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正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{3}}{−}{3}{a}{x}{(}{a}{∈}{R}{)}}$$.若直线$${{x}{+}{y}{+}{m}{=}{0}}$$对任意的$${{m}{∈}{R}}$$都不是曲线$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的切线，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$$\left[-1， ~-\frac{1} {2} \right]$$
B.$${{[}{−}{1}{，}{0}{]}}$$
C.$${{[}{0}{，}{1}{]}}$$
D.$$\left(-\infty， ~ \frac{1} {3} \right)$$
3、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']正确率60.0%若直线$$y=\frac{5} {2} x$$与曲线$${{y}{=}{m}{x}{−}{{l}{n}}{(}{2}{x}{+}{1}{)}}$$相切于点$${{O}{(}{0}{，}{0}{)}{，}}$$则$${{m}{=}}$$（）
D
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{5} {2}$$
C.$$\frac{7} {2}$$
D.$$\frac{9} {2}$$
4、['数量积的性质'， '抛物线的标准方程'， '向量垂直'， '直线与抛物线的综合应用'， '两条直线垂直'， '导数的几何意义']正确率60.0%已知过点$${{P}{(}{0}{，}{1}{)}}$$的直线与抛物线$${{C}{：}{{x}^{2}}{=}{2}{p}{y}{(}{p}{>}{0}{)}}$$交于不同的$${{A}{，}{B}}$$两点，以$${{A}{，}{B}}$$为切点的两条切线交于点$${{Q}}$$，若$$\overrightarrow{Q A} \cdot\overrightarrow{Q B}=0，$$则抛物线的方程为 （）
C
A.$${{x}^{2}{=}{y}}$$
B.$${{x}^{2}{=}{2}{y}}$$
C.$${{x}^{2}{=}{4}{y}}$$
D.$${{x}^{2}{=}{8}{y}}$$
5、['简单复合函数的导数'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '导数的几何意义'， '直线的斜率']正确率40.0%对任意实数$${{m}}$$，过函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{x}^{2}}{+}{m}{x}{+}{1}}$$图象上的点$${（{2}{，}{f}{（}{2}{）}{）}}$$的切线恒过一定点$${{P}}$$，则$${{P}}$$的坐标为（）
B
A.$${（{0}{，}{3}{）}}$$
B.$${（{0}{，}{−}{3}{）}}$$
C.$$( \mathrm{\frac{3} {2}， \ 0 )}$$
D.$$( \mathrm{\it~-~} \frac{3} {2}， \mathrm{\it~ 0} )$$
6、['导数与单调性'， '函数的对称性'， '导数的几何意义']正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$和$${{g}{（}{x}{）}}$$的导函数分别为$${{f}^{′}{（}{x}{）}{，}{{g}^{′}}{（}{x}{）}}$$，则下面结论正确的是（）
$${①}$$若$${{f}^{′}{（}{x}{）}{>}{{g}^{′}}{（}{x}{）}}$$，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象在函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象上方；
$${②}$$若函数$${{f}^{′}{（}{x}{）}}$$与$${{g}^{′}{（}{x}{）}}$$的图象关于直线$${{x}{=}{a}}$$对称，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$与$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象关于点$${（{a}{，}{0}{）}}$$对称；
$${③}$$函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{f}{（}{a}{−}{x}{）}}$$，则$${{f}^{′}{（}{x}{）}{=}{−}{{f}^{′}}{（}{a}{−}{x}{）}}$$；
$${④}$$若$${{f}^{′}{（}{x}{）}}$$是增函数，则$$f ( \frac{x_{1}+x_{2}} {2} ) ~ \leqslant\frac{f ( x_{1} )+f ( x_{2} )} {2}$$．
D
A.$${①{②}}$$
B.$${①{②}{③}}$$
C.$${③{④}}$$
D.$${②{③}{④}}$$
7、['函数的综合问题'， '函数求值'， '导数的几何意义'， '对数的运算性质']正确率60.0%王老师在用几何画板同时画出指数函数$${{y}{=}{{a}^{x}}{(}{a}{>}{0}}$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$与其反函数$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{a}}{x}}$$的图象，当改变$${{a}}$$的取值时，发现两函数图象时而无交点，时而有两个交点，并且在某处只有一个交点，则通过所学的导数知识，我们可以求出当函数只有一个交点时，$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {e}}$$
B.$${^{e}\sqrt {e}}$$
C.$$\frac{e} {2}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{e}} {e}$$
8、['导数的四则运算法则'， '导数的几何意义']正确率60.0%曲线$$f ( x )=\frac{e^{2 x}} {x}$$在点$${{(}{1}{，}{f}{(}{1}{)}{)}}$$处切线的斜率等于
B
A.$${{0}}$$
B.$${{e}^{2}}$$
C.$${{2}{{e}^{2}}}$$
D.$${{3}{{e}^{2}}}$$
9、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']正确率60.0%曲线$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{e}^{x}}{−}{{x}^{2}}{+}{x}}$$在点$${{(}{0}{，}{f}{{(}{0}{)}}{)}}$$处的切线方程是（）
C
A.$${{2}{x}{+}{y}{+}{1}{=}{0}}$$
B.$${{2}{x}{+}{y}{−}{1}{=}{0}}$$
C.$${{2}{x}{−}{y}{+}{1}{=}{0}}$$
D.$${{2}{x}{−}{y}{−}{1}{=}{0}}$$
10、['导数的几何意义']正确率60.0%函数$${{y}{=}{2}{{e}^{x}}}$$的图像在点$${{(}{1}{，}{2}{e}{)}}$$处切线的斜率为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{e}}$$
C.$${{2}{e}}$$
D.$${{e}^{2}}$$
1. 题目解析：
函数 $$f(x) = x^3 - 3a x$$ 的导数为 $$f'(x) = 3x^2 - 3a$$。直线 $$x + y + m = 0$$ 的斜率为 $$-1$$，因此需要 $$f'(x) = -1$$ 无解。
即 $$3x^2 - 3a = -1$$ 无解，化简为 $$3x^2 = 3a - 1$$，要求 $$3a - 1 < 0$$，即 $$a < \frac{1}{3}$$。
所以实数 $$a$$ 的取值范围是 $$\left(-\infty, \frac{1}{3}\right)$$，对应选项 D。
3. 题目解析：
曲线 $$y = m x - \ln(2x + 1)$$ 在点 $$(0, 0)$$ 处与直线 $$y = \frac{5}{2}x$$ 相切，需满足：
1. 函数值相等：$$0 = m \cdot 0 - \ln(1)$$，成立。
2. 斜率相等：求导得 $$y' = m - \frac{2}{2x + 1}$$，在 $$x = 0$$ 处 $$y' = m - 2 = \frac{5}{2}$$，解得 $$m = \frac{9}{2}$$。
所以 $$m = \frac{9}{2}$$，对应选项 D。
4. 题目解析：
设抛物线 $$x^2 = 2py$$ 的切线在点 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$ 处的切线方程分别为 $$x x_1 = p(y + y_1)$$ 和 $$x x_2 = p(y + y_2)$$。
两切线交点 $$Q$$ 的坐标为 $$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{x_1 x_2}{2p}\right)$$。
由 $$\overrightarrow{QA} \cdot \overrightarrow{QB} = 0$$，可得 $$(x_1 - x_Q)(x_2 - x_Q) + (y_1 - y_Q)(y_2 - y_Q) = 0$$，代入化简得 $$p = 1$$。
所以抛物线方程为 $$x^2 = 2y$$，对应选项 B。
5. 题目解析：
函数 $$f(x) = x^2 + m x + 1$$ 在点 $$(2, f(2))$$ 处的切线斜率为 $$f'(2) = 4 + m$$。
切线方程为 $$y - (4 + 2m + 1) = (4 + m)(x - 2)$$，化简为 $$y = (4 + m)x - 4 - 2m + 5$$。
整理得 $$y = (4 + m)x - 2m + 1$$，对于任意 $$m$$，切线恒过定点 $$P$$，令 $$x = 0$$，得 $$y = -2m + 1$$，但需与 $$m$$ 无关，矛盾。
重新整理切线方程：$$y - 5 - 2m = (4 + m)(x - 2)$$，化简为 $$y = (4 + m)x - 8 - 2m + 5 + 2m$$，即 $$y = (4 + m)x - 3$$。
当 $$x = 0$$ 时，$$y = -3$$，与 $$m$$ 无关，所以定点 $$P$$ 为 $$(0, -3)$$，对应选项 B。
6. 题目解析：
① 错误，$$f'(x) > g'(x)$$ 仅说明 $$f(x)$$ 的增长速度更快，不代表函数值更大。
② 正确，若 $$f'(x)$$ 与 $$g'(x)$$ 关于 $$x = a$$ 对称，则 $$f(x) + g(2a - x)$$ 为常数，可能关于点 $$(a, 0)$$ 对称。
③ 正确，由 $$f(x) = f(a - x)$$ 求导得 $$f'(x) = -f'(a - x)$$。
④ 正确，$$f'(x)$$ 为增函数时，$$f(x)$$ 为凸函数，满足 Jensen 不等式。
所以正确的结论是 ②③④，对应选项 D。
7. 题目解析：
指数函数 $$y = a^x$$ 与其反函数 $$y = \log_a x$$ 的图像关于直线 $$y = x$$ 对称。
两函数图像相切时，设切点为 $$(t, t)$$，满足 $$t = a^t$$ 且 $$1 = a^t \ln a$$。
联立得 $$t \ln a = 1$$，代入 $$t = a^t$$ 得 $$a^{1/\ln a} \ln a = 1$$，解得 $$a = e^{1/e}$$。
所以 $$a$$ 的值为 $$^e \sqrt{e}$$，对应选项 B。
8. 题目解析：
函数 $$f(x) = \frac{e^{2x}}{x}$$ 的导数为 $$f'(x) = \frac{2x e^{2x} - e^{2x}}{x^2} = \frac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2}$$。
在 $$x = 1$$ 处，斜率 $$f'(1) = e^{2}(2 - 1) = e^2$$。
所以切线的斜率为 $$e^2$$，对应选项 B。
9. 题目解析：
函数 $$f(x) = e^x - x^2 + x$$ 在 $$x = 0$$ 处的函数值为 $$f(0) = 1$$。
导数为 $$f'(x) = e^x - 2x + 1$$，在 $$x = 0$$ 处 $$f'(0) = 2$$。
切线方程为 $$y - 1 = 2(x - 0)$$，即 $$2x - y + 1 = 0$$。
所以切线方程是 $$2x - y + 1 = 0$$，对应选项 C。
10. 题目解析：
函数 $$y = 2e^x$$ 的导数为 $$y' = 2e^x$$。
在点 $$(1, 2e)$$ 处，斜率 $$y'(1) = 2e$$。
所以切线的斜率为 $$2e$$，对应选项 C。