基本初等函数的导数-5.2 导数的运算知识点回顾基础自测题答案-河北省等高二数学选择必修,平均正确率60.0%

1、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']

正确率40.0%下列求导运算正确的是（）

A.$$\left( x+\frac{1} {x} \right)^{\prime}=1+\frac{1} {x^{2}}$$

B.$$[ \operatorname{l n} ( 4 x ) ]^{\prime}=\frac{1} {x}$$

C.$$\left( \frac{x^{2}} {\mathrm{e}^{x}} \right)^{\prime}=\frac{2 x+x^{2}} {\mathrm{e}^{x}}$$

D.$$( x^{2} \mathrm{c o s} x )^{\prime}=2 x \mathrm{c o s} x+x^{2} \mathrm{s i n} x$$

2、['基本初等函数的导数']

正确率80.0%已知函数$$f ( x )=3 x^{2}+1，$$则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{x}{=}{1}}$$处的导数为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{6}}$$

3、['基本初等函数的导数']

正确率80.0%函数$$f ( x )=a x^{a+b}$$的导数为$$f^{\prime} ( x )=6 x^{2}，$$则$${{a}{+}{b}}$$的值为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{−}{1}}$$

4、['基本初等函数的导数']

正确率60.0%下列导数公式正确的是（）

A.$$( \， x^{n} \， ) \，^{\prime}=n x^{n}$$

B.$$( \frac{1} {x} ) ~^{\prime}=\frac{1} {x^{2}}$$

C.$$( \operatorname{s i n} x )^{\prime}=-\operatorname{c o s} x$$

D.$$( \ e^{x} ) \rq{}=e^{x}$$

5、['基本初等函数的导数'， '特殊角的三角函数值'， '不等式比较大小']

正确率40.0%若函数$$f^{\left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)}=\operatorname{c o s} x+2 x f^{\prime} \ ( \frac{\pi} {6} )$$，则$$f ~ ( ~-~ \frac{\pi} {3} )$$与$$f ( \frac{\pi} {3} )$$的大小关系是（）

A.$$f ~ ( ~-\frac{\pi} {3} ) ~ ) ~=f ~ ( \frac{\pi} {3} )$$

B.$$f ( \textit{-} \frac{\pi} {3} ) \geq f ( \textit{\frac{\pi} {3}} )$$

C.$$f ~ ( ~-\frac{\pi} {3} ) ~ < f ~ ( \frac{\pi} {3} )$$

D.不确定

6、['简单复合函数的导数'， '基本初等函数的导数'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']

正确率60.0%抛物线$$y=\frac{1} {2} x^{2}$$在点$$\left( 1， \frac{1} {2} \right)$$处的切线方程为

A.$$2 x+2 y+1=0$$

B.$$2 x+2 y-1=0$$

C.$$2 x-2 y-1=0$$

D.$$2 x-2 y-3=0$$

7、['基本初等函数的导数']

正确率80.0%设$${{y}{=}{{e}^{3}}}$$，则$${{y}^{′}}$$等于（）

A.$${{3}{{e}^{2}}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{e}^{2}}$$

D.$${{e}^{3}}$$

8、['基本初等函数的导数'， '导数与最值']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \， x \right) \， \，=\， \， \left( \， x-m \right) \， \，^{2}+\， \， \left( \， a e^{x}-3 m \right) \， \，^{2} \， \， \left( \， m \in R \right)$$的最小值为$$\frac{9} {1 0}，$$则正实数$${{a}{=}{（}}$$）

A.$${{3}}$$

B.$$3 e^{-2}$$

C.$${{3}{{e}^{2}}}$$

D.$${{3}}$$或$$3 e^{-2}$$

9、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']

正确率60.0%设函数$$g ( x )=\mathrm{e}^{x}+\operatorname{s i n} x+3$$，则$$g^{\prime} \left( 0 \right)+g \left( 0 \right)=$$（）

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{8}}$$

10、['基本初等函数的导数']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=2 x f^{\prime} ( 2 )-2 \operatorname{l n} x$$，则$$f^{\prime} ( 2 )$$的值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{−}{2}}$$

1. 解析：

选项A：$$(x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2}$$，错误。

选项B：$$[\ln(4x)]' = \frac{1}{x}$$，正确。

选项C：使用商的导数法则，$$(\frac{x^2}{e^x})' = \frac{2x e^x - x^2 e^x}{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x}$$，错误。

选项D：$$(x^2 \cos x)' = 2x \cos x - x^2 \sin x$$，错误。

正确答案：B

2. 解析：

函数$$f(x) = 3x^2 + 1$$的导数为$$f'(x) = 6x$$。

在$$x=1$$处，$$f'(1) = 6 \times 1 = 6$$。

正确答案：D

3. 解析：

函数$$f(x) = a x^{a+b}$$的导数为$$f'(x) = a(a+b) x^{a+b-1}$$。

由题意，$$a(a+b) x^{a+b-1} = 6x^2$$，故$$a+b-1=2$$且$$a(a+b)=6$$。

解得$$a+b=3$$，且$$a=2$$或$$a=3$$。

验证得$$a=2$$，$$b=1$$，故$$a+b=3$$。

正确答案：A

4. 解析：

选项A：$$(x^n)' = n x^{n-1}$$，错误。

选项B：$$(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$$，错误。

选项C：$$(\sin x)' = \cos x$$，错误。

选项D：$$(e^x)' = e^x$$，正确。

正确答案：D

5. 解析：

函数$$f(x) = \cos x + 2x f'(\frac{\pi}{6})$$。

求导得$$f'(x) = -\sin x + 2 f'(\frac{\pi}{6})$$。

代入$$x = \frac{\pi}{6}$$，解得$$f'(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} + 2 f'(\frac{\pi}{6})$$，即$$f'(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$$。

因此$$f(x) = \cos x + x$$。

计算得$$f(-\frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{3}$$，$$f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{3}$$。

显然$$f(-\frac{\pi}{3}) < f(\frac{\pi}{3})$$。

正确答案：C

6. 解析：

抛物线$$y = \frac{1}{2}x^2$$的导数为$$y' = x$$。

在点$$(1, \frac{1}{2})$$处，斜率为$$y'(1) = 1$$。

切线方程为$$y - \frac{1}{2} = 1 \times (x - 1)$$，即$$2x - 2y - 1 = 0$$。

正确答案：C

7. 解析：

$$y = e^3$$为常数，导数为$$y' = 0$$。

正确答案：B

8. 解析：

函数$$f(x) = (x - m)^2 + (a e^x - 3m)^2$$的最小值为$$\frac{9}{10}$$。

设$$x - m = t$$，则$$f(x) = t^2 + (a e^{t + m} - 3m)^2$$。

最小值为$$\frac{9}{10}$$，故存在$$t$$使得$$t = 0$$且$$a e^m - 3m = \pm \frac{3}{\sqrt{10}}$$。

同时，导数为零时$$t + a e^{t + m}(a e^{t + m} - 3m) = 0$$，代入$$t = 0$$得$$a e^m (a e^m - 3m) = 0$$。

解得$$a e^m = 3m$$或$$a e^m = 0$$（舍去）。

结合$$a e^m - 3m = \pm \frac{3}{\sqrt{10}}$$，解得$$a = 3$$或$$a = 3 e^{-2}$$。

正确答案：D

9. 解析：

函数$$g(x) = e^x + \sin x + 3$$的导数为$$g'(x) = e^x + \cos x$$。

计算得$$g(0) = 1 + 0 + 3 = 4$$，$$g'(0) = 1 + 1 = 2$$。

因此$$g'(0) + g(0) = 2 + 4 = 6$$。

正确答案：C

10. 解析：

函数$$f(x) = 2x f'(2) - 2 \ln x$$的导数为$$f'(x) = 2 f'(2) - \frac{2}{x}$$。

代入$$x = 2$$，得$$f'(2) = 2 f'(2) - 1$$，解得$$f'(2) = 1$$。

正确答案：A

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