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正确率60.0%某铁球在$${{0}^{∘}{C}}$$时，半径为$${{1}{{d}{m}}{，}}$$当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为$${{t}^{∘}{C}}$$时，铁球的半径为$$( 1+a t ) \mathrm{d m}，$$其中$${{a}}$$为常数.则当$${{t}{=}{0}}$$时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{π}{a}}$$
C.$${\frac{4} {3}} \pi a$$
D.$${{4}{π}{a}}$$
2、['简单复合函数的导数'， '基本初等函数的导数']正确率80.0%下列求导运算正确的是（）
D
A.$$\left( \frac{1} {x} \right)^{\prime}=\frac{1} {x^{2}}$$
B.$$( \mathrm{c o s} x )^{\prime}=\mathrm{s i n} x$$
C.$$\left( \mathrm{s i n} \frac{\pi} {3} \right)^{\prime}=\mathrm{c o s} \frac{\pi} {3}$$
D.$$( \operatorname{l o g}_{2} x )^{\prime}=\frac{1} {x \mathrm{l n} 2}$$
3、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%设函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的导函数为$${{f}{^{′}}{{(}{x}{)}}}$$，且在$${{R}}$$上$$2 f \left( x \right)+x f^{\prime} \left( x \right) < 0$$恒成立，则$$f \left( 1 \right)， \， \， 2 0 1 7 f \left( \sqrt{2 0 1 7} \right)， \， \， 2 0 1 8 f \left( \sqrt{2 0 1 8} \right)$$的大小关系为（）
D
A.$$f \left( 1 \right) < 2 0 1 8 f \left( \sqrt{2 0 1 8} \right) < 2 0 1 7 f \left( \sqrt{2 0 1 7} \right)$$
B.$$f \left( 1 \right) < 2 0 1 7 f \left( \sqrt{2 0 1 7} \right) < 2 0 1 8 f \left( \sqrt{2 0 1 8} \right)$$
C.$$2 0 1 8 f \left( \sqrt{2 0 1 8} \right) < f \left( 1 \right) < 2 0 1 7 f \left( \sqrt{2 0 1 7} \right)$$
D.$$2 0 1 8 f \left( \sqrt{2 0 1 8} \right) < 2 0 1 7 f \left( \sqrt{2 0 1 7} \right) < f \left( 1 \right)$$
4、['简单复合函数的导数'， '导数与最值'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%函数$$f \left( \textbf{x} \right) ~=x^{3}-3 x^{2}$$在区间$$[-2， ~ 4 ]$$上的最大值为（）
C
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{2}{0}}$$
5、['简单复合函数的导数'， '利用导数讨论函数单调性'， '函数的单调区间']正确率60.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=x l n x$$的单调递减区间为（）
B
A.$$( \mathrm{~-\infty， ~} \frac{1} {e} )$$
B.$$( 0， ~ \frac{1} {e} )$$
C.$$( \ -\infty， \ e )$$
D.$$( \textit{e}， \textit{}+\infty)$$
6、['简单复合函数的导数'， '归纳推理']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=x^{2} e^{x}， \ f_{1} ( x )=f^{'} ( x )， \ f_{2} ( x )=f_{1}^{'} ( x )， \ f_{3} ( x )=f_{2}^{'} ( x )， \ \ \ldots， \ f_{n} ( x )=f_{n-1}^{'} ( x ).$$，则$$f_{n} ( 0 )=$$
C
A.$${{n}^{2}}$$
B.$$n ( n+1 )$$
C.$$n ( n-1 )$$
D.$${{2}{n}}$$
7、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '函数求值']正确率60.0%若函数$$f ( x )=x^{2}+\frac{1} {x}$$，则$$f^{\prime} (-1 )=\alpha$$）
A
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{3}}$$
8、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '函数求值']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=x+\operatorname{l n} x$$，则$$f^{\prime} ( 1 )$$的值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{2}}$$
9、['简单复合函数的导数'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']正确率60.0%已知$${{e}}$$是自然对数的底数，函数$$f ( x )=\mathrm{e}^{x^{2}-3 x-4}$$的图象在点$$(-1， 1 )$$处的切线方程为（）
D
A.$$x+y=0$$
B.$$x-y+2=0$$
C.$$5 x-y+6=0$$
D.$$5 x+y+4=0$$
10、['简单复合函数的导数'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）']正确率60.0%曲线$$y=\operatorname{l n} 2 x$$在$$x=\frac{1} {2}$$处的切线方程是$${{(}{)}}$$
C
A.$$y=x-\frac{1} {2}$$
B.$$y=x-1$$
C.$$y=2 x-1$$
D.$$y=2 x-\frac{1} {2}$$
第一题：铁球体积对温度的瞬时变化率
体积公式：$$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$，其中$$r = 1 + a t$$
对温度$$t$$求导：$$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi \cdot 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \cdot a$$
当$$t = 0$$时，$$r = 1$$，代入得：$$\frac{dV}{dt} = 4 \pi \cdot 1^2 \cdot a = 4 \pi a$$
答案：D
第二题：求导运算正确性判断
A：$$\left( \frac{1}{x} \right)' = -\frac{1}{x^2}$$，错误
B：$$(\cos x)' = -\sin x$$，错误
C：$$\sin \frac{\pi}{3}$$是常数，导数为0，错误
D：$$(\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$$，正确
答案：D
第三题：函数值大小比较
由$$2f(x) + xf'(x) < 0$$，构造$$g(x) = x^2 f(x)$$
求导：$$g'(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x) = x[2f(x) + xf'(x)] < 0$$（当$$x > 0$$）
故$$g(x)$$在$$(0, +\infty)$$单调递减
比较：$$g(1) = f(1)$$，$$g(\sqrt{2017}) = 2017 f(\sqrt{2017})$$，$$g(\sqrt{2018}) = 2018 f(\sqrt{2018})$$
由于$$1 < \sqrt{2017} < \sqrt{2018}$$，且$$g(x)$$递减，故$$g(1) > g(\sqrt{2017}) > g(\sqrt{2018})$$
即$$f(1) > 2017 f(\sqrt{2017}) > 2018 f(\sqrt{2018})$$
答案：D
第四题：函数最大值
$$f(x) = x^3 - 3x^2$$，求导：$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$
临界点：$$x = 0$$，$$x = 2$$
计算端点及临界点函数值：
$$f(-2) = -8 - 12 = -20$$
$$f(0) = 0$$
$$f(2) = 8 - 12 = -4$$
$$f(4) = 64 - 48 = 16$$
最大值为16
答案：C
第五题：函数单调递减区间
$$f(x) = x \ln x$$，定义域$$(0, +\infty)$$
求导：$$f'(x) = \ln x + 1$$
令$$f'(x) < 0$$：$$\ln x + 1 < 0$$，即$$\ln x < -1$$，$$x < e^{-1} = \frac{1}{e}$$
结合定义域，递减区间为$$(0, \frac{1}{e})$$
答案：B
第六题：高阶导数求值
$$f(x) = x^2 e^x$$，求$$f_n(0)$$
使用莱布尼茨公式：$$(x^2 e^x)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k (x^2)^{(k)} (e^x)^{(n-k)}$$
当$$x = 0$$时，仅$$k = 2$$项非零：$$C_n^2 \cdot 2! \cdot e^x|_{x=0} = \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2 \cdot 1 = n(n-1)$$
答案：C
第七题：导数求值
$$f(x) = x^2 + \frac{1}{x}$$，求导：$$f'(x) = 2x - \frac{1}{x^2}$$
代入$$x = -1$$：$$f'(-1) = 2 \times (-1) - \frac{1}{(-1)^2} = -2 - 1 = -3$$
答案：A
第八题：导数求值
$$f(x) = x + \ln x$$，求导：$$f'(x) = 1 + \frac{1}{x}$$
代入$$x = 1$$：$$f'(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$$
答案：B
第九题：切线方程求解
$$f(x) = e^{x^2 - 3x - 4}$$，点$$(-1, 1)$$
求导：$$f'(x) = e^{x^2 - 3x - 4} \cdot (2x - 3)$$
斜率：$$k = f'(-1) = e^{1 + 3 - 4} \cdot (-2 - 3) = e^0 \times (-5) = -5$$
切线方程：$$y - 1 = -5(x + 1)$$，即$$5x + y + 4 = 0$$
答案：D
第十题：切线方程求解
$$y = \ln 2x$$，在$$x = \frac{1}{2}$$处
求导：$$y' = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$$
斜率：$$k = \frac{1}{1/2} = 2$$
切点：$$(\frac{1}{2}, \ln 1) = (\frac{1}{2}, 0)$$
切线方程：$$y - 0 = 2(x - \frac{1}{2})$$，即$$y = 2x - 1$$
答案：C