简单复合函数的导数-导数的运算知识点考前进阶自测题答案-河北省等高二数学选择必修,平均正确率52.0%

1、['简单复合函数的导数'， '函数的周期性']

正确率40.0%设$${{f}_{0}{(}{x}{)}{=}{s}{i}{n}{2}{x}{+}{c}{o}{s}{2}{x}{，}{{f}_{1}}{(}{x}{)}}$$$${{=}{{f}^{′}_{0}}{(}{x}{)}{，}}$$$${{f}_{2}{(}{x}{)}}$$$${{=}{{f}^{′}_{1}}{(}{x}{)}{，}{…}{，}}$$$$f_{n+1} ( x )$$$${{=}{{f}^{′}_{n}}{(}{x}{)}{，}}$$$${{n}{∈}{N}{，}}$$则$$f_{2 0 2 2} ( x )=$$（）

A.$$2^{2 0 2 1} ( \mathrm{c o s} 2 x-\mathrm{s i n} 2 x )$$

B.$$2^{2 0 2 2} (-\mathrm{s i n} 2 x-\mathrm{c o s} 2 x )$$

C.$$2^{2 0 2 1} ( \mathrm{s i n} 2 x+\mathrm{c o s} 2 x )$$

D.$$2^{2 0 2 2} (-\mathrm{c o s} 2 x+\mathrm{s i n} 2 x )$$

2、['简单复合函数的导数']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{x}{(}{1}{−}{a}{x}{{)}^{2}}{(}{a}{>}{0}{)}{，}}$$且$${{f}^{′}{{(}{2}{)}{=}{5}}{，}}$$则$${{a}{=}}$$（）

A.$${{1}}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{−}{2}}$$

3、['简单复合函数的导数'， '导数与最值'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性']

正确率40.0%函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{x}^{3}}{−}{3}{{x}^{2}}}$$在区间$${{[}{−}{2}{，}{4}{]}}$$上的最大值为（）

A.$${{−}{4}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{1}{6}}$$

D.$${{2}{0}}$$

4、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '由图象（表）求三角函数的解析式'， '简单复合函数的导数']

正确率40.0%函数$$f \left( x \right)=A \operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) \left( A > 0， \omega> 0， | \varphi| < \frac{\pi} {2} \right)$$，已知其导函数$$f^{'} \left( x \right)$$的部分图象如图所示，则$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的函数解析式为（）
$$None$$

A.$$f \left( x \right)=3 \operatorname{s i n} \left( \frac{1} {2} x+\frac{\pi} {4} \right)$$

B.$$f \left( x \right)=6 \operatorname{s i n} \left( \frac{1} {2} x-\frac{\pi} {4} \right)$$

C.$$f \left( x \right)=3 \operatorname{s i n} \left( \frac{1} {2} x-\frac{\pi} {4} \right)$$

D.$$f \left( x \right)=6 \operatorname{s i n} \left( \frac{1} {2} x+\frac{\pi} {4} \right)$$

5、['简单复合函数的导数'， '已知函数值（值域）求自变量或参数']

正确率60.0%已知$${{f}{(}{x}{)}{=}{(}{{2}{0}{1}{8}}{+}{l}{n}{x}{)}{x}}$$，若$${{f}^{′}{(}{{x}_{0}}{)}{=}{{2}{0}{1}{9}}}$$，则$${{x}_{0}{=}{（}}$$）

A.$${{1}}$$

B.$${{l}{n}{2}}$$

C.$${{e}}$$

D.$${{e}^{2}}$$

6、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']

正确率60.0%已知$${{f}{（}{x}{）}{=}{{x}^{2}}{−}{{2}{0}{1}{7}}{x}{{f}^{′}}{（}{0}{）}{−}{1}}$$，则$${{f}{（}{{2}{0}{1}{8}}{）}{=}{（}}$$）

A.$${{2}{0}{1}{6}{×}{{2}{0}{1}{8}}}$$

B.$${{2}{0}{1}{7}{×}{{2}{0}{1}{8}}}$$

C.$${{2}{0}{1}{7}{×}{{2}{0}{1}{9}}}$$

D.$${{2}{0}{1}{8}{×}{{2}{0}{1}{9}}}$$

7、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '利用导数讨论函数单调性']

正确率40.0%定义在$$( 0， \frac{\pi} {2} )$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}{，}{f}{^{′}}{{(}{x}{)}}}$$是它的导函数，且恒有$${{f}{^{′}}{(}{x}{)}{>}{f}{(}{x}{)}{{t}{a}{n}}{x}}$$成立.则有（）

A.$$\sqrt{3} f \left( \frac{\pi} {6} \right) < f \left( \frac{\pi} {3} \right)$$

B.$$\sqrt{3} f \left( \frac{\pi} {6} \right) > 2 \mathrm{c o s} 1 f \left( 1 \right)$$

C.$$2 f \left( \frac{\pi} {4} \right) < \sqrt{6} f \left( \frac{\pi} {6} \right)$$

D.$$\sqrt{2} f \left( \frac{\pi} {4} \right) > f \left( \frac{\pi} {3} \right)$$

8、['简单复合函数的导数'， '基本初等函数的导数']

正确率60.0%若$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{2}{f}{{(}{4}{−}{x}{)}}{+}{f}{^{′}}{{(}{2}{)}}{x}{−}{3}{{l}{n}}{x}}$$，则$${{f}{{(}{2}{)}}}$$等于（）

A.$$3 \operatorname{l n} 2-\frac{3} {4}$$

B.$$- 3 \operatorname{l n} 2+\frac{3} {2}$$

C.$$3 \operatorname{l n} 2-\frac{3} {2}$$

D.$$3 \operatorname{l n} {2}+\frac{3} {2}$$

9、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']

正确率60.0%下列求导运算正确的是（）

A.$$( \operatorname{c o s} x )^{'}=\operatorname{s i n} x$$

B.$${{(}{{3}^{x}}{)}{^{′}}{=}{{3}^{x}}{{l}{o}{g}_{3}}{e}}$$

C.$$( \operatorname{l g} x )^{\prime} \!=\! {\frac{1} {x I n 1 0}}$$

D.$${{(}{{x}^{2}}{{c}{o}{s}}{x}{)}{^{′}}{=}{−}{2}{x}{{s}{i}{n}}{x}}$$

10、['简单复合函数的导数']

正确率60.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{x}{{l}{n}}{x}}$$的导数$${{f}{^{′}}{(}{x}{)}}$$为

A.$${{l}{n}{x}{+}{1}}$$

B.$${{l}{n}{x}{−}{1}}$$

C.$$1+\frac{1} {x}$$

D.$$1-\frac{1} {x}$$

1. 解析：首先计算$$f_0(x) = \sin 2x + \cos 2x$$的导数链：

$$f_1(x) = f_0'(x) = 2\cos 2x - 2\sin 2x = 2(\cos 2x - \sin 2x)$$ $$f_2(x) = f_1'(x) = 2(-2\sin 2x - 2\cos 2x) = -4(\sin 2x + \cos 2x)$$ $$f_3(x) = f_2'(x) = -4(2\cos 2x - 2\sin 2x) = -8(\cos 2x - \sin 2x)$$ $$f_4(x) = f_3'(x) = -8(-2\sin 2x - 2\cos 2x) = 16(\sin 2x + \cos 2x)$$

可见导数每4次循环一次。由于$$2022 \mod 4 = 2$$，故$$f_{2022}(x) = f_2(x) = -4(\sin 2x + \cos 2x)$$，但选项中没有直接匹配的。进一步观察规律，实际应为$$f_n(x) = 2^n (\sin 2x + \cos 2x)$$乘以周期性系数，最终答案为$$2^{2022} (-\sin 2x - \cos 2x)$$，对应选项B。

2. 解析：先求$$f(x) = x(1 - a x)^2$$的导数：

$$f'(x) = (1 - a x)^2 + x \cdot 2(1 - a x)(-a) = (1 - a x)^2 - 2a x(1 - a x)$$ 代入$$x = 2$$： $$f'(2) = (1 - 2a)^2 - 4a(1 - 2a) = 1 - 4a + 4a^2 - 4a + 8a^2 = 12a^2 - 8a + 1 = 5$$ 解得$$12a^2 - 8a - 4 = 0$$，即$$3a^2 - 2a - 1 = 0$$，$$a = 1$$（舍去负值），对应选项A。

3. 解析：求$$f(x) = x^3 - 3x^2$$的极值点：

$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 0$$，得$$x = 0$$或$$x = 2$$。计算端点及极值点函数值： $$f(-2) = -8 - 12 = -20$$ $$f(0) = 0$$ $$f(2) = 8 - 12 = -4$$ $$f(4) = 64 - 48 = 16$$ 最大值为16，对应选项C。

4. 解析：题目缺失图像，无法直接推导。但根据选项形式，假设导函数为余弦函数，则原函数为正弦函数，通过系数和相位匹配可能为选项A或D。需更多信息确认。

5. 解析：求$$f(x) = (2018 + \ln x)x$$的导数：

$$f'(x) = \frac{1}{x} \cdot x + (2018 + \ln x) \cdot 1 = 1 + 2018 + \ln x = 2019 + \ln x$$ 设$$f'(x_0) = 2019$$，则$$\ln x_0 = 0$$，$$x_0 = 1$$，对应选项A。

6. 解析：先求$$f'(0)$$：

$$f'(x) = 2x - 2017 f'(0)$$，代入$$x = 0$$得： $$f'(0) = -2017 f'(0)$$，解得$$f'(0) = 0$$。因此$$f(x) = x^2 - 1$$，$$f(2018) = 2018^2 - 1$$，但选项无直接匹配。可能题目有误，实际应为$$f(x) = x^2 - 2017 x f'(0) - 1$$，若$$f'(0) = 0$$，则$$f(2018) = 2018^2 - 1$$，但选项不匹配。

7. 解析：由$$f'(x) > f(x) \tan x$$，变形为：

$$\frac{f'(x)}{f(x)} > \tan x$$，积分得： $$\ln f(x) > -\ln \cos x + C$$，即$$f(x) > \frac{C}{\cos x}$$。比较函数值： $$\sqrt{3} f(\pi/6) = \sqrt{3} \cdot \frac{C}{\cos \pi/6} = 2C$$， $$f(\pi/3) = \frac{C}{\cos \pi/3} = 2C$$，故$$\sqrt{3} f(\pi/6) = f(\pi/3)$$，选项A不成立。其他选项需类似推导，可能选项D成立。

8. 解析：设$$x = 2$$代入方程：

$$f(2) = 2f(2) + f'(2) \cdot 2 - 3 \ln 2$$，整理得$$-f(2) = 2 f'(2) - 3 \ln 2$$。再对原式求导，设$$x = 2$$： $$f'(2) = -2f'(2) + f'(2) + \frac{3}{2}$$，解得$$f'(2) = \frac{3}{4}$$。代入前式得$$f(2) = 3 \ln 2 - \frac{3}{2}$$，对应选项C。

9. 解析：逐项验证：

A. $$(\cos x)' = -\sin x$$，错误； B. $$(3^x)' = 3^x \ln 3$$，错误； C. $$(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$$，正确； D. $$(x^2 \cos x)' = 2x \cos x - x^2 \sin x$$，错误。故选C。

10. 解析：求$$f(x) = x \ln x$$的导数：

$$f'(x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$，对应选项A。

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