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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=f^{\prime} \left( \frac{\pi} {4} \right) \operatorname{c o s} 2 x+\operatorname{s i n} x.$$则$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$x=\frac{\pi} {4}$$处的导数为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{2}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
2、['基本初等函数的导数'， '导数与最值']正确率60.0%已知$${{g}{(}{x}{)}}$$是$$y=\frac{1} {x} ( x > 0 )$$的导函数，则函数$${{g}{(}{x}{)}}$$在$$( 0， ~+\infty)$$上（）
A
A.单调递增
B.单调递减
C.有最大值
D.有最小值
3、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '导数与单调性'， '导数与极值'， '对数方程与对数不等式的解法'， '利用导数讨论函数单调性'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '命题的真假性判断']正确率19.999999999999996%设函数$$f^{\textsc{} {(}} x \roheadrightarrow\textit{)}=x l n x， \textit{g}^{\textsc{(}} x \roge\roge\frac{f^{\prime} ( x )} {x}$$，给定下列命题
$${①}$$不等式$$g \ ( \ x ) \ > 0$$的解集为$$( \frac{1} {e}， \enspace+\infty)$$；
$${②}$$函数$${{g}{（}{x}{）}}$$在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\boldmath~ e ~} )$$单调递增，在$$( \textit{e}， \textit{}+\infty)$$单调递减；
$$\odot x \in[ \frac{1} {e}， \， 1 ]$$时，总有$$f \ ( \textbf{x} ) \leq g \ ( \textbf{x} )$$恒成立；
$${④}$$若函数$$F ~ ( \textbf{x} ) ~=f ~ ( \textbf{x} ) ~-a x^{2}$$有两个极值点，则实数
．
则正确的命题的个数为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
4、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '函数求值']正确率60.0%已知$$f \left( x \right)=x^{2}+2 x \cdot f^{\prime} \left( 1 \right)$$，则$${{f}{^{′}}{{(}{0}{)}}}$$等于（）
D
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{4}}$$
5、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '函数求值']正确率40.0%若$$f ( x )=\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x$$，则$$f^{\prime} ( \frac{\pi} {4} )=$$
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{−}{1}}$$
6、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']正确率60.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=x^{2}+x l n x$$的导函数是$$f^{\prime} \textsubscript{\textit{( x )}}$$，则$$f^{\prime} \setminus{\bf1} )$$的值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$$2+l n 2$$
7、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']正确率60.0%已知$$f ( x )=x^{2}+3 x f^{\prime} ( 1 )$$，则$$f^{\prime} ( 2 )=$$（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
8、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']正确率60.0%已知$$f ( x )=~ x^{2}+~ 3 x ~ f^{\prime} ( 1 )$$，则$$f^{\prime} ( 2 )=( ~ ~ )$$
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
9、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%若函数$$f ( x )=( \operatorname{c o s} x-\operatorname{s i n} x ) e^{x}， \， \， \， x \in( 0， 1 0 \pi)$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的所有极大值点之和与所有极小值点之和的差为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{−}{5}{π}}$$
B.$${{5}{π}}$$
C.$${{5}{5}{π}}$$
D.$${{−}{{5}{5}}{π}}$$
10、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']正确率60.0%下列求导式子正确的是$${{(}{)}}$$
C
A.$$( \frac{1} {\operatorname{l n} x} )^{\prime}=x$$
B.$$( \operatorname{s i n} 2 x )^{\prime}=2 \mathrm{c o s}^{2} x-1$$
C.$$( x-\frac{1} {x} )^{\prime}=1+\frac{1} {x^{2}}$$
D.$$( e^{-x} )^{\prime}=e^{-x}$$
1. 解析：
已知函数 $$f(x) = f'\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos 2x + \sin x$$，求 $$f(x)$$ 在 $$x = \frac{\pi}{4}$$ 处的导数。
首先，对 $$f(x)$$ 求导：
$$f'(x) = -2 f'\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin 2x + \cos x$$
将 $$x = \frac{\pi}{4}$$ 代入上式：
$$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2 f'\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)$$
化简得：
$$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2 f'\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
解得：
$$3 f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{6}$$
因此，正确答案是 A。
2. 解析：
已知 $$g(x)$$ 是 $$y = \frac{1}{x}$$（$$x > 0$$）的导函数，即 $$g(x) = -\frac{1}{x^2}$$。
对 $$g(x)$$ 求导：
$$g'(x) = \frac{2}{x^3} > 0$$ 对于 $$x > 0$$。
因此，$$g(x)$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增。
正确答案是 A。
3. 解析：
给定函数 $$f(x) = x \ln x$$ 和 $$g(x) = \frac{f'(x)}{x} = \frac{1 + \ln x}{x}$$。
分析各命题：
① 解不等式 $$g(x) > 0$$：
$$\frac{1 + \ln x}{x} > 0$$，由于 $$x > 0$$，只需 $$1 + \ln x > 0$$，即 $$x > \frac{1}{e}$$。
解集为 $$\left(\frac{1}{e}, +\infty\right)$$，命题正确。
② 分析 $$g(x)$$ 的单调性：
对 $$g(x)$$ 求导：
$$g'(x) = \frac{-\ln x}{x^2}$$。
当 $$0 < x < e$$ 时，$$g'(x) > 0$$，函数单调递增；
当 $$x > e$$ 时，$$g'(x) < 0$$，函数单调递减。
命题正确。
③ 比较 $$f(x)$$ 和 $$g(x)$$ 在 $$\left[\frac{1}{e}, 1\right]$$ 上的大小：
设 $$h(x) = f(x) - g(x) = x \ln x - \frac{1 + \ln x}{x}$$。
计算 $$h(1) = 0 - 1 = -1 < 0$$，$$h\left(\frac{1}{e}\right) = -\frac{1}{e} - 0 = -\frac{1}{e} < 0$$。
因此，$$f(x) \leq g(x)$$ 在 $$\left[\frac{1}{e}, 1\right]$$ 上成立，命题正确。
④ 函数 $$F(x) = f(x) - a x^2$$ 有两个极值点：
求导得 $$F'(x) = 1 + \ln x - 2a x$$。
设 $$F'(x) = 0$$ 有两个解，需满足 $$a \in \left(0, \frac{1}{2e}\right)$$。
命题未给出具体范围，但题目描述不完整，暂不判断。
综上，正确的命题有 3 个，答案是 C。
4. 解析：
已知 $$f(x) = x^2 + 2x \cdot f'(1)$$，求 $$f'(0)$$。
对 $$f(x)$$ 求导：
$$f'(x) = 2x + 2 f'(1)$$。
将 $$x = 1$$ 代入：
$$f'(1) = 2 \cdot 1 + 2 f'(1)$$，解得 $$f'(1) = -2$$。
因此，$$f'(x) = 2x - 4$$。
$$f'(0) = -4$$。
正确答案是 D。
5. 解析：
函数 $$f(x) = \sin x + \cos x$$，求 $$f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$$。
求导得：
$$f'(x) = \cos x - \sin x$$。
代入 $$x = \frac{\pi}{4}$$：
$$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$。
正确答案是 B。
6. 解析：
函数 $$f(x) = x^2 + x \ln x$$，求 $$f'(1)$$。
求导得：
$$f'(x) = 2x + \ln x + 1$$。
代入 $$x = 1$$：
$$f'(1) = 2 \cdot 1 + \ln 1 + 1 = 2 + 0 + 1 = 3$$。
正确答案是 C。
7. 解析：
已知 $$f(x) = x^2 + 3x f'(1)$$，求 $$f'(2)$$。
对 $$f(x)$$ 求导：
$$f'(x) = 2x + 3 f'(1)$$。
将 $$x = 1$$ 代入：
$$f'(1) = 2 \cdot 1 + 3 f'(1)$$，解得 $$f'(1) = -1$$。
因此，$$f'(x) = 2x - 3$$。
$$f'(2) = 4 - 3 = 1$$。
正确答案是 A。
8. 解析：
同第7题，正确答案是 A。
9. 解析：
函数 $$f(x) = (\cos x - \sin x) e^x$$，$$x \in (0, 10\pi)$$。
求导得：
$$f'(x) = (-\sin x - \cos x + \cos x - \sin x) e^x = -2 \sin x \cdot e^x$$。
令 $$f'(x) = 0$$，得 $$\sin x = 0$$，即 $$x = k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。
在 $$(0, 10\pi)$$ 内，极值点为 $$x = \pi, 2\pi, \dots, 9\pi$$。
二阶导数：
$$f''(x) = -2 (\cos x + \sin x) e^x$$。
极大值点：$$f''(x) < 0$$，即 $$\cos x + \sin x > 0$$，对应 $$x = \pi, 5\pi, 9\pi$$。
极小值点：$$f''(x) > 0$$，即 $$\cos x + \sin x < 0$$，对应 $$x = 2\pi, 4\pi, 6\pi, 8\pi$$。
计算和：
极大值点之和：$$\pi + 5\pi + 9\pi = 15\pi$$；
极小值点之和：$$2\pi + 4\pi + 6\pi + 8\pi = 20\pi$$。
差值为 $$15\pi - 20\pi = -5\pi$$。
正确答案是 A。
10. 解析：
逐一验证选项：
A：$$(\frac{1}{\ln x})' = -\frac{1}{x (\ln x)^2} \neq x$$，错误。
B：$$(\sin 2x)' = 2 \cos 2x = 2 (2 \cos^2 x - 1)$$，但题目给出 $$2 \cos^2 x - 1$$，不匹配，错误。
C：$$(x - \frac{1}{x})' = 1 + \frac{1}{x^2}$$，正确。
D：$$(e^{-x})' = -e^{-x} \neq e^{-x}$$，错误。
正确答案是 C。