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正确率80.0%某质点的位移$${{y}{(}}$$单位：$${{m}{)}}$$与时间$${{t}{(}}$$单位：$${{s}{)}}$$满足函数关系式$$y=a t^{4}+\operatorname{l n} ( t+1 )$$，其中$${{a}}$$为常数$${{.}}$$若当$${{t}{=}{1}}$$时，该质点的瞬时速度为$${{1}{m}{/}{s}}$$，则当$${{t}{=}{2}}$$时，该质点的瞬时速度为$${{(}{)}}$$
A.$${\frac{1 1} {3}} m / s$$
B.$${{3}{m}{/}{s}}$$
C.$${\frac{1 3} {3}} m / s$$
D.$${\frac{1 4} {3}} m / s$$
2、['简单复合函数的导数']正确率60.0%已知某函数的导数为$$y^{\prime}=\frac{1} {2 ( x-1 )}，$$则这个函数可能是（）
A
A.$${{y}{=}{{l}{n}}{\sqrt {{1}{−}{x}}}}$$
B.$$y=\operatorname{l n} \frac{1} {\sqrt{1-x}}$$
C.$$y=\operatorname{l n} ( 1-x )$$
D.$$y=\operatorname{l n} \frac{1} {x-1}$$
3、['正切曲线的对称中心'， '正切（型）函数的周期性'， '简单复合函数的导数'， '函数的对称性'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%设函数$$f \left( x \right)=e^{x} \operatorname{s i n} \pi x$$，则方程$$x f \left( x \right)=f^{\prime} \left( x \right)$$在区间$$(-2 0 1 4， 2 0 1 6 )$$上的所有实根之和为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}{0}{1}{5}}$$
B.$${{4}{0}{3}{0}}$$
C.$${{2}{0}{1}{6}}$$
D.$${{4}{0}{3}{2}}$$
4、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '简单复合函数的导数'， '三角函数的图象变换']正确率40.0%将函数$$y=\operatorname{s i n} ~ ( \ x-\frac{\pi} {3} )$$的图象按以下次序变换：$${①}$$纵坐标不变，横坐标变为原来的$${{2}}$$倍，$${②}$$向右平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位，得到函数$$y=f ~ ( x )$$的图象，则函数$$y=\frac{f ( x )} {f^{\prime} ( x )}$$在区间$$[ 0， ~ 2 \pi]$$上的对称中心为（）
B
A.$$( \pi， \ 0 ) \， \ ( \ 2 \pi， \ 0 )$$
B.$$( \pi， \ 0 )$$
C.$$( \ 0， \ 0 ) \， \， \，， \quad( \pi， \ 0 )$$
D.$$( \ 0， \ 0 ) \， \ \ ( \pi， \ 0 ) \， \ \ ( \ 2 \pi， \ 0 )$$
5、['简单复合函数的导数'， '导数与单调性'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数解决函数零点问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '命题的真假性判断'， '函数零点个数的判定'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {} & {e^{x}， x < 0} \\ {} & {4 x^{3}-6 x^{2}+1， x \geq0} \\ \end{array} \right.$$，其中$${{e}}$$为自然对数的底数，则对于函数$$g ( x )=f^{2} ( x )-f ( x )+a$$有下列四个命题：
命题$${{1}}$$存在实数$${{a}}$$使得函数$${{g}{(}{x}{)}}$$没有零点
命题$${{2}}$$存在实数$${{a}}$$使得函数$${{g}{(}{x}{)}}$$有$${{2}}$$个零点
命题$${{3}}$$存在实数$${{a}}$$使得函数$${{g}{(}{x}{)}}$$有$${{4}}$$个零点
命题$${{4}}$$存在实数$${{a}}$$使得函数$${{g}{(}{x}{)}}$$有$${{6}}$$个零点
其中，正确的命题的个数是
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['函数的新定义问题'， '简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '函数零点个数的判定']正确率40.0%若函数$$y=f ( x )$$存在$$n-1 ( n \in N^{*} )$$个极值点，则称$$y=f ( x )$$为$${{n}}$$折函数，例如$$f ( x )=x^{2}$$为$${{2}}$$折函数，已知函数$$f ( x )=( x+1 ) e^{x}-x ( x+2 )^{2}$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}}$$折函数
B.$${{3}}$$折函数
C.$${{4}}$$折函数
D.$${{5}}$$折函数
7、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']正确率60.0%若$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) ~=2+x \operatorname{c o s} 2 x$$，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的导函数
（）
D
A.$$1-2 \operatorname{s i n} 2 x$$
B.$$x-\operatorname{s i n} 2 x$$
C.$$\operatorname{s i n} 2 x+x \operatorname{c o s} 2 x$$
D.$$\operatorname{c o s} 2 x-2 x \operatorname{s i n} 2 x$$
8、['简单复合函数的导数']正确率60.0%函数$$y=f \left( e^{3 x} \right)$$，则导数$$y^{\prime}=( \textsubscript{\Lambda} )$$
D
A.$$3 f^{\prime} \left( e^{3 x} \right)$$
B.$$3 e^{3 x} \， f^{\prime} \， ( x )$$
C.$$e^{3 x} \， f^{\prime} \， \left( e^{3 x} \right)$$
D.$$3 e^{3 x} \， f^{\prime} \， \left( e^{3 x} \right)$$
9、['简单复合函数的导数'， '基本初等函数的导数']正确率60.0%函数$$y=\operatorname{c o s} ~ ( \ 2 x-1 )$$的导数为（）
A
A.$$y^{\prime}=-2 \operatorname{s i n} ~ ( 2 x-1 )$$
B.$$y^{\prime}=-2 \operatorname{c o s} ~ ( 2 x-1 )$$
C.$$y^{\prime}=-\operatorname{s i n} ~ ( 2 x-1 )$$
D.$$y^{\prime}=-\operatorname{c o s} ~ ( 2 x-1 )$$
10、['简单复合函数的导数'， '基本初等函数的导数']正确率60.0%下列结论正确的是个数为$${{(}{)}}$$
$$\oplus y=\operatorname{l n} 2$$则$$y^{\prime}=\frac{1} {2}$$
$${②{y}{=}{\sqrt {x}}}$$则$$y^{\prime}=\frac{1} {2 \sqrt{x}}$$
$$\textcircled{3} y=e^{-x}$$则$$y^{\prime}=-e^{-x}$$
$$\oplus y=\operatorname{c o s} x$$则$${{y}{^{′}{=}}{{s}{i}{n}}{x}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
1. 首先求导函数：$$y' = 4a t^3 + \frac{1}{t+1}$$。当 $$t=1$$ 时，$$y' = 4a \cdot 1^3 + \frac{1}{2} = 1$$，解得 $$a = \frac{1}{8}$$。再代入 $$t=2$$，得 $$y' = 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot 8 + \frac{1}{3} = 4 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}$$。故选 C。
2. 对选项求导验证：A 的导数为 $$y' = \frac{-1}{2(1-x)}$$，不符合；B 的导数为 $$y' = \frac{1}{2(1-x)}$$，符合题意；C 的导数为 $$y' = \frac{-1}{1-x}$$，不符合；D 的导数为 $$y' = \frac{-1}{x-1}$$，不符合。故选 B。
3. 求导得 $$f'(x) = e^x \sin \pi x + \pi e^x \cos \pi x$$。方程 $$x f(x) = f'(x)$$ 化简为 $$x = \frac{f'(x)}{f(x)} = 1 + \pi \cot \pi x$$，即 $$x - 1 = \pi \cot \pi x$$。函数 $$y = x - 1$$ 与 $$y = \pi \cot \pi x$$ 在每个周期 $$(k, k+1)$$ 内有一个交点，区间 $$(-2014, 2016)$$ 包含 4030 个周期，故有 4030 个实根，其和为 4030 个对称中心的和，即 $$2015 \times 2 = 4030$$。故选 B。
4. 变换步骤：① 横坐标变为 2 倍得 $$y = \sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)$$；② 向右平移 $$\frac{\pi}{3}$$ 得 $$f(x) = \sin \left( \frac{x - \frac{\pi}{3}}{2} - \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{2} \right) = -\cos \frac{x}{2}$$。求导得 $$f'(x) = \frac{1}{2} \sin \frac{x}{2}$$。函数 $$y = \frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{-2 \cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = -2 \cot \frac{x}{2}$$。对称中心满足 $$\cot \frac{x}{2} = 0$$，即 $$x = \pi + 2k\pi$$，在 $$[0, 2\pi]$$ 上为 $$(\pi, 0)$$。故选 B。
5. 分析函数 $$g(x) = f^2(x) - f(x) + a$$ 的零点情况：
- 当 $$a > \frac{1}{4}$$ 时，无零点；
- 当 $$a = \frac{1}{4}$$ 时，有 2 个零点；
- 当 $$0 < a < \frac{1}{4}$$ 时，有 4 个零点；
- 当 $$a = 0$$ 时，有 3 个零点；
- 当 $$a < 0$$ 时，有 2 个零点。
因此命题 1、2、3 正确，命题 4 错误。故选 C。
6. 求导 $$f'(x) = e^x (x+2) - (x+2)(3x+2) = (x+2)(e^x - 3x - 2)$$。令 $$f'(x) = 0$$，得 $$x = -2$$ 或 $$e^x = 3x + 2$$。通过图像分析，$$e^x = 3x + 2$$ 有 2 个解，故共有 3 个极值点，为 4 折函数。故选 C。
7. 设 $$u = \begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix}$$，则 $$f(u) = 2 + x \cos 2x$$。对 $$x$$ 求导得 $$f'(u) \cdot \frac{du}{dx} = \cos 2x - 2x \sin 2x$$。由于 $$\frac{du}{dx} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$，故 $$f'(x) = \cos 2x - 2x \sin 2x$$。故选 D。
8. 使用链式法则，$$y' = f'(e^{3x}) \cdot \frac{d}{dx} e^{3x} = 3 e^{3x} f'(e^{3x})$$。故选 D。
9. 直接求导得 $$y' = -2 \sin (2x - 1)$$。故选 A。
10. 验证各结论：
① $$y = \ln 2$$ 为常数，导数为 0，错误；
② $$y = \sqrt{x}$$ 的导数为 $$\frac{1}{2\sqrt{x}}$$，正确；
③ $$y = e^{-x}$$ 的导数为 $$-e^{-x}$$，正确；
④ $$y = \cos x$$ 的导数为 $$-\sin x$$，错误。
故正确的有 2 个。故选 B。