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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\frac{a} {2} x^{2}+\mathrm{l n} x，$$若对任意两个不等的正数$$x_{1}， ~ x_{2}，$$都有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} \geqslant4$$恒成立，则$${{a}}$$的取值范围为（）
A
A.$$[ 4， ~+\infty)$$
B.$$( 4，+\infty)$$
C.$$(-\infty， \， 4 ]$$
D.$$(-\infty， \， 4 )$$
2、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']正确率80.0%下列导数运算正确的是（）
C
A.$$( 2 x^{2}+3 )^{\prime}=4 x+3$$
B.$$\left( \mathrm{c o s} \frac{\pi} {3} \right)^{\prime}=-\mathrm{s i n} \frac{\pi} {3}$$
C.$$( \sqrt{x} )^{\prime}=\frac{1} {2 \sqrt{x}}$$
D.$$( \mathrm{e}^{-x} )^{\prime}=\mathrm{e}^{-x}$$
3、['导数的四则运算法则'， '直线系方程'， '基本初等函数的导数'， '函数奇、偶性的定义'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率60.0%下列命题中的假命题是（）
C
A.函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=x \cdot\operatorname{s i n} x$$的导函数为$$f^{\prime} ~ ( \textbf{x} ) ~=\operatorname{s i n} x+x \operatorname{c o s} x$$
B.函数$$f ( x )=\operatorname{l g} ( \sqrt{1+x^{2}}-x )$$为奇函数
C.$$( \operatorname{s i n} \frac{\pi} {6} )^{\prime}=\frac{\sqrt{3}} {2}$$
D.$$\forall k \in{\bf R}，$$直线$$y=k x+1-k$$与圆$$x^{2}+y^{2}=4$$都相交
4、['导数的四则运算法则'， '导数的几何意义'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%若函数$$f \mid x \mid\ =\frac{\sqrt{3}} {3} x^{3}+l n x-x$$，则曲线$$y=f ~ ( x )$$在点$$( {\bf1}， ~ f ( {\bf1} ) ~ )$$处的切线的倾斜角是（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
5、['在给定区间上恒成立问题'， '导数的四则运算法则'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知$$f ( x )=x+\frac{f^{\prime} ( 1 )} {x}$$，若$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {y} \\ \end{matrix} \right) > a$$在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上恒成立，则$${{a}}$$的范围为（）
A
A.$$(-\infty， ~ \sqrt{2} )$$
B.$$(-\infty， ~ \sqrt{2} ]$$
C.$$[ \sqrt{2}， ~+\infty)$$
D.$$( \sqrt{2}， ~+\infty)$$
6、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性']正确率60.0%若函数 $${{f}}$$( $${{x}}$$$${{)}{=}}$$ $${{x}}$$( $${{a}}$$$${{−}{e}}$$ $${^{x}}$$)在区间$$( 0， 1 )$$上存在最大值，则实数 $${{a}}$$的取值范围是
C
A.$$( 0， 1 )$$
B.$$( 1， e )$$
C.$$( 1， 2 e )$$
D.$$( e， 2 e )$$
7、['导数的四则运算法则'， '导数与单调性'， '导数与极值'， '常见函数的零点'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点的概念'， '函数零点存在定理']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=a x^{3}-3 x^{2}+1$$，若$${{f}{{(}{x}{)}}}$$存在唯$${{—}}$$的零点$${{x}_{0}}$$，且$${{x}_{0}{>}{0}}$$，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$$( 2，+\infty)$$
B.$$( 1，+\infty)$$
C.$$(-\infty，-2 )$$
D.$$(-\infty，-1 )$$
8、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '函数求值']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {\boldsymbol{x}} \\ \end{matrix} \right) ~=f^{\prime} \left( \begin{matrix} {\textbf{-2}} \\ \end{matrix} \right) \ e^{x}-x^{2}$$，则$$f^{\prime} ~ ( \mathrm{\vspace{0. 5 e m} ~-2 ~} ) ~=~ ($$）
D
A.$$\frac{e^{2}} {e^{2}-1}$$
B.$$\frac{4 ( e^{2}-1 )} {e^{2}}$$
C.$$\frac{e^{2}-1} {4 e^{2}}$$
D.$$\frac{4 e^{2}} {e^{2}-1}$$
9、['导数的四则运算法则'， '函数求值']正确率60.0%已知$$f \left( x \right)=e^{x}+2 x f^{\prime} \left( 1 \right)$$，则$${{f}{^{′}}{{(}{0}{)}}}$$等于（）
B
A.$${{1}{+}{2}{e}}$$
B.$${{1}{−}{2}{e}}$$
C.$${{−}{2}{e}}$$
D.$${{2}{e}}$$
正确率80.0%已知$$f ( x )=e^{x}+2 x f^{\prime} ( 1 )$$，则$$f^{\prime} ( 0 )$$等于$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}{+}{2}{e}}$$
B.$${{1}{−}{2}{e}}$$
C.$${{−}{2}{e}}$$
D.$${{2}{e}}$$
1. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{a}{2}x^2 + \ln x$$ 的导数为 $$f'(x) = a x + \frac{1}{x}$$。题目要求对于任意两个正数 $$x_1, x_2$$，有 $$\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} \geq 4$$，即 $$f'(x) \geq 4$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立。
因此，$$a x + \frac{1}{x} \geq 4$$。利用不等式 $$a x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{a}$$（由 AM-GM 不等式），当且仅当 $$a x = \frac{1}{x}$$ 时取等。为了使 $$2\sqrt{a} \geq 4$$，解得 $$a \geq 4$$。
故答案为 A. $$[4, +\infty)$$。
2. 解析：
A 选项：$$(2x^2 + 3)' = 4x$$（错误，常数项导数为 0）。
B 选项：$$\cos \frac{\pi}{3}$$ 是常数，导数为 0（错误）。
C 选项：$$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$（正确）。
D 选项：$$(e^{-x})' = -e^{-x}$$（错误）。
故答案为 C. $$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$。
3. 解析：
A 选项：$$f(x) = x \sin x$$ 的导数为 $$f'(x) = \sin x + x \cos x$$（正确）。
B 选项：$$f(x) = \lg(\sqrt{1+x^2} - x)$$ 是奇函数（正确，验证 $$f(-x) = -f(x)$$）。
C 选项：$$\sin \frac{\pi}{6}$$ 是常数，导数为 0（错误）。
D 选项：直线 $$y = kx + 1 - k$$ 恒过点 $$(1, 1)$$，且该点在圆 $$x^2 + y^2 = 4$$ 内，因此直线与圆相交（正确）。
故答案为 C. $$(\sin \frac{\pi}{6})' = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
4. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}x^3 + \ln x - x$$ 的导数为 $$f'(x) = \sqrt{3}x^2 + \frac{1}{x} - 1$$。
在 $$x = 1$$ 处，导数为 $$f'(1) = \sqrt{3} + 1 - 1 = \sqrt{3}$$。
倾斜角 $$\theta$$ 满足 $$\tan \theta = \sqrt{3}$$，因此 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$。
故答案为 B. $$\frac{\pi}{3}$$。
5. 解析：
函数 $$f(x) = x + \frac{f'(1)}{x}$$ 的导数为 $$f'(x) = 1 - \frac{f'(1)}{x^2}$$。
在 $$x = 1$$ 处，$$f'(1) = 1 - f'(1)$$，解得 $$f'(1) = \frac{1}{2}$$。
因此，$$f(x) = x + \frac{1}{2x}$$。由不等式 $$f(x) > a$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立，求 $$f(x)$$ 的最小值。
利用 AM-GM 不等式，$$x + \frac{1}{2x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{2x}} = \sqrt{2}$$，当且仅当 $$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 时取等。
因此，$$a < \sqrt{2}$$。
故答案为 A. $$(-\infty, \sqrt{2})$$。
6. 解析：
函数 $$f(x) = x(a - e^x)$$ 的导数为 $$f'(x) = a - e^x - x e^x$$。
在区间 $$(0, 1)$$ 上存在最大值，说明导数为 0 的点在 $$(0, 1)$$ 内。
设 $$f'(x) = 0$$，即 $$a = e^x (1 + x)$$。当 $$x \in (0, 1)$$ 时，$$e^x (1 + x) \in (1, 2e)$$。
因此，$$a \in (1, 2e)$$。
故答案为 C. $$(1, 2e)$$。
7. 解析：
函数 $$f(x) = a x^3 - 3 x^2 + 1$$ 的导数为 $$f'(x) = 3 a x^2 - 6 x$$。
唯一零点且 $$x_0 > 0$$ 的条件要求 $$f(x)$$ 在 $$x > 0$$ 上单调或有一个极大值和一个极小值，但仅一个零点。
通过分析导数 $$f'(x) = 0$$ 得 $$x = 0$$ 或 $$x = \frac{2}{a}$$。当 $$a < 0$$ 时，函数在 $$x = \frac{2}{a}$$ 处有极大值，且 $$f(0) = 1$$，$$f\left(\frac{2}{a}\right)$$ 需小于 0 以保证唯一零点。
解得 $$a < -2$$。
故答案为 C. $$(-\infty, -2)$$。
8. 解析：
函数 $$f(x) = f'(-2) e^x - x^2$$ 的导数为 $$f'(x) = f'(-2) e^x - 2 x$$。
在 $$x = -2$$ 处，$$f'(-2) = f'(-2) e^{-2} + 4$$，解得 $$f'(-2) = \frac{4 e^2}{e^2 - 1}$$。
故答案为 D. $$\frac{4 e^2}{e^2 - 1}$$。
9. 解析：
函数 $$f(x) = e^x + 2 x f'(1)$$ 的导数为 $$f'(x) = e^x + 2 f'(1)$$。
在 $$x = 1$$ 处，$$f'(1) = e^1 + 2 f'(1)$$，解得 $$f'(1) = -e$$。
因此，$$f'(0) = e^0 + 2 f'(1) = 1 - 2 e$$。
故答案为 B. $$1 - 2 e$$。
10. 解析：
与第 9 题相同，$$f'(0) = 1 - 2 e$$。
故答案为 B. $$1 - 2 e$$。