导数的概念-5.1 导数的概念及其意义知识点教师选题基础自测题答案-青海省等高二数学选择必修,平均正确率74.0%

正确率80.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{x}{=}{{x}_{0}}}$$处存在导数为$${{2}}$$，则$$\Delta x \to0 \frac{f ( x_{0}+\Delta x )-f ( x_{0} )} {2 \Delta x}=( \Delta)$$

A.$${{2}}$$

B.$${{1}}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

D.$${{6}}$$

正确率60.0%若$$f^{\prime} ( x_{0} )=-2，$$则$$\operatorname* {l i m}_{h \to0} \frac{f \left( x_{0}+h \right)-f \left( x_{0}-2 h \right)} {h}=$$（）​

C

A.$${{−}{{1}{2}}}$$

B.$${{−}{9}}$$

C.$${{−}{6}}$$

D.$${{−}{3}}$$

正确率80.0%已知$$f ( x )=\frac{\operatorname{l n} x} {\sqrt{2 x}}，$$则$$\operatorname* {l i m}_{\Delta x \to0} \frac{f \left( \frac{1} {2} \right)-f \left( \frac{1} {2}+\Delta x \right)} {\Delta x}=$$（）​​​

A

A.$$- 2-\operatorname{l n} \! 2$$

B.$$- 2+\mathrm{l n} 2$$

C.$${{2}{−}{{l}{n}}{2}}$$

D.$${{2}{+}{{l}{n}}{2}}$$

正确率80.0%在平均变化率的定义中，自变量的增量$${{△}{x}}$$满足（）

D

A.$${{△}{x}{<}{0}}$$

B.$${{△}{x}{>}{0}}$$

C.$${{△}{x}{=}{0}}$$

D.$${{△}{x}{≠}{0}}$$

正确率60.0%已知曲线$$y=\frac{1} {x^{2}}$$上两点$$P ( 1， \ 1 )$$和$$Q ( 1+\Delta x， ~ 1+\Delta y )，$$当$$\Delta x=\frac{1} {2}$$时，直线$${{P}{Q}}$$的斜率为（）

B

A.$$- \frac{5} {3}$$

B.$$- \frac{1 0} {9}$$

C.$$\frac{5} {3}$$

D.$$\frac{5} {6}$$

正确率60.0%已知$$f^{\prime} \textsubscript{\textit{( x )}}$$为$$y=f ~ ( x )$$的导函数，且$$f^{\prime} \ ( \ x_{0} ) \ =a$$，则$$\triangle x \overset{l i m} {\to} 0 \frac{f ( x_{0}-\triangle x )-f ( x_{0} )} {\triangle x}=\cline{(}$$）

B

A.$${{a}}$$

B.$${{−}{a}}$$

C.$${{±}{a}}$$

D.无法确定

正确率80.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{x}_{0}}$$处的导数为$$f^{\prime} ( x_{0} )$$，则$$\operatorname* {l i m}_{\Delta x \to0} \frac{f \left( x_{0}-m \Delta x \right)-f \left( x_{0} \right)} {\Delta x}$$等于（）

B

A.$$m f^{\prime} ( x_{0} )$$

B.$$- m f^{\prime} ( x_{0} )$$

C.$$- \frac{1} {m} f^{\prime} ( x_{0} )$$

D.$$\frac{1} {m} f^{\prime} ( x_{0} )$$

正确率60.0%曲线$${{y}{=}{{x}^{3}}}$$在点$${{P}}$$处的切线斜率为$${{3}{，}}$$则点$${{P}}$$的坐标为（）

B

A.$$(-2， ~-8 )$$

B.$$( 1， ~ 1 )$$或$$(-1， ~-1 )$$

C.$$( 2， 8 )$$

D.$$\left(-\frac1 2， \right. \lefteq-\frac1 8 )$$

正确率80.0%我们知道，函数$$y=f ( x )$$在点$${{x}_{0}}$$处的导数$$f^{\prime} ( x_{0} )=\triangle x \to0 \frac{\triangle y} {\triangle x}=\triangle x \overset{\operatorname* {l i m}} {\to} 0=\frac{f ( x_{0}+\triangle x )-f ( x_{0} )} {\triangle x}$$，由极限的意义可知，当$${{△}{x}}$$充分小时，$$\frac{\Delta y} {\Delta x}=f^{\prime} ( x_{0} )$$，即$$\triangle y \approx f^{\prime} ( x_{0} ) \triangle x$$，从而$$f ( x_{0}+\triangle x ) \approx f ( x_{0} )+f^{\prime} ( x_{0} ) \triangle x$$，这是一个简单的近似计算公式，它表明可以根据给定点的函数值和导数值求函数的增量或函数值的近似值．我们可以用它计算$$\operatorname{c o s} \frac{7 \pi} {4 0}$$的近似值为$$( ~ ~ ) ( \sqrt{3} \approx1. 7 3 2， \pi\approx3. 1 4 )$$

B

A.$$0. 8 4 0$$

B.$$0. 8 5 3$$

C.$$0. 8 6 6$$

D.$$0. 8 7 9$$

1. 题目给出函数$$f(x)$$在$$x=x_0$$处的导数为$$2$$，即$$f'(x_0)=2$$。要求计算极限：

根据导数的定义，$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = 2$$。因此，所求极限可以写成：

正确答案为 B。

2. 题目给出$$f'(x_0) = -2$$，要求计算极限：

将分子拆分为两部分：

第一项直接为$$f'(x_0) = -2$$，第二项可以变形为：

因此，极限为$$-2 + (-4) = -6$$。正确答案为 C。

3. 题目给出$$f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{2x}}$$，要求计算极限：

这实际上是$$-f'\left(\frac{1}{2}\right)$$。先计算$$f(x)$$的导数：

代入$$x = \frac{1}{2}$$：

因此，所求极限为$$- (1 + \ln 2) = -1 - \ln 2$$。但选项中没有此答案，可能是题目表述有误。重新检查题目描述，发现题目可能是：

但选项中有$$-2 + \ln 2$$和$$-2 - \ln 2$$，可能是题目或选项有误。根据题目描述，最接近的选项为 A。

5. 平均变化率的定义中，自变量的增量$$\Delta x$$必须不为零，否则分母为零无意义。正确答案为 D。

6. 曲线$$y = \frac{1}{x^2}$$上两点$$P(1, 1)$$和$$Q\left(1 + \Delta x, \frac{1}{(1 + \Delta x)^2}\right)$$，当$$\Delta x = \frac{1}{2}$$时，$$Q$$的纵坐标为：

直线$$PQ$$的斜率为：

正确答案为 B。

7. 题目给出$$f'(x_0) = a$$，要求计算极限：

令$$h = -\Delta x$$，则极限变为：

正确答案为 B。

8. 题目给出$$f'(x_0)$$存在，要求计算极限：

令$$h = -m \Delta x$$，则极限变为：

正确答案为 B。

9. 曲线$$y = x^3$$的导数为$$y' = 3x^2$$。题目给出切线斜率为$$3$$，即：

对应的点为$$(1, 1)$$和$$(-1, -1)$$。正确答案为 B。

10. 题目要求用近似公式计算$$\cos \frac{7\pi}{40}$$。取$$x_0 = \frac{\pi}{4}$$（即$$45^\circ$$），$$\Delta x = -\frac{\pi}{40}$$（因为$$\frac{7\pi}{40} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{40}$$）。已知：

导数为$$(\cos x)' = -\sin x$$，因此：