基本初等函数的导数-导数的运算知识点回顾进阶自测题解析-广西壮族自治区等高二数学选择必修,平均正确率50.0%

1. 求$$f(x) = \sin x - \cos x$$在$$x = \frac{\pi}{4}$$处的导数：

首先求导：$$f'(x) = \cos x + \sin x$$。

代入$$x = \frac{\pi}{4}$$：$$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$。

答案为$$A$$。

2. 求函数$$f(x) = 2e f'(e) \ln x - \frac{x}{e}$$的极大值：

首先求$$f'(x)$$：$$f'(x) = \frac{2e f'(e)}{x} - \frac{1}{e}$$。

在$$x = e$$处求导：$$f'(e) = \frac{2e f'(e)}{e} - \frac{1}{e} = 2 f'(e) - \frac{1}{e}$$。

解得$$f'(e) = -\frac{1}{e}$$。

代入$$f(x)$$：$$f(x) = 2e \left(-\frac{1}{e}\right) \ln x - \frac{x}{e} = -2 \ln x - \frac{x}{e}$$。

求极值点：令$$f'(x) = 0$$，即$$\frac{-2}{x} - \frac{1}{e} = 0$$，解得$$x = -2e$$（不在定义域内），故极大值在边界或临界点。

极大值为$$f(1) = -2 \ln 1 - \frac{1}{e} = -\frac{1}{e}$$。

答案为$$B$$。

3. 比较$$f\left(-\frac{\pi}{3}\right)$$与$$f\left(\frac{\pi}{3}\right)$$的大小：

函数为$$f(x) = \cos x + 2x f'\left(\frac{\pi}{6}\right)$$。

求导：$$f'(x) = -\sin x + 2 f'\left(\frac{\pi}{6}\right)$$。

在$$x = \frac{\pi}{6}$$处求导：$$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} + 2 f'\left(\frac{\pi}{6}\right)$$，解得$$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$。

因此$$f(x) = \cos x + x$$。

计算：$$f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{3}$$，$$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{3}$$。

显然$$f\left(-\frac{\pi}{3}\right) < f\left(\frac{\pi}{3}\right)$$。

答案为$$C$$。

4. 判断$$△ABC$$的形状：

函数为$$f(x) = \sqrt{3} f'\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin x + \cos x$$。

求导：$$f'(x) = \sqrt{3} f'\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos x - \sin x$$。

在$$x = \frac{\pi}{6}$$处求导：$$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} f'\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$$，解得$$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1$$。

因此$$f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$。

由$$f(A) = 1$$得$$2 \sin \left(A + \frac{\pi}{6}\right) = 1$$，即$$A = \frac{\pi}{3}$$。

由$$f'(B) = 1$$得$$\sqrt{3} \cos B - \sin B = 1$$，即$$2 \cos \left(B + \frac{\pi}{6}\right) = 1$$，解得$$B = \frac{\pi}{3}$$。

因此$$C = \frac{\pi}{3}$$，三角形为等边三角形。

答案为$$C$$。

5. 求$$a$$的取值范围使$$f(x) = (x^2 + a x) e^x$$在$$(1, +\infty)$$上有极值：

求导：$$f'(x) = (x^2 + (a + 2)x + a) e^x$$。

极值点要求$$f'(x) = 0$$在$$(1, +\infty)$$上有解，即$$x^2 + (a + 2)x + a = 0$$。

判别式$$\Delta = (a + 2)^2 - 4a > 0$$，即$$a^2 + 4 > 0$$（恒成立）。

至少一个根大于1：设$$x_1 > 1$$，由韦达定理$$x_1 + x_2 = -(a + 2)$$，$$x_1 x_2 = a$$。

需满足$$f'(1) < 0$$，即$$1 + (a + 2) + a < 0$$，解得$$a < -\frac{3}{2}$$。

答案为$$B$$。

6. 求$$a$$的取值范围使$$g(x) = \frac{e^x - a x + a}{x^2}$$在$$[2, 3]$$内单调递增：

求导：$$g'(x) = \frac{(e^x - a) x^2 - 2x (e^x - a x + a)}{x^4} = \frac{(x - 2) e^x - a (x^2 - 2x + 2)}{x^3}$$。

单调递增要求$$g'(x) \geq 0$$在$$[2, 3]$$内恒成立，即$$(x - 2) e^x \geq a (x^2 - 2x + 2)$$。

在$$x = 2$$时，$$0 \geq 2a$$，即$$a \leq 0$$。

在$$x = 3$$时，$$e^3 \geq 5a$$，即$$a \leq \frac{e^3}{5}$$。

综合得$$a \leq 0$$。

答案为$$B$$（题目选项有误，实际应为$$a \leq 0$$）。

7. 比较$$f\left(\frac{\pi}{12}\right)$$与$$f\left(\frac{\pi}{3}\right)$$的大小：

函数为$$f(x) = \sin x + 2x f'\left(\frac{\pi}{3}\right)$$。

求导：$$f'(x) = \cos x + 2 f'\left(\frac{\pi}{3}\right)$$。

在$$x = \frac{\pi}{3}$$处求导：$$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} + 2 f'\left(\frac{\pi}{3}\right)$$，解得$$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$$。

因此$$f(x) = \sin x - x$$。

计算：$$f\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{12}$$，$$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}$$。

由于$$\sin x - x$$在$$(0, \frac{\pi}{2})$$上递减，故$$f\left(\frac{\pi}{12}\right) > f\left(\frac{\pi}{3}\right)$$。

答案为$$C$$。

8. 判断关于$$f(x)$$的正确说法：

由$$[x f(x)]' = \ln x$$，得$$x f'(x) + f(x) = \ln x$$。

①验证$$f(x) = \ln x + \frac{2e}{x} - 2$$是否满足：$$x f'(x) + f(x) = x \left(\frac{1}{x} - \frac{2e}{x^2}\right) + \ln x + \frac{2e}{x} - 2 = \ln x$$，成立。

②求$$f'(e)$$：$$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2e}{x^2}$$，$$f'(e) = \frac{1}{e} - \frac{2e}{e^2} = -\frac{1}{e} \neq 0$$，不成立。

③求零点：$$f(x) = 0$$即$$\ln x + \frac{2e}{x} - 2 = 0$$，由单调性可知有唯一零点。

④求最小值：$$f'(x) = 0$$得$$x = 2e$$，$$f(2e) = \ln 2e + 1 - 2 = \ln 2 + 1 - 2 \neq 1$$，不成立。

答案为$$A$$。

9. 求质点$$s = t^2 e^{t - 2}$$在$$t = 2$$的瞬时速度：

速度$$v = s' = 2t e^{t - 2} + t^2 e^{t - 2} = e^{t - 2} (t^2 + 2t)$$。

在$$t = 2$$处：$$v = e^0 (4 + 4) = 8$$。

答案为$$C$$。

10. 求$$f(x) = (x + 1)^2$$的导函数：

求导：$$f'(x) = 2(x + 1) = 2x + 2$$。

答案为$$D$$。