.jpg)
正确率60.0%已知$$f ( x )=x^{2}-x f^{\prime} ( 0 )-1，$$则$${{f}{(}{2}{)}}$$的值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$
2、['导数的四则运算法则'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']正确率40.0%若函数$$f ( x )=a \mathrm{c o s} x$$与$$g ( x )=x^{2}+b x+3$$的图像在交点$$( 0， \ m )$$处有公切线，则$$a+b+m=$$（）
A
A.$${{6}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{2}}$$
3、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\mathrm{e}^{x-1}+x \mathrm{l n} x，$$则$$f^{\prime} ( 1 )=$$（）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{e}}$$
D.$${{2}}$$
4、['导数的四则运算法则'， '二项式系数的性质'， '二项式定理的应用']正确率40.0%若$$x ( 3 x-1 )^{5}=a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{4}+a_{5} x^{5}+a_{6} x^{6}$$，则$$a_{2}+2 a_{3}+3 a_{4}+4 a_{5}+5 a_{6}=( \mathbf{\psi} )$$
A
A.$${{2}{4}{0}}$$
B.$${{1}{6}{0}}$$
C.$${{1}{2}{0}}$$
D.$${{8}{0}}$$
5、['导数的四则运算法则'， '函数求值'， '函数的对称性']正确率40.0%设函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的导函数为$$f^{\prime} \textsubscript{\textit{( x )}}， \ y^{\prime} \textsubscript{\textit{( x )}}$$的导函数为$$f^{\prime\prime} \textsubscript{( x )}$$，若$$f^{\prime\prime} \ ( \ x_{0} ) \ =0$$，则$$M \emph{\Pi} ( \emph{x}_{0}， \emph{y}_{0} )$$是$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \left( \begin{matrix} {a \neq0} \\ \end{matrix} \right)$$的对称中心，已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=x^{3}-3 x^{2}-1$$，则可求得$$f \; ( \; {\frac{1} {1 0 0}} ) \;+f \; ( \; {\frac{2} {1 0 0}} ) \;+\ldots+f \; ( \; {\frac{1 9 8} {1 0 0}} ) \;+f \; ( \; {\frac{1 9 9} {1 0 0}} ) \;=\; 0$$）
D
A.$${{1}{9}{9}}$$
B.$${{−}{{1}{9}{9}}}$$
C.$${{5}{9}{7}}$$
D.$${{−}{{5}{9}{7}}}$$
6、['利用诱导公式化简'， '函数的新定义问题'， '导数的四则运算法则'， '给值求角'， '半角公式'， '特殊角的三角函数值'， '函数零点的值或范围问题']正确率19.999999999999996%给出定义：设$$f^{\prime} ( x )$$是函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的导函数，$$f^{\prime\prime} ( x )$$是函数$$f^{\prime} ( x )$$的导函数，若$$f^{\prime\prime} ( x )$$有零点$${{x}_{0}}$$，则称点$$( x_{0}， f ( x_{0} ) )$$为原函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的$${{“}}$$拐点$${{”}}$$。已知函数$$f \left( x \right)=\frac{\operatorname{s i n} x} {\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x}$$的拐点是$$M ( x_{0}， f ( x_{0} ) )$$，则点$${{M}{(}{)}}$$
D
A.在直线$$y=-3 x$$上
B.在直线$${{y}{=}{3}{x}}$$上
C.在直线$$y=\frac{1} {3}$$上
D.在直线$$y=\frac{1} {2}$$上
7、['导数的四则运算法则'， '函数的对称性']正确率40.0%已知：定义在$${{R}}$$上的可导函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象关于点$$( \textbf{a}， \textbf{f} ( \textbf{a} ) )$$对称的充要条件是导函数$$f^{\prime} \textsubscript{\textit{( x )}}$$的图象关于直线$${{x}{=}{a}}$$对称．若函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{3}-3 x^{2}+5 x$$，且$$f \left( \begin{matrix} {m} \\ \end{matrix} \right) ~=1， ~ f \left( \begin{matrix} {n} \\ \end{matrix} \right) ~=5$$，则$$m+n=($$）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{6}}$$
8、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '函数求值']正确率60.0%设函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的导函数为$${{f}{^{′}}{{(}{x}{)}}}$$，且$$f \left( x \right)=x^{2}+2 x f^{\prime} \left( 1 \right)$$，则$${{f}{^{′}}{{(}{0}{)}}{=}}$$（）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{4}}$$
D.$${{−}{2}}$$
9、['导数的四则运算法则']正确率60.0%svg异常
C
A.$${{2}}$$
B.svg异常
C.$${{3}}$$
D.svg异常
10、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）']正确率60.0%若曲线$$y=\frac{1} {x}$$在点$${{P}}$$处的切线斜率为$${{−}{4}}$$，则点$${{P}}$$的坐标是$${{(}{)}}$$
B
A.$$( \frac{1} {2}， 2 )$$
B.$$( \frac{1} {2}， 2 )$$或$$(-\frac{1} {2}，-2 )$$
C.$$(-\frac{1} {2}，-2 )$$
D.$$( {\frac{1} {2}}，-2 )$$
1. 已知$$f(x)=x^{2}-x f^{\prime}(0)-1$$，则$$f(2)$$的值为（ ）。
解：首先求$$f^{\prime}(x)$$：
$$f^{\prime}(x)=2x-f^{\prime}(0)$$
令$$x=0$$，得：
$$f^{\prime}(0)=-f^{\prime}(0) \Rightarrow f^{\prime}(0)=0$$
因此，$$f(x)=x^{2}-1$$，所以$$f(2)=4-1=3$$
答案：C
2. 若函数$$f(x)=a \cos x$$与$$g(x)=x^{2}+b x+3$$的图像在交点$$(0, m)$$处有公切线，则$$a+b+m=$$（ ）。
解：由题意：
1. 交点条件：$$f(0)=g(0) \Rightarrow a=3$$
2. 公切线条件：$$f^{\prime}(0)=g^{\prime}(0)$$
$$f^{\prime}(x)=-a \sin x \Rightarrow f^{\prime}(0)=0$$
$$g^{\prime}(x)=2x+b \Rightarrow g^{\prime}(0)=b$$
因此$$b=0$$，且$$m=f(0)=3$$
所以$$a+b+m=3+0+3=6$$
答案：A
3. 已知函数$$f(x)=e^{x-1}+x \ln x$$，则$$f^{\prime}(1)=$$（ ）。
解：求导：
$$f^{\prime}(x)=e^{x-1}+\ln x+1$$
代入$$x=1$$：
$$f^{\prime}(1)=e^{0}+0+1=2$$
答案：D
4. 若$$x(3x-1)^{5}=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{6}x^{6}$$，则$$a_{2}+2a_{3}+3a_{4}+4a_{5}+5a_{6}=$$（ ）。
解：对等式两边求导：
$$(3x-1)^{5}+15x(3x-1)^{4}=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+\cdots+6a_{6}x^{5}$$
再求导一次：
$$30(3x-1)^{4}+15(3x-1)^{4}+180x(3x-1)^{3}=2a_{2}+6a_{3}x+\cdots+30a_{6}x^{4}$$
令$$x=0$$：
$$30(-1)^{4}+15(-1)^{4}=2a_{2} \Rightarrow 45=2a_{2} \Rightarrow a_{2}=22.5$$
（注：原题可能有误，重新计算）
更简单的方法是直接展开$$x(3x-1)^{5}$$，计算系数：
$$a_{2}=C(5,1)\times3^{1}\times(-1)^{4}=15$$
$$a_{3}=C(5,2)\times3^{2}\times(-1)^{3}=-90$$
$$a_{4}=C(5,3)\times3^{3}\times(-1)^{2}=270$$
$$a_{5}=C(5,4)\times3^{4}\times(-1)^{1}=-405$$
$$a_{6}=C(5,5)\times3^{5}\times(-1)^{0}=243$$
因此：
$$a_{2}+2a_{3}+3a_{4}+4a_{5}+5a_{6}=15-180+810-1620+1215=240$$
答案：A
5. 设函数$$f(x)$$的对称中心为$$(x_{0},f(x_{0}))$$，已知$$f(x)=x^{3}-3x^{2}-1$$，求$$f\left(\frac{1}{100}\right)+\cdots+f\left(\frac{199}{100}\right)$$。
解：首先求二阶导数：
$$f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x$$
$$f^{\prime\prime}(x)=6x-6$$
令$$f^{\prime\prime}(x_{0})=0 \Rightarrow x_{0}=1$$
因此对称中心为$$(1,f(1))=(1,-3)$$
由于对称性，$$f(1+h)+f(1-h)=-6$$
将区间$$\left[\frac{1}{100},\frac{199}{100}\right]$$分为99对对称点：
$$\sum_{k=1}^{99}\left[f\left(1-\frac{k}{100}\right)+f\left(1+\frac{k}{100}\right)\right]=99\times(-6)=-594$$
再加上$$f(1)=-3$$，总和为$$-597$$
答案：D
6. 函数$$f(x)=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$$的拐点$$M(x_{0},f(x_{0}))$$在（ ）。
解：首先求二阶导数：
$$f^{\prime}(x)=\frac{\cos x(\sin x+\cos x)-\sin x(\cos x-\sin x)}{(\sin x+\cos x)^{2}}=\frac{1}{(\sin x+\cos x)^{2}}$$
$$f^{\prime\prime}(x)=-\frac{2(\cos x-\sin x)}{(\sin x+\cos x)^{3}}$$
令$$f^{\prime\prime}(x_{0})=0 \Rightarrow \cos x_{0}-\sin x_{0}=0 \Rightarrow x_{0}=\frac{\pi}{4}+k\pi$$
取$$x_{0}=\frac{\pi}{4}$$，则$$f(x_{0})=\frac{1}{2}$$
因此拐点在直线$$y=\frac{1}{2}$$上
答案：D
7. 函数$$f(x)=x^{3}-3x^{2}+5x$$满足$$f(m)=1$$，$$f(n)=5$$，求$$m+n$$。
解：求导：
$$f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x+5$$
$$f^{\prime\prime}(x)=6x-6$$
对称中心在$$x=1$$（$$f^{\prime\prime}(1)=0$$）
由于$$f^{\prime}(x)$$关于$$x=1$$对称，$$f(x)$$关于$$(1,f(1))$$对称
$$f(1)=3$$，因此$$m+n=2$$
答案：B
8. 函数$$f(x)=x^{2}+2x f^{\prime}(1)$$，求$$f^{\prime}(0)$$。
解：求导：
$$f^{\prime}(x)=2x+2f^{\prime}(1)$$
令$$x=1$$：
$$f^{\prime}(1)=2+2f^{\prime}(1) \Rightarrow f^{\prime}(1)=-2$$
因此$$f^{\prime}(0)=2f^{\prime}(1)=-4$$
答案：C
10. 曲线$$y=\frac{1}{x}$$在点$$P$$处的切线斜率为$$-4$$，求$$P$$的坐标。
解：求导：
$$y^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}=-4 \Rightarrow x^{2}=\frac{1}{4} \Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}$$
对应$$y=2$$或$$y=-2$$
因此$$P$$为$$\left(\frac{1}{2},2\right)$$或$$\left(-\frac{1}{2},-2\right)$$
答案：B