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正确率80.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$可导，且满足$$\quad\quad\operatorname* {l i m} \Delta x$$$${{→}}$$$$0 \frac{f ( 3-\Delta x )-f ( 3 )} {\Delta x}=2，$$则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{x}{=}{3}}$$处的导数为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{2}}$$
2、['导数的概念']正确率80.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{x}{=}{−}{1}}$$处可导，且$$f^{\prime} (-1 )=-3$$，则$$x \overset{\operatorname* {l i m}} {\to} 0 ( \frac{f (-1 )-f (-1+\triangle x )} {3 \triangle x} )=( \triangle)$$
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{3}}$$
3、['导数的概念']正确率80.0%设函数$$f ( x )=a x+1，$$若$$f^{\prime} ( 1 )=2，$$则$${{a}{=}}$$（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$
4、['导数的概念'， '变化率']正确率80.0%函数$$f ( x )=x^{2}-\mathrm{s i n} x$$在$$[ 0， \ \pi]$$上的平均变化率为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{π}}$$
D.$${{π}^{2}}$$
5、['导数的概念']正确率80.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{x}{=}{{x}_{0}}}$$处的导数为$${{1}{2}}$$，则$$\Delta x \to0 \frac{f ( x_{0}-\Delta x )-f ( x_{0} )} {3 \Delta x}=( \Delta)$$
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{−}{{3}{6}}}$$
D.$${{3}{6}}$$
6、['导数的概念']正确率80.0%在导数定义中$${{“}}$$当$${{△}{x}{→}{0}}$$时，$$\frac{\triangle y} {\triangle x} \to f^{\prime} ~ ( x_{0} ) ~^{n}$$中的，$${{△}{x}}$$的取值为（）
D
A.正值
B.负值
C.正值$${、}$$负值或零
D.正值或负值，但不能为零
7、['导数的概念'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']正确率60.0%曲线$${{y}{=}{{x}^{3}}}$$在点$${{P}}$$处的切线斜率为$${{3}{，}}$$则点$${{P}}$$的坐标为（）
B
A.$$(-2， ~-8 )$$
B.$$( 1， ~ 1 )$$或$$(-1， ~-1 )$$
C.$$( 2， 8 )$$
D.
正确率80.0%$${{2}{0}{2}{0}}$$年$${{1}{2}}$$月$${{1}}$$日$${{2}{2}}$$时$${{5}{7}}$$分，嫦娥五号探测器从距离月球表面$$1 5 0 0 m$$处开始实施动力下降，$${{7}{5}{0}{0}}$$牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约$$1 5 0 0 m / s$$降为零$${{.}{1}{2}}$$分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为$${{v}}$$，相对月球纵向速度的平均变化率为$${{a}}$$，则$${{(}{)}}$$
B
A.$$v=\frac{2 5} {1 2} m / s$$，$$a={\frac{2 5} {1 2}} m / s^{2}$$
B.$$v=-\frac{2 5} {1 2} m / s$$，$$a=-\frac{2 5} {1 2} m / s^{2}$$
C.$$v=-\frac{2 5} {1 2} m / s$$，$$a={\frac{2 5} {1 2}} m / s^{2}$$
D.$$v=\frac{2 5} {1 2} m / s$$，$$a=-\frac{2 5} {1 2} m / s^{2}$$
9、['导数的概念']正确率80.0%若函数$$f ( x )=x^{2}$$，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$从$${{x}{=}{−}{1}}$$到$${{x}{=}{2}}$$的平均变化率为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{1}}$$
10、['导数的概念']正确率80.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{x}{=}{{x}_{0}}}$$处的导数为$$f^{\prime} ( x_{0} )$$，则$$\Delta x \to0 \frac{f ( x_{0}+3 \Delta x )-f ( x_{0} )} {\Delta x}=( \Delta)$$
A.$$- \frac{1} {3} f^{\prime} ( x_{0} )$$
B.$$- 3 f^{\prime} ( x_{0} )$$
C.$$3 f^{\prime} ( x_{0} )$$
D.$${\frac{1} {3} f^{\prime} ( x_{0} )}$$
1. 已知 $$\lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(3-\Delta x)-f(3)}}{{\Delta x}} = 2$$
根据导数定义：$$f'(3) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(3+\Delta x)-f(3)}}{{\Delta x}}$$
令 $$h = -\Delta x$$，则当 $$\Delta x \to 0$$ 时，$$h \to 0$$
原式变为：$$\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(3+h)-f(3)}}{{-h}} = -\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(3+h)-f(3)}}{{h}} = -f'(3)$$
因此 $$-f'(3) = 2$$，解得 $$f'(3) = -2$$
答案：D
2. 已知 $$f'(-1) = -3$$，求 $$\lim_{{x \to 0}} \frac{{f(-1)-f(-1+\Delta x)}}{{3\Delta x}}$$
令 $$h = -\Delta x$$，则当 $$\Delta x \to 0$$ 时，$$h \to 0$$
原式变为：$$\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(-1)-f(-1-h)}}{{3(-h)}} = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(-1-h)-f(-1)}}{{3h}}$$
$$= \frac{{1}}{{3}} \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(-1-h)-f(-1)}}{{h}} = \frac{{1}}{{3}} f'(-1) = \frac{{1}}{{3}} \times (-3) = -1$$
答案：B
3. 函数 $$f(x) = ax + 1$$，求导得 $$f'(x) = a$$
已知 $$f'(1) = 2$$，因此 $$a = 2$$
答案：A
4. 函数 $$f(x) = x^2 - \sin x$$ 在区间 $$[0, \pi]$$ 上的平均变化率
平均变化率公式：$$\frac{{f(\pi)-f(0)}}{{\pi-0}} = \frac{{(\pi^2 - \sin \pi) - (0^2 - \sin 0)}}{{\pi}} = \frac{{\pi^2 - 0 - 0 + 0}}{{\pi}} = \pi$$
答案：C
5. 已知 $$f'(x_0) = 12$$，求 $$\lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}}{{3\Delta x}}$$
令 $$h = -\Delta x$$，则当 $$\Delta x \to 0$$ 时，$$h \to 0$$
原式变为：$$\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x_0+h)-f(x_0)}}{{3(-h)}} = -\frac{{1}}{{3}} \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x_0+h)-f(x_0)}}{{h}} = -\frac{{1}}{{3}} f'(x_0) = -\frac{{1}}{{3}} \times 12 = -4$$
答案：A
6. 导数定义中 $$\Delta x$$ 的取值
根据导数定义，$$\Delta x$$ 是自变量的增量，可以取正值或负值，但不能为零（因为分母不能为零）
答案：D
7. 曲线 $$y = x^3$$ 的导数为 $$y' = 3x^2$$
设切点坐标为 $$(a, a^3)$$，则 $$3a^2 = 3$$，解得 $$a = \pm 1$$
对应点坐标为 $$(1, 1)$$ 和 $$(-1, -1)$$
答案：B
8. 距离变化：$$\Delta s = 0 - 1500 = -1500$$ m
时间变化：$$\Delta t = 12 \times 60 = 720$$ s
平均速度：$$v = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{{-1500}}{{720}} = -\frac{{25}}{{12}}$$ m/s
速度变化：$$\Delta v = 0 - 1500 = -1500$$ m/s
平均加速度：$$a = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \frac{{-1500}}{{720}} = -\frac{{25}}{{12}}$$ m/s²
答案：B
9. 函数 $$f(x) = x^2$$ 从 $$x = -1$$ 到 $$x = 2$$ 的平均变化率
$$\frac{{f(2)-f(-1)}}{{2-(-1)}} = \frac{{4-1}}{{3}} = \frac{{3}}{{3}} = 1$$
答案：A
10. 已知 $$f'(x_0) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}}{{\Delta x}}$$
令 $$h = 3\Delta x$$，则当 $$\Delta x \to 0$$ 时，$$h \to 0$$
原式：$$\lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x_0+3\Delta x)-f(x_0)}}{{\Delta x}} = 3 \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x_0+h)-f(x_0)}}{{h}} = 3f'(x_0)$$
答案：C