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正确率80.0%设$${{M}{，}{m}}$$分别是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{[}{a}{，}{b}{]}}$$上的最大值和最小值，若$${{M}{=}{m}{，}}$$则$${{f}^{′}{(}{x}{)}}$$（）
A
A.等于$${{0}}$$
B.小于$${{0}}$$
C.等于$${{1}}$$
D.不确定
2、['基本初等函数的导数'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）']正确率60.0%曲线$$y=-\frac{1} {x}$$在点$$\left( \frac1 2， \ l-2 \right)$$处的切线方程是（）
B
A.$${{y}{=}{−}{4}{x}}$$
B.$${{y}{=}{4}{x}{−}{4}}$$
C.$${{y}{=}{4}{x}{+}{4}}$$
D.$${{y}{=}{−}{4}{x}{+}{4}}$$
3、['两点间的距离'， '基本初等函数的导数'， '导数的几何意义']正确率40.0%一条斜率为$${{1}}$$的直线分别与曲线$${{y}{=}{{l}{n}}{x}{+}{1}}$$和曲线$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}{(}{−}{π}{<}{x}{<}{π}{)}}$$相切于点$${{A}}$$和点$${{B}}$$，则公切线段$${{A}{B}}$$的长为
D
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
4、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义'， '直线的斜率'， '直线的倾斜角']正确率40.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{e}^{x}}{{s}{i}{n}}{x}}$$的图象在点$${{(}{0}{，}{f}{(}{0}{)}{)}}$$处的切线的倾斜角为
B
A.$${{4}}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
5、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '函数的周期性']正确率40.0%已知$${{f}_{1}{(}{x}{)}{=}{s}{i}{n}{x}{+}{c}{o}{s}{x}{，}}$$记$${{f}_{2}{(}{x}{)}{=}{{f}^{′}_{1}}{(}{x}{)}{，}}$$$${{f}_{3}{(}{x}{)}{=}{{f}^{′}_{2}}{(}{x}{)}{，}{⋯}{，}}$$$$f_{n} ( x )=f_{n-1}^{\prime} ( x ) ( n \in{\bf N}^{*}， \， \， \， n \geqslant2 )，$$则$$f_{1} \left( \frac{\pi} {2} \right)+f_{2} \left( \frac{\pi} {2} \right)+\cdots+f_{2 \; 0 1 9} \left( \frac{\pi} {2} \right)$$等于 （）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{4}}$$
6、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{[}{0}{，}{+}{∞}{）}}$$上的可导函数，且$${{x}{+}{{f}^{′}}{（}{x}{）}{<}{f}{（}{x}{）}}$$，则对任意正实数$${{a}}$$，下列式子恒成立的是（）
A
A.$${{f}{（}{a}{）}{<}{{e}^{a}}{f}{（}{0}{）}}$$
B.$${{f}{（}{a}{）}{>}{{e}^{a}}{f}{（}{0}{）}}$$
C.$${{e}^{a}{f}{（}{a}{）}{<}{f}{（}{0}{）}}$$
D.$${{e}^{a}{f}{（}{a}{）}{>}{f}{（}{0}{）}}$$
7、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '函数求值']正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数为$${{f}{^{′}}{(}{x}{)}}$$，且满足$${{f}{(}{x}{)}{=}{2}{x}{f}{^{′}}{(}{1}{)}{+}{{l}{n}}{x}}$$，则$${{f}{^{′}}{(}{2}{)}{=}{（}}$$）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$$- \frac{3} {2}$$
8、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{f}^{′}}{(}{e}{)}{+}{x}{{l}{n}}{x}{，}}$$则$${{f}^{′}{(}{e}{)}{=}}$$（）
B
A.$${{1}{+}{e}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{2}{+}{e}}$$
D.$${{3}}$$
9、['基本初等函数的导数']正确率60.0%函数$${{y}{=}{{e}^{x}}}$$在$${{x}{=}{1}}$$处的导数为
C
A.$$e^{-1}$$
B.$$- e^{-1}$$
C.$${{e}}$$
D.$${{−}{e}}$$
10、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数']正确率60.0%若$$f ( x )=\mathrm{e}^{x}+\frac{1} {2} f^{\prime} ( 0 ) x$$，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的函数关系式为（）
B
A.$${{f}{(}{x}{)}{=}{{e}^{x}}{−}{x}}$$
B.$${{f}{(}{x}{)}{=}{{e}^{x}}{+}{x}}$$
C.$${{f}{(}{x}{)}{=}{{e}^{x}}{−}{2}{x}}$$
D.$${{f}{(}{x}{)}{=}{{e}^{x}}{+}{2}{x}}$$
1. 若函数 $$f(x)$$ 在区间 $$[a, b]$$ 上的最大值 $$M$$ 和最小值 $$m$$ 相等，说明 $$f(x)$$ 在该区间上为常数函数。因此，导数 $$f'(x) = 0$$。正确答案为 A。
2. 曲线 $$y = -\frac{1}{x}$$ 的导数为 $$y' = \frac{1}{x^2}$$。在点 $$\left( \frac{1}{2}, -2 \right)$$ 处，斜率为 $$y'\left( \frac{1}{2} \right) = 4$$。切线方程为 $$y + 2 = 4\left( x - \frac{1}{2} \right)$$，化简得 $$y = 4x - 4$$。正确答案为 B。
3. 斜率为 1 的直线与 $$y = \ln x + 1$$ 相切于点 $$A$$，设 $$A$$ 的横坐标为 $$x_1$$，则 $$\frac{1}{x_1} = 1$$，得 $$x_1 = 1$$，点 $$A$$ 为 $$(1, 1)$$。与 $$y = \sin x$$ 相切于点 $$B$$，设 $$B$$ 的横坐标为 $$x_2$$，则 $$\cos x_2 = 1$$，得 $$x_2 = 0$$，点 $$B$$ 为 $$(0, 0)$$。公切线段 $$AB$$ 的长度为 $$\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$$。正确答案为 D。
4. 函数 $$f(x) = e^x \sin x$$ 的导数为 $$f'(x) = e^x (\sin x + \cos x)$$。在 $$x = 0$$ 处，$$f'(0) = 1$$，因此切线的倾斜角为 $$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$$。正确答案为 B。
5. 计算 $$f_1(x) = \sin x + \cos x$$，$$f_2(x) = \cos x - \sin x$$，$$f_3(x) = -\sin x - \cos x$$，$$f_4(x) = -\cos x + \sin x$$，之后循环。周期为 4。在 $$x = \frac{\pi}{2}$$ 处，$$f_1\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$$，$$f_2\left( \frac{\pi}{2} \right) = -1$$，$$f_3\left( \frac{\pi}{2} \right) = -1$$，$$f_4\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$$。2019 项的和为 $$505 \times (1 -1 -1 +1) + (1 -1 -1) = -1$$。正确答案为 A。
6. 不等式 $$x + f'(x) < f(x)$$ 可改写为 $$f'(x) - f(x) < -x$$。乘以积分因子 $$e^{-x}$$ 得 $$\frac{d}{dx} \left( f(x) e^{-x} \right) < -x e^{-x}$$。积分后得 $$f(a) e^{-a} - f(0) < \int_0^a -x e^{-x} dx$$。通过分部积分可知右边为 $$-( -a e^{-a} - e^{-a} +1 )$$，因此 $$f(a) e^{-a} - f(0) < a e^{-a} + e^{-a} -1$$。整理得 $$f(a) < e^a f(0) + a +1 - e^a$$，但更简单的分析表明 $$f(a) e^{-a}$$ 随 $$a$$ 增大而减小，因此 $$f(a) < e^a f(0)$$。正确答案为 A。
7. 对 $$f(x) = 2x f'(1) + \ln x$$ 求导得 $$f'(x) = 2 f'(1) + \frac{1}{x}$$。令 $$x = 1$$ 得 $$f'(1) = 2 f'(1) +1$$，解得 $$f'(1) = -1$$。因此 $$f'(x) = -2 + \frac{1}{x}$$，$$f'(2) = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$$。正确答案为 D。
8. 对 $$f(x) = f'(e) + x \ln x$$ 求导得 $$f'(x) = \ln x +1$$。令 $$x = e$$ 得 $$f'(e) = \ln e +1 = 2$$。正确答案为 B。
9. 函数 $$y = e^x$$ 的导数为 $$y' = e^x$$。在 $$x = 1$$ 处的导数为 $$e^1 = e$$。正确答案为 C。
10. 对 $$f(x) = e^x + \frac{1}{2} f'(0) x$$ 求导得 $$f'(x) = e^x + \frac{1}{2} f'(0)$$。令 $$x = 0$$ 得 $$f'(0) = 1 + \frac{1}{2} f'(0)$$，解得 $$f'(0) = 2$$。因此 $$f(x) = e^x + x$$。正确答案为 B。