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正确率60.0%函数$$f ( x )=x^{2} \mathrm{e}^{x}$$的图像在点$$( 1， ~ f ( 1 ) )$$处的切线方程为（）
C
A.$$\mathrm{e} x-y=0$$
B.$$2 \mathrm{e} x-y-\mathrm{e}=0$$
C.$$3 \mathrm{e} x-y-2 \mathrm{e}=0$$
D.$$4 \mathrm{e} x-y-3 \mathrm{e}=0$$
2、['导数的几何意义']正确率80.0%若曲线$$y=e^{2 a x}$$在点$$( 0， 1 )$$处的切线与直线$$2 x-y+1=0$$垂直，则$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$$- \frac{1} {4}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{1}}$$
3、['导数的几何意义']正确率80.0%函数$$f ( x )=x^{3}-x^{2}+x+1$$在点$$( 1， 2 )$$处的切线的斜率是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
4、['导数的几何意义']正确率60.0%若直线$$y=k x-2$$与曲线$$y=1+3 \operatorname{l n} x$$相切，则$${{k}{=}}$$（）
A
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
5、['直线的点斜式方程'， '导数与最值'， '导数的几何意义']正确率40.0%已知曲线$$C_{1} \colon~ y^{2}=t x ~ ( y > 0， ~ t > 0 )$$在点$$M ~^{(} ~ \frac{4} {t}， ~ 2 )$$处的切线与曲线$$C_{2} \colon~ y=e^{x}$$相切，若动直线$${{y}{=}{a}}$$分别与曲线$${{C}_{1}{、}{{C}_{2}}}$$相交于$${{A}{、}{B}}$$两点，则$${{|}{A}{B}{|}}$$的最小值为（）
D
A.$$\frac{l n 3+1} {3}$$
B.$$\frac{l n 3-1} {3}$$
C.$$\frac{1+l n 2} {2}$$
D.$$\frac{1-l n 2} {2}$$
6、['导数的几何意义']正确率80.0%设函数$$f ( x )=a e^{x} \operatorname{l n} x+\frac{b e^{x-1}} {x}$$，曲线$$y=f ( x )$$在点$$( 1， f ( 1 ) )$$处的切线方程为$$y=e ( x-1 )+2.$$则$${{a}{=}{(}{)}}$$
A.$${{0}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
7、['导数的几何意义']正确率40.0%直线$${{y}{=}{b}}$$分别与直线$$y=2 x+1$$和曲线$${{y}{=}{{l}{n}}{x}}$$相交于点$${{A}}$$，$${{B}}$$，则$${{|}{A}{B}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$$1+\frac{1} {2} \operatorname{l n} 2$$
B.$$1-\frac1 2 \operatorname{l n} 2$$
C.$${{1}{−}{{l}{n}}{2}}$$
D.$${{1}{+}{{l}{n}}{2}}$$
8、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']正确率60.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x$$在点$$P ( \frac{\pi} {2}， \ 1 )$$处的切线斜率为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
9、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']正确率60.0%若直线$$y=k x+1$$与函数$$f ( x )=e^{x}$$的图象相切，则实数$${{k}}$$的值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['导数的几何意义']正确率60.0%若直线$$y=k x+2$$是曲线$$y=x^{3}-x$$的切线，则$${{k}{=}}$$
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{7} {2}$$
1. 解析：
首先计算函数$$f(x)=x^2 e^x$$在$$x=1$$处的函数值：$$f(1)=1^2 \cdot e^1 = e$$。
然后求导数$$f'(x)$$，使用乘积法则：$$f'(x)=2x e^x + x^2 e^x = e^x (x^2 + 2x)$$。
在$$x=1$$处的导数为：$$f'(1)=e^1 (1 + 2)=3e$$。
切线方程为：$$y - f(1)=f'(1)(x - 1)$$，即$$y - e=3e(x - 1)$$，整理得$$3e x - y - 2e=0$$。
正确答案是C。
2. 解析：
曲线$$y=e^{2a x}$$在$$x=0$$处的导数为：$$y'=2a e^{2a x}$$，在$$x=0$$处为$$y'=2a$$。
直线$$2x - y + 1=0$$的斜率为$$2$$，因为切线与该直线垂直，所以$$2a \cdot 2=-1$$，解得$$a=-\frac{1}{4}$$。
正确答案是A。
3. 解析：
函数$$f(x)=x^3 - x^2 + x + 1$$的导数为：$$f'(x)=3x^2 - 2x + 1$$。
在$$x=1$$处的导数为：$$f'(1)=3 - 2 + 1=2$$，即切线的斜率为$$2$$。
正确答案是C。
4. 解析：
设切点为$$(x_0, 1 + 3 \ln x_0)$$，曲线$$y=1 + 3 \ln x$$的导数为$$y'=\frac{3}{x}$$。
切线斜率$$k=\frac{3}{x_0}$$，切线方程为$$y - (1 + 3 \ln x_0)=\frac{3}{x_0}(x - x_0)$$。
与直线$$y=kx - 2$$比较，得到截距条件：$$1 + 3 \ln x_0 - 3=-2$$，解得$$\ln x_0=0$$，即$$x_0=1$$。
因此$$k=\frac{3}{1}=3$$。
正确答案是A。
5. 解析：
曲线$$C_1: y^2=tx$$在点$$M\left(\frac{4}{t}, 2\right)$$处的切线斜率为$$\frac{dy}{dx}=\frac{t}{2y}$$，在$$M$$处为$$\frac{t}{4}$$。
切线方程为$$y - 2=\frac{t}{4}\left(x - \frac{4}{t}\right)$$，即$$y=\frac{t}{4}x + 1$$。
与曲线$$C_2: y=e^x$$相切，联立得$$\frac{t}{4}x + 1=e^x$$，且导数相等：$$\frac{t}{4}=e^x$$。
解得$$x=1$$，$$t=4e$$。
动直线$$y=a$$与$$C_1$$交于$$A\left(\frac{a^2}{t}, a\right)$$，与$$C_2$$交于$$B(\ln a, a)$$。
距离$$|AB|=\ln a - \frac{a^2}{4e}$$，求导得极小值点$$a=\sqrt{2e}$$，代入得最小值为$$\frac{1 - \ln 2}{2}$$。
正确答案是D。
6. 解析：
函数$$f(x)=a e^x \ln x + \frac{b e^{x-1}}{x}$$在$$x=1$$处的值为$$f(1)=a e \ln 1 + b e^0=0 + b=b$$。
根据切线方程$$y=e(x - 1) + 2$$，在$$x=1$$处$$y=2$$，所以$$b=2$$。
求导数$$f'(x)=a e^x \ln x + \frac{a e^x}{x} + \frac{b e^{x-1}(x - 1)}{x^2}$$，在$$x=1$$处为$$f'(1)=a e + 0 + 0=a e$$。
切线斜率为$$e$$，所以$$a e=e$$，解得$$a=1$$。
正确答案是C。
7. 解析：
直线$$y=b$$与$$y=2x + 1$$交于$$A\left(\frac{b - 1}{2}, b\right)$$，与$$y=\ln x$$交于$$B(e^b, b)$$。
距离$$|AB|=e^b - \frac{b - 1}{2}$$，求导得极小值点$$b=\ln \frac{1}{2}$$，代入得最小值为$$1 - \frac{1}{2} \ln 2$$。
正确答案是B。
8. 解析：
函数$$f(x)=\sin x + \cos x$$的导数为$$f'(x)=\cos x - \sin x$$。
在$$x=\frac{\pi}{2}$$处的导数为$$f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 - 1=-1$$，即切线斜率为$$-1$$。
正确答案是B。
9. 解析：
设切点为$$(x_0, e^{x_0})$$，曲线$$f(x)=e^x$$的导数为$$f'(x)=e^x$$，切线斜率为$$e^{x_0}$$。
切线方程为$$y - e^{x_0}=e^{x_0}(x - x_0)$$，与$$y=kx + 1$$比较，得到$$e^{x_0}=k$$且$$-e^{x_0} x_0 + e^{x_0}=1$$。
解得$$x_0=0$$，$$k=e^0=1$$。
正确答案是A。
10. 解析：
曲线$$y=x^3 - x$$的导数为$$y'=3x^2 - 1$$。
设切点为$$(x_0, x_0^3 - x_0)$$，切线斜率为$$3x_0^2 - 1$$，切线方程为$$y - (x_0^3 - x_0)=(3x_0^2 - 1)(x - x_0)$$。
与$$y=kx + 2$$比较，得到$$-x_0^3 + x_0 + (3x_0^2 - 1)(-x_0)=2$$，化简得$$2x_0^3=2$$，即$$x_0=1$$。
因此$$k=3(1)^2 - 1=2$$。
正确答案是C。