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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=2^{x}+\operatorname{l o g}_{2} x，$$则$$f^{\prime} ( 1 )=$$（）
B
A.$${{3}}$$
B.$$2 \mathrm{l n} 2+\frac{1} {\mathrm{l n} 2}$$
C.$$2 \mathrm{l n} 2+1$$
D.$$2+\frac{1} {\mathrm{l n} 2}$$
2、['基本初等函数的导数']正确率60.0%下列导数公式正确的是（）
D
A.$$( \， x^{n} \， ) \，^{\prime}=n x^{n}$$
B.$$( \frac{1} {x} ) ~^{\prime}=\frac{1} {x^{2}}$$
C.$$( \operatorname{s i n} x )^{\prime}=-\operatorname{c o s} x$$
D.$$( \ e^{x} ) \rq{}=e^{x}$$
3、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '归纳推理']正确率40.0%已知函数$$f \left( \textbf{x} \right) ~=\operatorname{s i n} x+e^{x}$$，今$$f_{1} \ ( x ) \ =f^{\prime} \ ( x ) \， \ f_{2} \ ( x ) \ =f_{1}^{\prime} \ ( x ) \， \ f_{3} \ ( x ) \ =f_{2}^{\prime} \ ( x ) \， \ \ldots， \ f_{n+1} \ ( x ) \ =f_{n}^{\prime} \ ( x ) \ \， \ \ ( n \in N^{*} )$$则
）
B
A.$$\operatorname{s i n} x+e^{x}$$
B.$$\operatorname{c o s} x+e^{x}$$
C.$$- \operatorname{s i n} x+e^{x}$$
D.$$- \operatorname{c o s} x+e^{x}$$
4、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '函数求值']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l n} x+x^{2} f^{\prime} ( a )$$，且$$f ( 1 )=-1$$则实数$${{a}}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$$- \frac{1} {2}$$或$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
5、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '函数求值']正确率60.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导数为$$f^{\prime} ( x )$$，且$$f ( x )=x^{2}+2 x f^{\prime} ( 1 )$$，则$$f^{\prime} ( 2 )=( ~ ~ )$$
A
A.$${{0}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
6、['导数的概念'， '基本初等函数的导数'， '瞬时变化率'， '导数的几何意义']正确率60.0%已知某质点的位移$${{s}}$$与移动时间$${{t}}$$满足$$s=t^{2} \cdot e^{t-2}$$，则质点在$${{t}{=}{2}}$$的瞬时速度是（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{6}}$$
7、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']正确率60.0%函数$$y=e^{x} l n x$$的导数是（）
A
A.$$e^{x} \operatorname{l n} x+\frac{e^{x}} {x}$$
B.$$\frac{e^{x} \mathrm{l n} x} {x}$$
C.$$\frac{e^{x}} {x}$$
D.$$e^{x} l n x$$
8、['基本初等函数的导数'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）']正确率60.0%已知直线$${{y}{=}{k}{x}}$$与曲线$${{y}{=}{{l}{n}}{x}}$$相切，则$${{k}}$$的值是（）
C
A.$${{e}}$$
B.$${{−}{e}}$$
C.$$\frac{1} {e}$$
D.$$- \frac{1} {\mathrm{e}}$$
9、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '导数与极值']正确率60.0%函数$$f ( x )=x^{3}-x^{2}+2$$的极大值为
A
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{5 0} {2 7}$$
D.$${{0}}$$
10、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']正确率60.0%下列导数运算正确的是$${{(}{)}}$$
B
A.$$\left( 2^{x} \right)^{'}=x \cdot2^{x-1}$$
B.$$( \frac{\operatorname{s i n} x} {\operatorname{c o s} x} )^{'}=\frac{1} {\operatorname{c o s}^{2} x}$$
C.$$( \operatorname{l o g}_{3} x )^{'}=\frac{1} {x}$$
D.$$( x^{-2} )^{'}=x^{-3}$$
1. 求函数 $$f(x) = 2^x + \log_2 x$$ 在 $$x=1$$ 处的导数 $$f'(1)$$。
解析：
首先对 $$f(x)$$ 求导：
$$f'(x) = \frac{d}{dx} (2^x) + \frac{d}{dx} (\log_2 x)$$
$$2^x$$ 的导数为 $$2^x \ln 2$$，$$\log_2 x$$ 的导数为 $$\frac{1}{x \ln 2}$$。
因此：
$$f'(x) = 2^x \ln 2 + \frac{1}{x \ln 2}$$
将 $$x=1$$ 代入：
$$f'(1) = 2^1 \ln 2 + \frac{1}{1 \ln 2} = 2 \ln 2 + \frac{1}{\ln 2}$$
正确答案是 B。
2. 判断导数公式的正确性。
解析：
A. $$(x^n)' = n x^{n-1}$$（错误，少减了1）
B. $$\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$$（错误，符号错误）
C. $$(\sin x)' = \cos x$$（错误，应为正）
D. $$(e^x)' = e^x$$（正确）
正确答案是 D。
3. 已知 $$f(x) = \sin x + e^x$$，求 $$f_{2023}(x)$$。
解析：
观察高阶导数的周期性：
$$f_1(x) = \cos x + e^x$$
$$f_2(x) = -\sin x + e^x$$
$$f_3(x) = -\cos x + e^x$$
$$f_4(x) = \sin x + e^x$$
发现每4次导数循环一次。因为 $$2023 \mod 4 = 3$$，所以 $$f_{2023}(x) = f_3(x) = -\cos x + e^x$$。
正确答案是 D。
4. 已知 $$f(x) = \ln x + x^2 f'(a)$$，且 $$f(1) = -1$$，求实数 $$a$$。
解析：
将 $$x=1$$ 代入：
$$f(1) = \ln 1 + 1^2 f'(a) = 0 + f'(a) = -1$$
所以 $$f'(a) = -1$$。
对 $$f(x)$$ 求导：
$$f'(x) = \frac{1}{x} + 2x f'(a)$$
将 $$x=a$$ 代入：
$$f'(a) = \frac{1}{a} + 2a f'(a)$$
代入 $$f'(a) = -1$$：
$$-1 = \frac{1}{a} + 2a (-1)$$
整理得：
$$2a^2 - a - 1 = 0$$
解得 $$a = 1$$ 或 $$a = -\frac{1}{2}$$。
但 $$f(x)$$ 定义域要求 $$x > 0$$，所以 $$a = 1$$。
正确答案是 C。
5. 已知 $$f(x) = x^2 + 2x f'(1)$$，求 $$f'(2)$$。
解析：
对 $$f(x)$$ 求导：
$$f'(x) = 2x + 2 f'(1)$$
将 $$x=1$$ 代入：
$$f'(1) = 2(1) + 2 f'(1)$$
解得 $$f'(1) = -2$$。
因此：
$$f'(x) = 2x - 4$$
将 $$x=2$$ 代入：
$$f'(2) = 4 - 4 = 0$$。
正确答案是 A。
6. 已知位移 $$s = t^2 e^{t-2}$$，求 $$t=2$$ 时的瞬时速度。
解析：
速度是位移的导数：
$$v = \frac{ds}{dt} = 2t e^{t-2} + t^2 e^{t-2} = e^{t-2} (t^2 + 2t)$$
将 $$t=2$$ 代入：
$$v = e^{0} (4 + 4) = 8$$。
正确答案是 C。
7. 求函数 $$y = e^x \ln x$$ 的导数。
解析：
使用乘积法则：
$$y' = e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x \left(\ln x + \frac{1}{x}\right)$$
正确答案是 A。
8. 直线 $$y = kx$$ 与曲线 $$y = \ln x$$ 相切，求 $$k$$。
解析：
设切点为 $$(x_0, \ln x_0)$$，则斜率相等：
$$k = \frac{1}{x_0}$$
且直线经过切点：
$$\ln x_0 = k x_0 = \frac{1}{x_0} \cdot x_0 = 1$$
所以 $$x_0 = e$$，$$k = \frac{1}{e}$$。
正确答案是 C。
9. 求函数 $$f(x) = x^3 - x^2 + 2$$ 的极大值。
解析：
求导：
$$f'(x) = 3x^2 - 2x$$
令导数为零：
$$3x^2 - 2x = 0$$
解得 $$x = 0$$ 或 $$x = \frac{2}{3}$$。
二阶导数：
$$f''(x) = 6x - 2$$
在 $$x=0$$ 处，$$f''(0) = -2 < 0$$，是极大值点，极大值为 $$f(0) = 2$$。
在 $$x=\frac{2}{3}$$ 处，$$f''\left(\frac{2}{3}\right) = 2 > 0$$，是极小值点。
正确答案是 A。
10. 判断导数运算的正确性。
解析：
A. $$(2^x)' = 2^x \ln 2$$（错误）
B. $$\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \sec^2 x$$（正确）
C. $$(\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$$（错误）
D. $$(x^{-2})' = -2x^{-3}$$（错误）
正确答案是 B。