基本初等函数的导数-5.2 导数的运算知识点课后基础自测题解析-陕西省等高二数学选择必修,平均正确率60.0%

1、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=x ( 2 0 2 3+\mathrm{l n} x )，$$若$$f^{\prime} ( x_{0} )=2 0 2 4，$$则$${{x}_{0}}$$等于（）

A.$${{l}{n}{2}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{e}}$$

D.$${{e}^{2}}$$

2、['基本初等函数的导数'， '导数的几何意义']

正确率60.0%曲线$${{y}{=}{{e}^{x}}}$$在点$${{A}}$$处的切线与直线$$x+y+3=0$$垂直，则点$${{A}}$$的坐标为（）

A.$$(-1， \ \mathrm{e}^{-1} )$$

B.$$( 0， \ 1 )$$

C.$$(-1， ~-2 )$$

D.$$( 0， \ 2 )$$

3、['基本初等函数的导数'， '等比数列的性质']

正确率40.0%已知各项均为正数的等比数列$$\{a_{n} \}， \， \， a_{3} \cdot a_{5}=2，$$若$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=x \left( \begin{matrix} {x-a_{1}} \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} {x-a_{2}} \\ \end{matrix} \right) ) \ldots\left( \begin{matrix} {x-a_{7}} \\ \end{matrix} \right)$$，则$$f^{\cdot} \textsubscript{( 0 )}=\textsubscript{(}$$）

A.$${{8}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{−}{8}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{1}{2}{8}}$$

D.$${{−}{{1}{2}{8}}}$$

4、['基本初等函数的导数'， '利用基本不等式求最值'， '导数中的函数构造问题']

正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足：$$\frac{f^{\prime} ( x )-f ( x )} {e^{x}}=x$$，且$$f ( 0 )=\frac{1} {2}$$，则$$\frac{f ( x )} {| x | \cdot e^{x}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{0}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{2}}$$

6、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']

正确率60.0%已知$$f ( x )=x ( a+l n x )， \， \， \， f^{\prime} ( 1 )=2 0 1 9$$，则$${{a}{=}{(}{)}}$$

A.$${{−}{{2}{0}{1}{8}}}$$

B.$${{−}{{2}{0}{1}{7}}}$$

C.$${{2}{0}{1}{7}}$$

D.$${{2}{0}{1}{8}}$$

7、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']

正确率60.0%知函数$$f ( x )=\left( x-a \right)^{2}$$，且$$f^{'} ( 1 )=2$$，则$${{a}{=}{（}}$$）

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{0}}$$

8、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']

正确率60.0%下列求导过程：$$\oplus\ ( \frac{1} {x} )^{\prime}=-\frac{1} {x^{2}}， \ \oplus\b( ; \ \S( x^{\partial} )^{\prime}=\partial x^{\partial-1} \b( \Clfloor\frac{1} {\Cerspace} \operatorname{l o g}_{a} x )^{\prime}=\frac{1} {x \operatorname{l n} a}$$，其中正确的个数是（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

9、['基本初等函数的导数']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=3 x^{2}$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{x}{=}{3}}$$处的导数为$${{(}{)}}$$

A.$${{6}}$$

B.$${{1}{2}}$$

C.$${{1}{8}}$$

D.$${{2}{7}}$$

10、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']

正确率60.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{c o s} x \left( \begin{matrix} {\operatorname{s i n} x+1} \\ \end{matrix} \right)$$的导数是（）

A.$$\operatorname{c o s} 2 x+\operatorname{s i n} x$$

B.$$\operatorname{c o s} 2 x-\operatorname{s i n} x$$

C.$$\operatorname{c o s} 2 x+\operatorname{c o s} x$$

D.$$\operatorname{c o s} 2 x-\operatorname{c o s} x$$

1. 解析：求函数 $$f(x) = x(2023 + \ln x)$$ 的导数，并解方程 $$f'(x_0) = 2024$$。

步骤1：求导 $$f'(x) = \frac{d}{dx}[x(2023 + \ln x)] = 2023 + \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = 2024 + \ln x$$。

步骤2：设 $$f'(x_0) = 2024$$，则 $$2024 + \ln x_0 = 2024$$，解得 $$\ln x_0 = 0$$，即 $$x_0 = e^0 = 1$$。

答案：B。

2. 解析：求曲线 $$y = e^x$$ 在某点处的切线与直线 $$x + y + 3 = 0$$ 垂直的点 $$A$$ 的坐标。

步骤1：直线 $$x + y + 3 = 0$$ 的斜率为 $$-1$$，因此切线的斜率应为 $$1$$（垂直条件）。

步骤2：曲线 $$y = e^x$$ 的导数为 $$y' = e^x$$，设切点为 $$A(x_0, e^{x_0})$$，则 $$e^{x_0} = 1$$，解得 $$x_0 = 0$$。

步骤3：点 $$A$$ 的坐标为 $$(0, e^0) = (0, 1)$$。

答案：B。

3. 解析：已知等比数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_3 \cdot a_5 = 2$$，求函数 $$f(x) = x(x - a_1)(x - a_2) \cdots (x - a_7)$$ 在 $$x = 0$$ 处的导数 $$f'(0)$$。

步骤1：等比数列的通项为 $$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$，由 $$a_3 \cdot a_5 = a_1^2 r^6 = 2$$，得 $$a_1 r^3 = \sqrt{2}$$。

步骤2：$$f(x)$$ 展开后，$$f'(0)$$ 为 $$(x - a_1)(x - a_2) \cdots (x - a_7)$$ 在 $$x = 0$$ 处的值，即 $$(-a_1)(-a_2) \cdots (-a_7) = -a_1 a_2 \cdots a_7$$。

步骤3：等比数列的乘积 $$a_1 a_2 \cdots a_7 = a_1^7 r^{21} = (a_1 r^3)^7 = (\sqrt{2})^7 = 8\sqrt{2}$$，因此 $$f'(0) = -8\sqrt{2}$$。

答案：B。

4. 解析：定义在 $$R$$ 上的函数 $$f(x)$$ 满足 $$\frac{f'(x) - f(x)}{e^x} = x$$，且 $$f(0) = \frac{1}{2}$$，求 $$\frac{f(x)}{|x| \cdot e^x}$$ 的最小值。

步骤1：将微分方程变形为 $$f'(x) - f(x) = x e^x$$，其解为 $$f(x) = e^x \left( \frac{1}{2} + \int x e^{-x} e^x dx \right) = e^x \left( \frac{1}{2} + \frac{x^2}{2} \right)$$。

步骤2：函数化简为 $$\frac{f(x)}{|x| e^x} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{x^2}{2}}{|x|} = \frac{1 + x^2}{2|x|}$$。

步骤3：求最小值，设 $$x > 0$$，则函数为 $$\frac{1 + x^2}{2x}$$，求导得极值点为 $$x = 1$$，最小值为 $$1$$。

答案：C。

6. 解析：已知 $$f(x) = x(a + \ln x)$$，且 $$f'(1) = 2019$$，求 $$a$$ 的值。

步骤1：求导 $$f'(x) = a + \ln x + 1$$。

步骤2：代入 $$x = 1$$，得 $$f'(1) = a + 0 + 1 = 2019$$，解得 $$a = 2018$$。

答案：D。

7. 解析：已知函数 $$f(x) = (x - a)^2$$，且 $$f'(1) = 2$$，求 $$a$$ 的值。

步骤1：求导 $$f'(x) = 2(x - a)$$。

步骤2：代入 $$x = 1$$，得 $$2(1 - a) = 2$$，解得 $$a = 0$$。

答案：D。

8. 解析：判断求导过程的正确性。

步骤1：$$(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$$ 正确。

步骤2：$$(x^\partial)' = \partial x^{\partial - 1}$$ 正确（假设 $$\partial$$ 为常数）。

步骤3：$$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$$ 正确。

因此有 3 个正确的求导过程。

答案：C。

9. 解析：求函数 $$f(x) = 3x^2$$ 在 $$x = 3$$ 处的导数。

步骤1：求导 $$f'(x) = 6x$$。

步骤2：代入 $$x = 3$$，得 $$f'(3) = 18$$。

答案：C。

10. 解析：求函数 $$f(x) = \cos x (\sin x + 1)$$ 的导数。

步骤1：使用乘积法则，$$f'(x) = -\sin x (\sin x + 1) + \cos x \cdot \cos x = -\sin^2 x - \sin x + \cos^2 x$$。

步骤2：化简为 $$\cos^2 x - \sin^2 x - \sin x = \cos 2x - \sin x$$。

答案：B。

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