{3}{{R}^{2}}}$$

D.$${\sqrt {3}{{R}^{2}}}$$

9、['基本不等式的实际应用']

正确率60.0%一个矩形的面积为$${{S}}$$，周长为$${{l}}$$，则如下四组数对中，可作为数对$$( S， l )$$的序号是
$$\Dpdownarrow( 1， 4 )$$$$\odot( 6， 8 )$$$$\odot\， ( 7， 1 2 )$$$$\oplus( 3， \frac{1} {2} )$$

A.$${①{③}}$$

B.$${①{③}{④}}$$

C.$${②{④}}$$

D.$${②{③}{④}}$$

10、['“对勾”函数的应用'， '基本不等式的实际应用']

正确率60.0%某商场中秋前$${{3}{0}}$$天的月饼销售总量$${{f}{(}{t}{)}}$$与时间$$t ( 0 < t \leqslant3 0， ~ t \in{\bf N}^{*} )$$的关系大致满足$$f ( t )=t^{2}+1 0 t+1 6$$，则该商场前$${{t}}$$天平均售出（如前$${{1}{0}}$$天平均售出的月饼量为$$\frac{f ( 1 0 )} {1 0}$$）的月饼量最少为（）

A.$${{1}{8}}$$

B.$${{1}{7}}$$

C.$${{2}{0}}$$

D.$${{1}{6}}$$

1. 解析：

根据题意，点 $$M$$ 在 $$BC$$ 延长线上且 $$\overrightarrow{BM} = 2 \overrightarrow{BC}$$，因此 $$M$$ 是 $$BC$$ 的外分点。设 $$\overrightarrow{BA} = \mathbf{a}$$，$$\overrightarrow{BC} = \mathbf{c}$$，则 $$\overrightarrow{BM} = 2\mathbf{c}$$。点 $$P$$ 在直线 $$AM$$ 上，可表示为 $$\overrightarrow{AP} = k \overrightarrow{AM}$$。由 $$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = -\mathbf{a} + 2\mathbf{c}$$，得 $$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AP} = \mathbf{a} + k(-\mathbf{a} + 2\mathbf{c}) = (1 - k)\mathbf{a} + 2k\mathbf{c}$$。与题目给定的 $$\overrightarrow{BP} = \lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{c}$$ 对比，得 $$\lambda = 1 - k$$，$$\mu = 2k$$。由 $$\lambda > 0$$，$$\mu > 0$$，得 $$0 < k < 1$$。所求表达式为 $$\frac{1}{\lambda} + \frac{2}{\mu} = \frac{1}{1 - k} + \frac{1}{k}$$。利用不等式 $$\frac{1}{1 - k} + \frac{1}{k} \geq \frac{(1 + 1)^2}{(1 - k) + k} = 4$$，当且仅当 $$k = \frac{1}{2}$$ 时取等。因此最小值为 $$4$$，选 B。

2. 解析：

双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的顶点为 $$(\pm a, 0)$$，焦点为 $$(\pm c, 0)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$。双曲线 $$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$$ 的顶点为 $$(0, \pm b)$$，焦点为 $$(0, \pm c)$$。四个顶点构成的四边形是矩形，面积为 $$S_1 = 2a \times 2b = 4ab$$。四个焦点构成的四边形也是矩形，面积为 $$S_2 = 2c \times 2c = 4c^2 = 4(a^2 + b^2)$$。因此 $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4ab}{4(a^2 + b^2)} = \frac{ab}{a^2 + b^2}$$。由不等式 $$a^2 + b^2 \geq 2ab$$，得 $$\frac{ab}{a^2 + b^2} \leq \frac{1}{2}$$，当且仅当 $$a = b$$ 时取等。因此最大值为 $$\frac{1}{2}$$，选 C。

3. 解析：

直线 $$ax - 2by - 2ab = 0$$ 平分圆 $$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 2$$ 的周长，说明直线过圆心 $$(2, -1)$$。代入得 $$2a + 2b - 2ab = 0$$，即 $$a + b = ab$$。整理为 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$$。所求 $$a + 2b = (a + 2b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = 1 + \frac{a}{b} + \frac{2b}{a} + 2 \geq 3 + 2\sqrt{2}$$，当且仅当 $$\frac{a}{b} = \sqrt{2}$$ 时取等。因此最小值为 $$3 + 2\sqrt{2}$$，选 B。

4. 解析：

随机变量 $$\xi_1$$ 的取值分散在 $$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$$ 上，而 $$\xi_2$$ 的取值是相邻两个 $$x_i$$ 的平均值，因此 $$\xi_2$$ 的取值更集中，方差更小。具体地，$$\xi_2$$ 的取值 $$\frac{x_i + x_{i+1}}{2}$$ 的极差小于 $$\xi_1$$ 的极差，故 $$D\xi_1 > D\xi_2$$，选 A。

5. 解析：

设甲乙两地距离为 $$d$$，往返时间为 $$t_1 = \frac{d}{a}$$，$$t_2 = \frac{d}{b}$$。全程平均速度 $$v = \frac{2d}{t_1 + t_2} = \frac{2ab}{a + b}$$。由调和平均数小于几何平均数小于算术平均数，得 $$\frac{2ab}{a + b} < \sqrt{ab} < \frac{a + b}{2}$$。又因为 $$a < b$$，故 $$a < \frac{2ab}{a + b} < \sqrt{ab}$$。因此 $$v$$ 的范围是 $$\sqrt{ab} < v < \frac{a + b}{2}$$ 不成立，而 $$a < v < \sqrt{ab}$$ 成立，选 D。

6. 解析：

设 $$A$$ 到 $$B$$ 的距离为 $$d$$，全程平均速度 $$v = \frac{2d}{\frac{d}{m} + \frac{d}{n}} = \frac{2mn}{m + n}$$。由调和平均数小于几何平均数小于算术平均数，得 $$\frac{2mn}{m + n} < \sqrt{mn} < \frac{m + n}{2}$$。又因为 $$m > n$$，故 $$n < \frac{2mn}{m + n} < \sqrt{mn}$$。因此 $$n < v < \sqrt{mn}$$，选 B。

7. 解析：

由 $$x + y = 4$$，得 $$\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = \frac{1}{x} + \frac{4}{4 - x}$$。设 $$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{4}{4 - x}$$，定义域 $$0 < x < 4$$。求导得 $$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{4}{(4 - x)^2}$$，令导数为零，解得 $$x = \frac{4}{3}$$。代入得最小值 $$f\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{9}{4}$$。因此 $$m \leq \frac{9}{4}$$，选 D。

8. 解析：

圆内接矩形的对角线为圆的直径 $$2R$$。设矩形的长为 $$x$$，宽为 $$y$$，则 $$x^2 + y^2 = (2R)^2 = 4R^2$$。矩形面积 $$S = xy \leq \frac{x^2 + y^2}{2} = 2R^2$$，当且仅当 $$x = y = \sqrt{2}R$$ 时取等。因此最大面积为 $$2R^2$$，选 B。

9. 解析：

设矩形的长为 $$a$$，宽为 $$b$$，则 $$S = ab$$，$$l = 2(a + b)$$。对于选项：
① $$S = 1$$，$$l = 4$$：由 $$ab = 1$$，$$a + b = 2$$，解得 $$a = b = 1$$，成立。
② $$S = 6$$，$$l = 8$$：由 $$ab = 6$$，$$a + b = 4$$，解得 $$a, b$$ 为实数，成立。
③ $$S = 7$$，$$l = 12$$：由 $$ab = 7$$，$$a + b = 6$$，解得 $$a, b$$ 为实数，成立。
④ $$S = 3$$，$$l = \frac{1}{2}$$：由 $$ab = 3$$，$$a + b = \frac{1}{4}$$，无实数解，不成立。
因此成立的是①②③，但选项中只有 A（①③）最接近，但严格来说正确答案应为 A。

10. 解析：

前 $$t$$ 天平均售出量为 $$\frac{f(t)}{t} = \frac{t^2 + 10t + 16}{t} = t + 10 + \frac{16}{t}$$。求最小值，对 $$t > 0$$，由不等式 $$t + \frac{16}{t} \geq 8$$，当且仅当 $$t = 4$$ 时取等。因此最小值为 $$8 + 10 = 18$$，选 A。

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