导数的几何意义-5.1 导数的概念及其意义知识点考前进阶单选题自测题解析-贵州省等高二数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']

正确率60.0%函数$$y=\mathrm{e}^{x} \， ( \mathrm{e}$$是自然对数的底数$${{)}}$$的图像在点$$( 0， \ 1 )$$处的切线方程是（）

A.$$y=x-1$$

B.$$y=x+1$$

C.$$y=-x-1$$

D.$$y=-x+1$$

2、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '导数的几何意义']

正确率40.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数为$$f^{\prime} ( x )$$，且$$f ( x )=3 x f^{\prime} ( 2 )-2 l n x$$，则曲线$$y=f ( x )$$在点$$( 4， f ( 4 ) )$$处切线的倾斜角为（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{\pi} {4}$$

C.$$\frac{3 \pi} {4}$$

D.$$\frac{5 \pi} {6}$$

4、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '两条直线垂直'， '导数的几何意义']

正确率60.0%已知直线$$a x-b y-2=0$$与曲线$${{y}{=}{{x}^{3}}}$$在点$$P ( 1， 1 )$$处的切线互相垂直，则$$\frac{a} {b}$$为（）

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

C.$$- \frac{2} {3}$$

D.$$- \frac{1} {3}$$

5、['函数的最大(小)值'， '两点间的距离'， '抛物线的定义'， '两条直线垂直'， '导数的几何意义']

正确率19.999999999999996%设$$D=\sqrt{( x-a )^{2}+( e^{x}-2 \sqrt{a} )^{2}}+a+2$$．其中$$e \approx2. 7 1 8 2 8$$，则$${{D}}$$的最小值为（）

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$$\sqrt{2}+1$$

D.$$\sqrt3+1$$

6、['二次函数模型的应用'， '导数的几何意义'， '不等式的性质']

正确率60.0%若曲线$$y=a l n x+\frac{1} {2} x^{2}+2 x$$的切线斜率都是正数，则实数的取值范围是（）

A.$$( 1， ~+\infty)$$

B.$$[ 1， ~+\infty)$$

C.$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~+\infty} )$$

D.$$[ 0， \ \ +\infty)$$

7、['子集'， '导数的几何意义']

正确率40.0%设集合$$A=\left\{\begin{array} {c} {( x， \ y )} \\ \end{array} \right. \left| y=a^{x} \right\}， . \mathrm{~} B=\left\{\begin{array} {c} {( x， \ y )} \\ \end{array} | y \geqslant x+1 \right.$$或$$y \geqslant-x+1 \}$$．若$${{A}{⊆}{B}}$$，则正实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[ 0， ~ \frac{1} {e} ]$$

B.$$[ \frac{1} {e}， ~ e ]$$

C.$$( 1， ~ e^{2} ]$$

D.$$[ e， ~+\infty)$$

8、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']

正确率60.0%函数$$f ( x )=x+x^{3}$$在点$${{x}{=}{1}}$$处的切线方程为（）

A.$$4 x-y+2=0$$

B.$$4 x-y-2=0$$

C.$$4 x+y+2=0$$

D.$$4 x+y-2=0$$

9、['导数的几何意义']

正确率80.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是偶函数，当$${{x}{>}{0}}$$时，$$f ( x )=\frac{a x^{2}} {x+1}.$$若曲线$$y=f ( x )$$在点$$(-1， f (-1 ) )$$处切线的斜率为$${{−}{1}}$$，则实数$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$$- \frac{3} {4}$$

B.$$\frac{4} {3}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

D.$$None$$

10、['点到直线的距离'， '两条平行直线间的距离'， '导数的几何意义'， '两条直线平行']

正确率40.0%点$${{P}}$$是曲线$$x^{2}-y-2 \operatorname{l n} \sqrt{x}=0$$上任意一点，则点$${{P}}$$到直线$$4 x+4 y+1=0$$的最小距离是$${{(}{)}}$$

A.$${\frac{\sqrt2} {2}} ( 1-\operatorname{l n} 2 )$$

B.$${\frac{\sqrt2} {2}} ( 1+\operatorname{l n} 2 )$$

C.$${\frac{\sqrt2} {2}} ( {\frac{1} {2}}+\operatorname{l n} 2 )$$

D.$$\frac1 2 ( 1+\operatorname{l n} 2 )$$

1. 解析：求函数 $$y = e^x$$ 在点 $$(0, 1)$$ 处的切线方程。首先，导数为 $$y' = e^x$$，在 $$x = 0$$ 处斜率为 $$y'(0) = 1$$。切线方程为 $$y - 1 = 1 \cdot (x - 0)$$，即 $$y = x + 1$$。答案为 B。

2. 解析：已知 $$f(x) = 3x f'(2) - 2 \ln x$$，求 $$f'(4)$$。首先求导得 $$f'(x) = 3f'(2) - \frac{2}{x}$$。代入 $$x = 2$$ 得 $$f'(2) = 3f'(2) - 1$$，解得 $$f'(2) = \frac{1}{2}$$。再求 $$f'(4) = 3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{2}{4} = 1$$。斜率为 1，倾斜角为 $$\frac{\pi}{4}$$。答案为 B。

4. 解析：曲线 $$y = x^3$$ 在 $$P(1, 1)$$ 处的导数为 $$y' = 3x^2$$，斜率为 3。直线 $$ax - by - 2 = 0$$ 的斜率为 $$\frac{a}{b}$$。两直线垂直，故 $$\frac{a}{b} \cdot 3 = -1$$，解得 $$\frac{a}{b} = -\frac{1}{3}$$。答案为 D。

5. 解析：$$D$$ 的表达式可视为点 $$(x, e^x)$$ 到点 $$(a, 2\sqrt{a})$$ 的距离加上 $$a + 2$$。最小化 $$D$$ 等价于最小化距离和 $$a + 2$$。当 $$x = \ln(2\sqrt{a})$$ 时，距离为 0，此时 $$a = \frac{1}{4}$$，$$D = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$$。但进一步分析发现，当 $$a = 1$$ 时，$$D = \sqrt{(0)^2 + (e - 2)^2} + 3 \approx 3.7$$，但更优解为 $$a = 0$$ 时 $$D = \sqrt{x^2 + (e^x)^2} + 2$$，最小值为 $$\sqrt{0 + 1} + 2 = 3$$。但题目选项无 3，可能题目有其他隐含条件。重新理解题意，可能 $$D$$ 的最小值为 $$\sqrt{2}$$，对应选项 A。

6. 解析：函数 $$y = a \ln x + \frac{1}{2}x^2 + 2x$$ 的导数为 $$y' = \frac{a}{x} + x + 2$$。要求 $$y' > 0$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立。当 $$x \to 0^+$$，$$y' \to +\infty$$；当 $$x \to +\infty$$，$$y' \to +\infty$$。最小值在 $$x = \sqrt{a}$$ 处，需 $$\frac{a}{\sqrt{a}} + \sqrt{a} + 2 > 0$$，即 $$2\sqrt{a} + 2 > 0$$，恒成立。但需 $$a \geq 0$$ 以避免 $$y'$$ 为负。进一步分析，若 $$a < 0$$，$$y'$$ 可能为负，故 $$a \geq 0$$。答案为 D。

7. 解析：集合 $$A$$ 为指数函数 $$y = a^x$$，集合 $$B$$ 为 $$y \geq x + 1$$ 或 $$y \geq -x + 1$$。要求 $$A \subseteq B$$，即 $$a^x \geq x + 1$$ 或 $$a^x \geq -x + 1$$ 对所有 $$x$$ 成立。当 $$x = 0$$，需 $$1 \geq 1$$ 成立。当 $$x = 1$$，需 $$a \geq 2$$ 或 $$a \geq 0$$。但 $$a$$ 为正实数，需进一步分析。实际上，当 $$a \leq \frac{1}{e}$$ 时，$$a^x$$ 衰减较快，可能不满足条件。答案为 A。

8. 解析：函数 $$f(x) = x + x^3$$ 在 $$x = 1$$ 处的导数为 $$f'(x) = 1 + 3x^2$$，斜率为 4。切线方程为 $$y - 2 = 4(x - 1)$$，即 $$4x - y - 2 = 0$$。答案为 B。

9. 解析：函数 $$f(x)$$ 为偶函数，当 $$x > 0$$ 时 $$f(x) = \frac{a x^2}{x + 1}$$。在 $$x = -1$$ 处斜率为 -1，即 $$f'(-1) = -1$$。由偶函数性质，$$f'(1) = 1$$。求导得 $$f'(x) = \frac{2a x (x + 1) - a x^2}{(x + 1)^2} = \frac{a x^2 + 2a x}{(x + 1)^2}$$。代入 $$x = 1$$ 得 $$\frac{a + 2a}{4} = 1$$，解得 $$a = \frac{4}{3}$$。答案为 B。

10. 解析：曲线 $$x^2 - y - 2 \ln \sqrt{x} = 0$$ 化简为 $$y = x^2 - \ln x$$。求导得 $$y' = 2x - \frac{1}{x}$$。设切线与直线 $$4x + 4y + 1 = 0$$ 平行，斜率为 -1，故 $$2x - \frac{1}{x} = -1$$，解得 $$x = \frac{1}{2}$$。此时 $$y = \frac{1}{4} - \ln \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \ln 2$$。最小距离为 $$\frac{|4 \cdot \frac{1}{2} + 4 (\frac{1}{4} + \ln 2) + 1|}{\sqrt{4^2 + 4^2}} = \frac{2 + 1 + 4 \ln 2 + 1}{4 \sqrt{2}} = \frac{4 + 4 \ln 2}{4 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + \ln 2)$$。答案为 B。

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