.jpg)
正确率60.0%已知$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{x}{=}{{x}_{0}}}$$处可导，在$${{x}_{0}}$$附近$${{x}}$$的函数值$${{f}{(}{x}{)}}$$可以用“以直代曲”的方法求其近似代替值：$$f ( x ) \approx f ( x_{0} )+f^{\prime} ( x_{0} ) ( x-x_{0} )$$.对于函数$$f ( x )=\sqrt{x}，$$利用这一方法$$\cdot~ m=f ( 4. 0 0 1 )$$的近似代替值（）
A
A.大于$${{m}}$$
B.小于$${{m}}$$
C.等于$${{m}}$$
D.与$${{m}}$$的大小关系无法确定
2、['基本初等函数的导数']正确率80.0%若$$f ( x )=\operatorname{c o s} x，$$则$$f^{\prime} \left( \frac{\pi} {2} \right)=$$（）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{0}}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
3、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']正确率80.0%下列对函数求导运算正确的是（）
D
A.$$\left( \operatorname{s i n} \frac{\pi} {3} \right)^{\prime}=\operatorname{c o s} \frac{\pi} {3}$$
B.$$\left( \mathrm{e}^{2 x} \right)^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x}$$
C.$$\left( \frac{\operatorname{c o s} x} {x} \right)^{\prime}=\frac{x \operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} x} {x^{2}}$$
D.$$\left( 2 \mathrm{e}^{x} \right)^{\prime}=2 \mathrm{e}^{x}$$
4、['数列的递推公式'， '基本初等函数的导数'， '等比数列前n项和的应用'， '数列中的数学文化问题'， '对数的运算性质']正确率40.0%英国著名物理学家牛顿用$${{“}}$$作切线$${{”}}$$的方法求函数零点时，给出的$${{“}}$$牛顿数列$${{”}}$$在航空航天中应用广泛，若数列$${{\{}{{x}_{n}}{\}}}$$满足$$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f \left( x_{n} \right)} {f^{\prime} \left( x_{n} \right)}$$，则称数列$${{\{}{{x}_{n}}{\}}}$$为牛顿数列．如果函数$$f ( x )=x^{2}-x-2$$，数列$${{\{}{{x}_{n}}{\}}}$$为牛顿数列，设$$a_{n}=\operatorname{l n} \frac{x_{n}-2} {x_{n}+1}$$且$${{a}_{1}{=}{1}}$$，$${{x}_{n}{>}{2}}$$， 数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{2 0 2 1}=$$（）
A
A.$$2^{2 0 2 1}-1$$
B.$$2^{2 0 2 1}-2$$
C.$$\left( \frac{1} {2} \right)^{2 0 2 1}-\frac{1} {2}$$
D.$$\left( \frac{1} {2} \right)^{2 0 2 1}-2$$
5、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '导数与极值']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\mathrm{e}^{x} \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)$$恰有两个极值点$$x_{1}， ~ x_{2} ~ ( \， x_{1} < x_{2} \， )$$，则$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( 0， ~ \frac{1} {2} )$$
B.$$( 1， \ 3 )$$
C.$$( \; \frac{1} {2}， \; 3 )$$
D.$$( \; \frac{1} {2}， \; \; 1 )$$
6、['基本初等函数的导数'， '函数图象的识别'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%svg异常
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\frac{7} {3}$$
D.$$- \frac{1} {3}$$或$$\frac{5} {3}$$
7、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']正确率60.0%设$$y=x^{2} \cdot e^{x}$$，则$${{y}{^{′}}}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$$x^{2} e^{x}+2 x$$
B.$${{2}{x}{{e}^{x}}}$$
C.$$( 2 x+x^{2} ) e^{x}$$
D.$$( x+x^{2} ) \cdot e^{x}$$
8、['基本初等函数的导数']正确率60.0%svg异常
C
A.svg异常
B.$${{1}}$$
C.svg异常
D.$${{3}}$$
9、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']正确率60.0%若函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在$${{R}}$$上可导，且$$f \left( x \right)=x^{2}+2 f^{\prime} \left( 2 \right) x+3$$，则（）
C
A.$$f \left( 0 \right) < f \left( 6 \right)$$
B.$$f \left( 0 \right)=f \left( 6 \right)$$
C.$$f \left( 0 \right) > f \left( 6 \right)$$
D.无法确定
10、['基本初等函数的导数']正确率80.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=l o g_{3} x$$，则其导数$$f^{\prime} \ ( \textbf{x} ) \ =\ ($$）
C
A.$$\frac{l n 3} {x}$$
B.$$\frac{3} {x}$$
C.$$\frac{1} {x l n 3}$$
D.$$\frac{1} {r}$$
1. 解析：
函数 $$f(x) = \sqrt{x}$$ 在 $$x_0 = 4$$ 处的导数为 $$f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$$。根据线性近似公式：
$$f(4.001) \approx f(4) + f'(4)(4.001 - 4) = 2 + \frac{1}{4} \times 0.001 = 2.00025$$。
实际值 $$m = \sqrt{4.001} \approx 2.00024998$$，因此近似值大于实际值。答案为 A。
2. 解析：
函数 $$f(x) = \cos x$$ 的导数为 $$f'(x) = -\sin x$$。在 $$x = \frac{\pi}{2}$$ 处：
$$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$$。答案为 A。
3. 解析：
逐项分析：
A. $$\left(\sin \frac{\pi}{3}\right)' = 0$$（常数的导数为 0），错误。
B. $$\left(e^{2x}\right)' = 2e^{2x}$$（链式法则），错误。
C. 使用商的导数法则：
$$\left(\frac{\cos x}{x}\right)' = \frac{-x \sin x - \cos x}{x^2}$$，与选项不符，错误。
D. $$\left(2e^x\right)' = 2e^x$$（常数倍法则），正确。答案为 D。
4. 解析：
牛顿迭代公式为 $$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - x_n - 2}{2x_n - 1}$$。化简后：
$$x_{n+1} = \frac{x_n^2 + 2}{2x_n - 1}$$。
设 $$a_n = \ln \frac{x_n - 2}{x_n + 1}$$，通过递推关系可证明 $$a_{n+1} = 2a_n$$，因此数列 $$\{a_n\}$$ 是等比数列，首项 $$a_1 = 1$$，公比为 2。
前 $$n$$ 项和 $$S_n = 2^n - 1$$，故 $$S_{2021} = 2^{2021} - 1$$。答案为 A。
5. 解析：
函数 $$f(x) = e^x (x^2 - a x)$$ 的导数为 $$f'(x) = e^x (x^2 + (2 - a)x - a)$$。
极值点要求 $$f'(x) = 0$$ 有两个不同的解，即判别式 $$(2 - a)^2 + 4a > 0$$ 且 $$a \neq 0$$。
解得 $$a \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)$$。答案为 D。
7. 解析：
函数 $$y = x^2 e^x$$ 的导数为：
$$y' = 2x e^x + x^2 e^x = (x^2 + 2x) e^x$$。答案为 C。
9. 解析：
对 $$f(x) = x^2 + 2f'(2)x + 3$$ 求导得 $$f'(x) = 2x + 2f'(2)$$。
在 $$x = 2$$ 处代入得 $$f'(2) = 4 + 2f'(2)$$，解得 $$f'(2) = -4$$。
因此 $$f(x) = x^2 - 8x + 3$$，对称轴为 $$x = 4$$。
比较 $$f(0) = 3$$ 和 $$f(6) = -9$$，显然 $$f(0) > f(6)$$。答案为 C。
10. 解析：
函数 $$f(x) = \log_3 x$$ 的导数为：
$$f'(x) = \frac{1}{x \ln 3}$$。答案为 C。