格物学
第五章 一元函数的导数及其应用5.2 导数的运算
简单复合函数的导数-5.2 导数的运算知识点课后基础单选题自测题解析-内蒙古自治区等高二数学选择必修,平均正确率62.0%
2025-05-31
1、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则']正确率80.0%已知函数$$f ( x )=( 1-x ) \mathrm{e}^{x}， ~ f^{\prime} ( x )$$为$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数，则$$f^{\prime} ( 0 )=$$（）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
2、['简单复合函数的导数'， '二项式系数和与各项的系数和']正确率40.0%若$$( 3 x-1 )^{5}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\dots$$$${{+}{{a}_{5}}{{x}^{5}}{，}}$$则$$a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+4 a_{4}+5 a_{5}=$$（）
D
A.$${{8}{0}}$$
B.$${{1}{2}{0}}$$
C.$${{1}{8}{0}}$$
D.$${{2}{4}{0}}$$
3、['简单复合函数的导数'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']正确率60.0%已知直线$$y=x+1$$与曲线$$y=\operatorname{l n} ( x+a )$$相切，则$${{a}}$$的值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{2}}$$
4、['简单复合函数的导数'， '导数与单调性'， '函数单调性与奇偶性综合应用']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} x-x$$，则不等式$$f ( x+2 )+f ( 1-2 x ) < 0$$的解集是（）
D
A.$$(-\infty，-\frac{1} {3} )$$
B.$$(-\frac{1} {3}，+\infty)$$
C.$$( 3，+\infty)$$
D.$$(-\infty， 3 )$$
6、['两点间的斜率公式'， '简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '导数的几何意义'， '直线的斜率'， '直线的倾斜角']正确率60.0%已知曲线$$y=-\frac{1} {2} x^{2}-2$$上一点$$P ( 1，-\frac{5} {2} )$$，则在点$${{P}}$$处的切线的倾斜角为（）
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{1}{3}{5}^{∘}}$$
D.$${{1}{6}{5}^{∘}}$$
7、['函数奇偶性的应用'， '简单复合函数的导数']正确率60.0%设$${{a}{∈}{R}{，}}$$函数$$f ( x )=\mathrm{e}^{x}+a \cdot\mathrm{e}^{-x}$$的导函数是$$f^{\prime} ( x )，$$若$$f^{\prime} ( x )$$是奇函数，则$${{a}}$$的值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{−}{1}}$$
8、['简单复合函数的导数'， '导数与最值'， '利用导数求参数的取值范围'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数的几何意义']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=x^{2}+$$的图象与直线$${{y}{=}{b}}$$有两个不同交点，则$${{b}}$$的取值范围是（）
D
A.$$(-\infty， 0 )$$
B.$$( 0.+\infty)$$
C.$$(-\infty， 1 )$$
D.$$( 1，+\infty)$$
9、['简单复合函数的导数'， '利用导数讨论函数单调性']正确率60.0%函数$$y=x \operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x$$在下面哪个区间内是增函数$${{(}{)}}$$
C
A.$$( \frac{\pi} {2}， \frac{3 \pi} {2} )$$
B.$$( \pi， 2 \pi)$$
C.$$( \frac{3 \pi} {2}， \frac{5 \pi} {2} )$$
D.$$( 2 \pi， 3 \pi)$$
10、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']正确率60.0%下列求导运算正确的是（）
B
A.$$\left( x+\frac{1} {x} \right)^{\prime}=1+\frac{1} {x^{2}}$$
B.$$( \operatorname{l o g}_{2} x )^{\prime}=\frac{1} {x \mathrm{l n} 2}$$
C.$$( ( 2 x+3 )^{2} )^{\prime}=2 ( 2 x+3 )$$
D.$$( \mathrm{e}^{2 x} )^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x}$$
1. 解析：首先求导函数 $$f^{\prime}(x)$$。
$$f(x) = (1 - x)e^x$$
使用乘积法则求导：
$$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(1 - x) \cdot e^x + (1 - x) \cdot \frac{d}{dx}e^x = -e^x + (1 - x)e^x = ( -1 + 1 - x )e^x = -x e^x$$
将 $$x = 0$$ 代入：
$$f^{\prime}(0) = -0 \cdot e^0 = 0$$
正确答案是 B。
2. 解析：对等式两边求导数。
$$(3x - 1)^5 = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_5 x^5$$
两边对 $$x$$ 求导：
$$5 \cdot 3 (3x - 1)^4 = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + \dots + 5 a_5 x^4$$
将 $$x = 1$$ 代入：
$$15 \cdot (3 \cdot 1 - 1)^4 = a_1 + 2 a_2 + 3 a_3 + 4 a_4 + 5 a_5$$
计算得：
$$15 \cdot 2^4 = 15 \cdot 16 = 240$$
正确答案是 D。
3. 解析：设切点为 $$(x_0, y_0)$$。
由于直线 $$y = x + 1$$ 与曲线 $$y = \ln(x + a)$$ 相切，满足：
1. 函数值相等：$$x_0 + 1 = \ln(x_0 + a)$$
2. 斜率相等：$$1 = \frac{1}{x_0 + a}$$，即 $$x_0 + a = 1$$
代入函数值条件：
$$x_0 + 1 = \ln(1) = 0$$，解得 $$x_0 = -1$$
代入 $$x_0 + a = 1$$，得 $$a = 2$$
正确答案是 B。
4. 解析：首先分析函数 $$f(x) = \sin x - x$$ 的性质。
求导得 $$f^{\prime}(x) = \cos x - 1 \leq 0$$，说明 $$f(x)$$ 单调递减。
不等式 $$f(x + 2) + f(1 - 2x) < 0$$ 可变形为：
$$f(x + 2) < -f(1 - 2x) = f(2x - 1)$$（因为 $$f(x)$$ 是奇函数）
由于 $$f(x)$$ 单调递减，等价于 $$x + 2 > 2x - 1$$，解得 $$x < 3$$
正确答案是 D。
6. 解析：求曲线 $$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2$$ 在点 $$P(1, -\frac{5}{2})$$ 处的导数。
导数为 $$y^{\prime} = -x$$，在 $$x = 1$$ 处斜率为 $$-1$$。
倾斜角 $$\theta$$ 满足 $$\tan \theta = -1$$，即 $$\theta = 135^\circ$$
正确答案是 C。
7. 解析：首先求导函数 $$f^{\prime}(x)$$。
$$f(x) = e^x + a e^{-x}$$
导数为 $$f^{\prime}(x) = e^x - a e^{-x}$$
因为 $$f^{\prime}(x)$$ 是奇函数，满足 $$f^{\prime}(0) = 0$$：
$$f^{\prime}(0) = e^0 - a e^0 = 1 - a = 0$$，解得 $$a = 1$$
正确答案是 A。
8. 解析：题目描述不完整，假设函数为 $$f(x) = x^2 + 1$$。
直线 $$y = b$$ 与 $$f(x)$$ 有两个交点，即方程 $$x^2 + 1 = b$$ 有两个解。
解得 $$x = \pm \sqrt{b - 1}$$，要求 $$b - 1 > 0$$，即 $$b > 1$$
正确答案是 D。
9. 解析：求函数 $$y = x \sin x + \cos x$$ 的导数。
$$y^{\prime} = \sin x + x \cos x - \sin x = x \cos x$$
在区间 $$(\pi, 2\pi)$$ 内，$$x > 0$$ 且 $$\cos x > 0$$（因为 $$\pi < x < \frac{3\pi}{2}$$ 时 $$\cos x < 0$$，但 $$\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$$ 时 $$\cos x > 0$$，整体不满足）。
重新分析选项：在 $$(2\pi, 3\pi)$$ 内，$$x > 0$$ 且 $$\cos x > 0$$（$$2\pi < x < \frac{5\pi}{2}$$ 时 $$\cos x > 0$$），因此 $$y^{\prime} > 0$$，函数递增。
正确答案是 D。
10. 解析：逐项验证求导结果。
A 项：$$\left(x + \frac{1}{x}\right)^{\prime} = 1 - \frac{1}{x^2}$$，错误。
B 项：$$(\log_2 x)^{\prime} = \frac{1}{x \ln 2}$$，正确。
C 项：$$((2x + 3)^2)^{\prime} = 2(2x + 3) \cdot 2 = 4(2x + 3)$$，错误。
D 项：$$(e^{2x})^{\prime} = 2e^{2x}$$，错误。
正确答案是 B。
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