瞬时变化率-5.1 导数的概念及其意义知识点教师选题基础选择题自测题解析-宁夏回族自治区等高二数学选择必修,平均正确率68.0%

1、['瞬时变化率']

正确率80.0%一物体做直线运动，其位移$${{S}}$$$${{(}}$$单位：$${{m}{)}}$$与时间$${{t}}$$(单位：$${{s}{)}}$$的关系是$$S ( t )=2^{t}，$$则该物体在$${{t}{=}{1}{s}}$$时的瞬时速度是（）

A.$${{2}{{l}{n}}{2}{{m}{/}{s}}}$$

B.$${{l}{n}{2}{{m}{/}{s}}}$$

C.$${{2}{{m}{/}{s}}}$$

D.$${{1}{{m}{/}{s}}}$$

2、['导数的四则运算法则'， '瞬时变化率']

正确率60.0%一个质点的位移$${{s}}$$(单位：$${{m}{)}}$$与时间$${{t}}$$(单位：$${{s}{)}}$$满足函数关系式$$s=3 t^{3}-( 2 t+1 )^{2}+1，$$则当$${{t}{=}{1}{s}}$$时，该质点的瞬时速度为（）

A.$${{2}{{m}{/}{s}}}$$

B.$${{3}{{m}{/}{s}}}$$

C.$${{−}{3}{{m}{/}{s}}}$$

D.$${{−}{2}{{m}{/}{s}}}$$

3、['瞬时变化率']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( 1 )=-1， \， \， f^{\prime} ( 1 )=2.$$则函数$$y=f ( x ) \cdot\mathrm{e}^{x}$$在$${{x}{=}{1}}$$处的瞬时变化率为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{e}}$$

D.$${{2}{e}}$$

4、['简单复合函数的导数'， '瞬时变化率']

正确率60.0%随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益，假设在某放射性同位素的衰变过程中，其含量$${{N}}$$(单位：贝克)与时间$${{t}}$$(单位：天)满足函数关系$$N ( t )=N_{0} 2^{-\frac{t} {2 4}} \，，$$其中$${{N}_{0}}$$为$${{t}{=}{0}}$$时该放射性同位素的含量.已知$${{t}{=}{{2}{4}}}$$时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为$$- 8 \mathrm{l n} 2，$$则$$N ( 9 6 )=$$（）

A.$${{1}{2}}$$

B.$${{1}{2}{{l}{n}}{2}}$$

C.$${{2}{4}}$$

D.$${{2}{4}{{l}{n}}{2}}$$

5、['导数的几何意义'， '瞬时变化率']

正确率60.0%一个质量$$m=5 ~ \mathrm{k g}$$的物体做直线运动，运动距离$${{s}}$$$${{(}}$$单位：$${{m}{)}}$$与时间$${{t}}$$(单位：$${{s}{)}}$$的关系可用函数$$s ( t )=t+\frac{1} {2} t^{2}$$表示，并且物体的动能$$E_{k}={\frac{1} {2}} m v^{2} ( m$$为物体质量$${，{v}}$$为物体运动速度$${{)}}$$，则物体开始运动后第$${{7}{s}}$$时的动能是（）

A.$${{1}{6}{0}{J}}$$

B.$${{1}{6}{5}{J}}$$

C.$${{1}{7}{0}{J}}$$

D.$${{1}{7}{5}{J}}$$

6、['导数的概念'， '瞬时变化率']

正确率60.0%一个物体做直线运动，位移$${{s}}$$与时间$${{t}}$$之间的函数关系式为$$s ( t )=t^{2}+2 t+3，$$则该物体在$${{t}{=}{2}}$$时的瞬时速度为（）

A.$${{4}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{7}}$$

8、['导数的概念'， '瞬时变化率']

正确率80.0%已知质点的运动方程为$$s=t^{2}+t$$，则其在第$${{2}}$$秒的瞬时速度为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

9、['利用导数解决实际应用问题'， '瞬时变化率']

正确率60.0%一辆汽车按规律$$s=3 t^{2}+1$$做直线运动，若汽车在$${{t}{=}{2}}$$时的瞬时速度为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}{2}}$$

B.$${{1}{6}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{4}}$$

10、['变化率'， '瞬时变化率']

正确率60.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=1-x+x^{2}$$，则函数$$y=f ~ ( x )$$在$${{x}{=}{3}}$$处的瞬时变化率为（）

A.$${{7}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{8}}$$

1. 解析：瞬时速度是位移对时间的导数。给定 $$S(t) = 2^t$$，求导得 $$S'(t) = 2^t \ln 2$$。当 $$t = 1$$ 时，$$S'(1) = 2^1 \ln 2 = 2 \ln 2$$。答案为 A。

2. 解析：瞬时速度为位移对时间的导数。给定 $$s = 3t^3 - (2t + 1)^2 + 1$$，展开并求导： $$s = 3t^3 - (4t^2 + 4t + 1) + 1 = 3t^3 - 4t^2 - 4t$$，导数为 $$s' = 9t^2 - 8t - 4$$。当 $$t = 1$$ 时，$$s'(1) = 9(1)^2 - 8(1) - 4 = -3$$。答案为 C。

3. 解析：瞬时变化率为函数 $$y = f(x) \cdot e^x$$ 在 $$x = 1$$ 处的导数。使用乘积法则： $$y' = f'(x) \cdot e^x + f(x) \cdot e^x$$。代入 $$x = 1$$，已知 $$f(1) = -1$$ 和 $$f'(1) = 2$$，得 $$y'(1) = 2 \cdot e^1 + (-1) \cdot e^1 = e$$。答案为 C。

4. 解析：放射性同位素含量 $$N(t) = N_0 2^{-\frac{t}{24}}$$。求导得瞬时变化率： $$N'(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{24}} \cdot \ln 2 \cdot \left(-\frac{1}{24}\right)$$。已知 $$t = 24$$ 时 $$N'(24) = -8 \ln 2$$，代入得 $$-8 \ln 2 = N_0 \cdot 2^{-1} \cdot \ln 2 \cdot \left(-\frac{1}{24}\right)$$，解得 $$N_0 = 384$$。当 $$t = 96$$ 时， $$N(96) = 384 \cdot 2^{-\frac{96}{24}} = 384 \cdot 2^{-4} = 24$$。答案为 C。

5. 解析：位移函数 $$s(t) = t + \frac{1}{2} t^2$$，速度为导数： $$v(t) = s'(t) = 1 + t$$。当 $$t = 7$$ 时，$$v(7) = 1 + 7 = 8$$。动能 $$E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8^2 = 160$$。答案为 A。

6. 解析：位移函数 $$s(t) = t^2 + 2t + 3$$，速度为导数： $$v(t) = s'(t) = 2t + 2$$。当 $$t = 2$$ 时，$$v(2) = 2(2) + 2 = 6$$。答案为 C。

8. 解析：运动方程 $$s = t^2 + t$$，速度为导数： $$v(t) = s'(t) = 2t + 1$$。当 $$t = 2$$ 时，$$v(2) = 2(2) + 1 = 5$$。答案为 C。

9. 解析：运动方程 $$s = 3t^2 + 1$$，速度为导数： $$v(t) = s'(t) = 6t$$。当 $$t = 2$$ 时，$$v(2) = 6(2) = 12$$。答案为 A。

10. 解析：函数 $$f(x) = 1 - x + x^2$$，导数为 $$f'(x) = -1 + 2x$$。当 $$x = 3$$ 时，$$f'(3) = -1 + 2(3) = 5$$。答案为 C。

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