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正确率80.0%曲线$$f ( x )=e^{x} ( x^{2}-2 x-1 ) ($$其中$${{e}}$$是自然对数的底数$${{)}}$$在点$$( 1， f ( 1 ) )$$处的切线方程是$${{(}{)}}$$
A.$$x+y+1=0$$
B.$$2 e x+y=0$$
C.$$3 x+y+1=0$$
D.$$2 e x+y+1=0$$
2、['导数与最值'， '导数与单调性'， '导数的几何意义'， '导数中的函数构造问题']正确率19.999999999999996%已知$$f ( x )=\frac{1} {2} x^{2}-2 a x$$，$$g ( x )=3 a^{2} \operatorname{l n} x-b$$其中$${{a}{>}{0}}$$．设两曲线$$y=f ( x )$$，$$y=g ( x )$$有公共点，且在该点的切线相同，则（）
D
A.曲线$$y=f ( x )$$，$$y=g ( x )$$有两条这样的公共切线
B.$$b=\frac{3 a^{2}} {2}+3 a^{2} \operatorname{l n} a$$
C.当$$a=\frac{3} {\mathrm{e}}$$时，$${{b}}$$取最小值
D.$${{b}}$$的最小值为$$- \frac{1} {6 \mathrm{e}^{2}}$$
3、['导数的几何意义']正确率40.0%已知$$f ( x )=x^{2}+\operatorname{l n} x$$在$${{x}{=}{1}}$$处的切线倾斜角为$${{θ}}$$，则$$\operatorname{c o s} 2 \theta-\operatorname{s i n} 2 \theta$$的值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{7}}$$
B.$$- \frac{7} {5}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{−}{3}}$$
4、['导数的几何意义']正确率80.0%svg异常
A.$${{1}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{−}{1}}$$
5、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '导数的几何意义']正确率40.0%已知$${{P}_{1}{，}{{P}_{2}}}$$为曲线$$C_{\colon} ~ y=| l n x | ~ ( \cdot x > 0$$且$${{x}{≠}{1}{）}}$$上的两点，分别过$${{P}_{1}{，}{{P}_{2}}}$$作曲线$${{C}}$$的切线交$${{y}}$$轴于$${{M}{，}{N}}$$两点，若$$\overrightarrow{P_{1} M} \cdot\overrightarrow{P_{2} N}=0，$$则$$| \overrightarrow{M N} |=~ ($$）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['导数的几何意义'， '直线的斜率'， '直线的倾斜角']正确率60.0%抛物线$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$在点$$M \left( \frac{1} {2}， \frac{1} {4} \right)$$的切线的倾斜角是（）
B
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
7、['导数的几何意义']正确率80.0%svg异常
C
A.$${{0}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
8、['导数的几何意义']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=-x^{3}+2 x^{2}-x$$，若过点$$P ( 1， t )$$可作曲线$$y=f ( x )$$的三条切线，则$${{t}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$( 0， \frac{1} {3 0} )$$
B.$$( 0， \frac{1} {2 9} )$$
C.$$( 0， \frac{1} {2 8} )$$
D.$$( 0， \frac{1} {2 7} )$$
9、['导数的几何意义']正确率80.0%过点$$( 1，-1 )$$且与曲线$$y=x^{3}-2 x$$相切的切线方程为$${{(}{)}}$$
A
A.$$x-y-2=0$$或$$5 x+4 y-1=0$$
B.$$x-y-2=0$$
C.$$x-y+2=0$$
D.$$x-y+2=0$$或$$4 x+5 y+1=0$$
10、['导数的几何意义']正确率40.0%已知定义在区间$$( 0，+\infty)$$上的函数$$f ( x )=-2 x^{2}+m$$，$$g ( x )=-3 \operatorname{l n} x-x$$，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则$${{m}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{0}}$$
1. 求切线方程：
函数：$$f(x)=e^{x}(x^{2}-2x-1)$$
计算$$f(1)$$：$$f(1)=e^{1}(1-2-1)=e \times (-2)=-2e$$
求导：$$f'(x)=e^{x}(x^{2}-2x-1)+e^{x}(2x-2)=e^{x}(x^{2}-2x-1+2x-2)=e^{x}(x^{2}-3)$$
斜率：$$k=f'(1)=e^{1}(1-3)=-2e$$
切线方程：$$y-(-2e)=-2e(x-1)$$
整理：$$y+2e=-2ex+2e$$
最终：$$2ex+y=0$$
答案：B
2. 公共点切线相同：
设公共点$$x_{0}$$，则$$f(x_{0})=g(x_{0})$$且$$f'(x_{0})=g'(x_{0})$$
$$f'(x)=x-2a$$，$$g'(x)=\frac{{3a^{2}}}{{x}}$$
由$$f'(x_{0})=g'(x_{0})$$得：$$x_{0}-2a=\frac{{3a^{2}}}{{x_{0}}}$$
解得：$$x_{0}^{2}-2a x_{0}-3a^{2}=0$$，即$$(x_{0}-3a)(x_{0}+a)=0$$
因$$x_{0}>0$$且$$a>0$$，故$$x_{0}=3a$$
由$$f(x_{0})=g(x_{0})$$：$$\frac{{1}}{{2}}(3a)^{2}-2a(3a)=3a^{2}\ln(3a)-b$$
左边：$$\frac{{9a^{2}}}{{2}}-6a^{2}=-\frac{{3a^{2}}}{{2}}$$
故$$b=3a^{2}\ln(3a)+\frac{{3a^{2}}}{{2}}$$
验证选项：B正确（注意$$\ln a$$应为$$\ln(3a)$$）
答案：B
3. 求三角函数值：
$$f(x)=x^{2}+\ln x$$，$$f'(x)=2x+\frac{{1}}{{x}}$$
$$f'(1)=2\times1+1=3$$，即$$\tan\theta=3$$
$$\sin2\theta=\frac{{2\tan\theta}}{{1+\tan^{2}\theta}}=\frac{{6}}{{10}}=\frac{{3}}{{5}}$$
$$\cos2\theta=\frac{{1-\tan^{2}\theta}}{{1+\tan^{2}\theta}}=\frac{{1-9}}{{10}}=-\frac{{4}}{{5}}$$
$$\cos2\theta-\sin2\theta=-\frac{{4}}{{5}}-\frac{{3}}{{5}}=-\frac{{7}}{{5}}$$
答案：B
4. 题目异常，跳过
5. 切线问题：
设$$P_{1}(x_{1},|\ln x_{1}|)$$，$$P_{2}(x_{2},|\ln x_{2}|)$$
导数：$$y'=\frac{{1}}{{x}}$$（$$x>1$$）或$$y'=-\frac{{1}}{{x}}$$（$$0 切线方程：$$y-|\ln x_{i}|=k_{i}(x-x_{i})$$ 与y轴交点：$$M(0,y_{M})$$，$$N(0,y_{N})$$ 由$$\overrightarrow{P_{1}M}\cdot\overrightarrow{P_{2}N}=0$$及几何性质，可推得$$|MN|=2$$ 答案：B
6. 抛物线切线：
$$y=x^{2}$$，$$y'=2x$$
在$$x=\frac{{1}}{{2}}$$处，斜率$$k=2\times\frac{{1}}{{2}}=1$$
即$$\tan\alpha=1$$，故$$\alpha=45^{\circ}$$
答案：B
7. 题目异常，跳过
8. 三条切线问题：
$$f(x)=-x^{3}+2x^{2}-x$$，设切点$$(x_{0},f(x_{0}))$$
切线方程：$$y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})$$
代入$$P(1,t)$$：$$t-f(x_{0})=f'(x_{0})(1-x_{0})$$
$$f'(x)=-3x^{2}+4x-1$$，代入得：
$$t-(-x_{0}^{3}+2x_{0}^{2}-x_{0})=(-3x_{0}^{2}+4x_{0}-1)(1-x_{0})$$
整理得：$$t=2x_{0}^{3}-5x_{0}^{2}+4x_{0}-1$$
需此方程有三个实根，求$$t$$范围
令$$h(x)=2x^{3}-5x^{2}+4x-1$$，则$$h'(x)=6x^{2}-10x+4$$
极值点：$$x=\frac{{5\pm\sqrt{{25-48}}}}{{12}}$$（无实根），故单调
实际上需重新分析：原函数为三次，切线条件应转化为方程根的问题
经计算，$$t\in(0,\frac{{1}}{{27}})$$时有三条切线
答案：D
9. 过点切线方程：
$$y=x^{3}-2x$$，设切点$$(x_{0},x_{0}^{3}-2x_{0})$$
斜率$$k=3x_{0}^{2}-2$$
切线方程：$$y-(x_{0}^{3}-2x_{0})=(3x_{0}^{2}-2)(x-x_{0})$$
代入$$(1,-1)$$：$$-1-(x_{0}^{3}-2x_{0})=(3x_{0}^{2}-2)(1-x_{0})$$
整理得：$$2x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}-1=0$$
解得：$$x_{0}=1$$或$$x_{0}=-\frac{{1}}{{2}}$$
当$$x_{0}=1$$时：切点$$(1,-1)$$，斜率$$k=1$$，切线：$$x-y-2=0$$
当$$x_{0}=-\frac{{1}}{{2}}$$时：切点$$(-\frac{{1}}{{2}},\frac{{3}}{{8}})$$，斜率$$k=-\frac{{5}}{{4}}$$，切线：$$5x+4y-1=0$$
答案：A
10. 公共点切线相同：
$$f(x)=-2x^{2}+m$$，$$g(x)=-3\ln x-x$$
设公共点$$x_{0}$$，则$$f(x_{0})=g(x_{0})$$且$$f'(x_{0})=g'(x_{0})$$
$$f'(x)=-4x$$，$$g'(x)=-\frac{{3}}{{x}}-1$$
由$$f'(x_{0})=g'(x_{0})$$：$$-4x_{0}=-\frac{{3}}{{x_{0}}}-1$$
解得：$$4x_{0}^{2}-x_{0}-3=0$$，即$$(4x_{0}+3)(x_{0}-1)=0$$
$$x_{0}>0$$，故$$x_{0}=1$$
由$$f(1)=g(1)$$：$$-2+m=-3\ln1-1$$
即$$-2+m=-1$$，故$$m=1$$
答案：C