基本初等函数的导数-5.2 导数的运算知识点教师选题基础单选题自测题解析-四川省等高二数学选择必修,平均正确率68.0%

1、['基本初等函数的导数']

正确率60.0%下列求导运算正确的是（）

A.$${{(}{{s}{i}{n}}{x}{{)}^{′}}{=}{−}{{c}{o}{s}}{x}}$$

B.$$\left( \frac{1} {x} \right)^{\prime}=\operatorname{l n} x$$

C.$$( a^{x} )^{\prime}=x a^{x-1}$$(其中$${{a}{>}{0}{，}{a}{≠}{1}{)}}$$

D.$$( \sqrt{x} )^{\prime}=\frac{1} {2 \sqrt{x}}$$

2、['基本初等函数的导数']

正确率80.0%已知$${{f}{(}{x}{)}{=}{\sqrt {x}}{，}}$$则$${{f}^{′}{(}{8}{)}}$$等于（）

A.$${{0}}$$

B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$$\frac{\sqrt{2}} {8}$$

D.$${{−}{1}}$$

3、['基本初等函数的导数'， '瞬时变化率']

正确率80.0%质点沿直线运动的路程$${{s}}$$与时间$${{t}}$$的关系是$${{s}{=}{^{5}\sqrt {t}}{，}}$$则质点在$${{t}{=}{4}}$$时的瞬时速度为（）

A.$$\frac{1} {2^{5} \sqrt{2^{3}}}$$

B.$$\frac{1} {1 0 \sqrt{2^{3}}}$$

C.$$\frac{2} {5} \sqrt{2^{3}}$$

D.$$\frac{1} {1 0} \sqrt{2^{3}}$$

5、['基本初等函数的导数'， '变化率'， '建立函数模型解决实际问题']

正确率60.0%日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将$${{1}}$$吨水净化到纯净度为$${{x}{%}}$$时所需费用(单位：元)为$$c ( x )=\frac{5 2 8 4} {1 0 0-x} ( 8 0 < x < 1 0 0 )$$.当净化到$${{9}{5}{%}}$$时所需净化费用的瞬时变化率为（）元$${{/}}$$吨．

A.$${{5}{2}{8}{4}}$$

B.$${{1}{0}{5}{6}{.}{8}}$$

C.$${{2}{1}{1}{.}{3}{6}}$$

D.$${{1}{0}{5}{.}{6}{8}}$$

6、['基本初等函数的导数'， '函数求值'， '函数求解析式']

正确率60.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{2}{x}{{f}^{′}}{（}{1}{）}{+}{l}{n}{x}}$$，则$${{f}{（}{e}{）}{=}{（}}$$）

A.$${{−}{1}}$$

B.$$\frac{1} {e}$$

C.$${{−}{2}{e}{+}{1}}$$

D.$${{−}{2}{e}}$$

7、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '函数求值']

正确率60.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{2}{{s}{i}{n}}{x}{{c}{o}{s}}{x}}$$的导函数为$${{f}{^{′}}{(}{x}{)}}$$，则$$f^{\prime} ( \frac{\pi} {3} )$$的值为（）

A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${\sqrt {3}}$$

8、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']

正确率60.0%函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的导函数$${{f}^{′}{（}{x}{）}}$$，满足关系式$${{f}{（}{x}{）}{=}{{x}^{2}}{+}{2}{x}{{f}^{′}}{（}{2}{）}{−}{l}{n}{x}}$$，则$${{f}^{′}{（}{2}{）}}$$的值为（）

A.$$- \frac{7} {2}$$

B.$$\frac{7} {2}$$

C.$$- \frac{9} {2}$$

D.$$\frac{9} {2}$$

9、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']

正确率60.0%下列求导运算正确的是（）

A.$$( \operatorname{c o s} x )^{'}=\operatorname{s i n} x$$

B.$${{(}{{3}^{x}}{)}{^{′}}{=}{{3}^{x}}{{l}{o}{g}_{3}}{e}}$$

C.$$( \operatorname{l g} x )^{\prime} \!=\! {\frac{1} {x I n 1 0}}$$

D.$${{(}{{x}^{2}}{{c}{o}{s}}{x}{)}{^{′}}{=}{−}{2}{x}{{s}{i}{n}}{x}}$$

10、['基本初等函数的导数']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{2}{x}{f}{^{′}}{(}{2}{)}{−}{2}{{l}{n}}{x}}$$，则$${{f}{^{′}}{(}{2}{)}}$$的值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{−}{2}}$$

1. 解析：

选项A错误，因为$$( \sin x )' = \cos x$$，不是$$-\cos x$$。

选项B错误，因为$$\left( \frac{1}{x} \right)' = -\frac{1}{x^2}$$，不是$$\ln x$$。

选项C错误，因为$$( a^x )' = a^x \ln a$$，不是$$x a^{x-1}$$。

选项D正确，因为$$( \sqrt{x} )' = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$$。

正确答案：D。

2. 解析：

已知$$f(x) = \sqrt{x}$$，则$$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$$。

代入$$x=8$$，得$$f'(8) = \frac{1}{2 \sqrt{8}} = \frac{1}{4 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8}$$。

正确答案：C。

3. 解析：

路程函数$$s = \sqrt[5]{t} = t^{1/5}$$，瞬时速度为导数$$s' = \frac{1}{5} t^{-4/5}$$。

代入$$t=4$$，得$$s'(4) = \frac{1}{5} \cdot 4^{-4/5} = \frac{1}{5 \cdot 2^{8/5}} = \frac{1}{10 \sqrt[5]{2^3}}$$。

正确答案：B。

5. 解析：

费用函数$$c(x) = \frac{5284}{100-x}$$，求导得$$c'(x) = \frac{5284}{(100-x)^2}$$。

代入$$x=95$$，得$$c'(95) = \frac{5284}{25} = 211.36$$。

正确答案：C。

6. 解析：

函数$$f(x) = 2x f'(1) + \ln x$$，求导得$$f'(x) = 2 f'(1) + \frac{1}{x}$$。

代入$$x=1$$，得$$f'(1) = 2 f'(1) + 1$$，解得$$f'(1) = -1$$。

因此$$f(x) = -2x + \ln x$$，代入$$x=e$$，得$$f(e) = -2e + 1$$。

正确答案：C。

7. 解析：

函数$$f(x) = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$$，求导得$$f'(x) = 2 \cos 2x$$。

代入$$x=\frac{\pi}{3}$$，得$$f'\left( \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -1$$。

正确答案：C。

8. 解析：

函数$$f(x) = x^2 + 2x f'(2) - \ln x$$，求导得$$f'(x) = 2x + 2 f'(2) - \frac{1}{x}$$。

代入$$x=2$$，得$$f'(2) = 4 + 2 f'(2) - \frac{1}{2}$$，解得$$f'(2) = -\frac{7}{2}$$。

正确答案：A。

9. 解析：

选项A错误，因为$$( \cos x )' = -\sin x$$。

选项B错误，因为$$( 3^x )' = 3^x \ln 3$$，不是$$3^x \log_3 e$$。

选项C正确，因为$$( \lg x )' = \frac{1}{x \ln 10}$$。

选项D错误，因为$$( x^2 \cos x )' = 2x \cos x - x^2 \sin x$$，不是$$-2x \sin x$$。

正确答案：C。

10. 解析：

函数$$f(x) = 2x f'(2) - 2 \ln x$$，求导得$$f'(x) = 2 f'(2) - \frac{2}{x}$$。

代入$$x=2$$，得$$f'(2) = 2 f'(2) - 1$$，解得$$f'(2) = 1$$。

正确答案：A。

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