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正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{s i n} \ ( \begin{matrix} {2 x} \\ {+\frac{\pi} {1 2}} \\ \end{matrix} ) \， \ f^{\prime} \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)$$是$${{f}{（}{x}{）}}$$的导函数，则函数$$y=2 f ~ ( \textbf{x} ) ~+f^{\prime} ~ ( \textbf{x} )$$的一个单调递减区间是（）
A
A.$$[ \frac{\pi} {1 2}， ~ \frac{7 \pi} {1 2} ]$$
B.$$[-\frac{5 \pi} {1 2}， ~ \frac{\pi} {1 2} ]$$
C.$$[-\frac{\pi} {3}， \ \frac{2 \pi} {3} ]$$
D.$$[-\frac{\pi} {6}， \ \frac{5 \pi} {6} ]$$
2、['函数奇偶性的应用'， '简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性'， '不等式比较大小']正确率19.999999999999996%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( x )=f (-x )$$，且当$$x \in(-\infty， 0 ]$$时，$$f ( x )+x f^{\prime} ( x ) < 0$$成立，若$$a=( 2^{0. 1} ) f ( 2^{0. 1} )， b=( \operatorname{l n} 2 ) f ( \operatorname{l n} 2 )， c=( \operatorname{l o g}_{2} \frac1 8 ) f ( \operatorname{l o g}_{2} \frac1 8 )$$
，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系是
B
A.$$a > b > c$$
B.$$c > b > a$$
C.$$c > a > b$$
D.$$a > c > b$$
3、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '导数与单调性'， '不等式比较大小'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%已知函数$$f \left( x \right)=x^{2}+2 x f^{\prime} \left( 1 \right)$$，则$${{f}{{(}{−}{1}{)}}}$$与$${{f}{{(}{1}{)}}}$$的大小关系是（）
B
A.$$f \left(-1 \right)=f \left( 1 \right)$$
B.$$f \left(-1 \right) > f \left( 1 \right)$$
C.$$f \left(-1 \right) < f \left( 1 \right)$$
D.不能确定
4、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '函数求值'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%如图，下面四个图象中，若有函数$$f \left( x \right)=\frac{1} {3} x^{3}+a x^{2}+\left( a^{2}-1 \right) x+1 \left( a \in R \right)$$的导函数$$y=f^{'} ( x )$$的图象，则$$f (-1 )=$$
C
A.$$- \frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{1} {3}$$或$$\frac{5} {3}$$
D.$$\frac{1} {3}$$或$$\frac{5} {3}$$
5、['导数的四则运算法则'， '导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '函数的单调区间']正确率60.0%函数$$f \ ( \textbf{x} ) \ =\frac{e^{x}} {x} \ ( \textbf{x} > 0 )$$的最小值是（）
D
A.$$e^{-1}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{e}^{2}}$$
D.$${{e}}$$
6、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '函数求值']正确率60.0%已知$$f ( x )=e^{x}-e^{-x}， \， \， f^{\prime} ( x )$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数，则$$f^{\prime} ( 2 )=( ~ ~ )$$
B
A.$${{0}}$$
B.$$e^{2}+e^{-2}$$
C.$$e^{2}-e^{-2}$$
D.$${{1}}$$
7、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义']正确率60.0%曲线$$y=-x^{3}+2 x+3$$在点$$( 1， 4 )$$处的切线方程为$${{(}{)}}$$
A
A.$$x+y-5=0$$
B.$$x-y+3=0$$
C.$$\sqrt3 x+y-4+\sqrt3=0$$
D.$$\sqrt{3} x-y+4-\sqrt{3}=0$$
8、['导数的四则运算法则'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）']正确率60.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\frac{2 x-5} {x^{2}+1}$$的图象在$$( 0， ~ f ( 0 ) ~ )$$处的切线斜率为（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{2}}$$
9、['导数的四则运算法则'， '导数与最值'， '导数与极值']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=-x^{3}+a x^{2}-4$$在$${{x}{=}{2}}$$处取得极值，若$$m \in[-1， ~ 1 ]，$$则$${{f}{(}{m}{)}}$$的最小值为（）
A
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{2}}$$
10、['导数的四则运算法则'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%已知$$f^{\prime} ( x )$$是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数，且对任意的实数$${{x}}$$都有$$f^{\prime} ( x )=e^{x} ( 2 x+3 )+f ( x ) ( e$$是自然对数的底数$$)， ~ f ( 0 )=1$$，若不等式$$f ( x )-k < 0$$的解集中恰有两个整数，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
C
A.$$[-\frac{1} {e}， 0 )$$
B.$$\left[-\frac{1} {e^{2}}， 0 \right]$$
C.$$(-\frac{1} {e^{2}}， 0 ]$$
D.$$\left(-\frac{1} {e^{2}}， 0 \right)$$
1. 解析：
首先，题目给出的函数是 $$f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{12})$$，其导数为 $$f'(x) = 2\cos(2x + \frac{\pi}{12})$$。我们需要分析函数 $$y = 2f(x) + f'(x)$$ 的单调性。
将 $$f(x)$$ 和 $$f'(x)$$ 代入得：
$$y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{12}) + 2\cos(2x + \frac{\pi}{12})$$
可以化简为：
$$y = 2\sqrt{2}\sin(2x + \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2}\sin(2x + \frac{\pi}{3})$$
求导数：
$$y' = 4\sqrt{2}\cos(2x + \frac{\pi}{3})$$
单调递减区间满足 $$y' \leq 0$$，即 $$\cos(2x + \frac{\pi}{3}) \leq 0$$。解得：
$$2x + \frac{\pi}{3} \in \left[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$$
取 $$k = 0$$，得 $$x \in \left[\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}\right]$$，对应选项 A。
答案：A
2. 解析：
题目条件表明 $$f(x)$$ 是偶函数，且当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) + xf'(x) < 0$$。可以构造函数 $$g(x) = xf(x)$$，其导数为：
$$g'(x) = f(x) + xf'(x)$$
当 $$x \leq 0$$ 时，$$g'(x) < 0$$，说明 $$g(x)$$ 在 $$(-\infty, 0]$$ 上单调递减。由于 $$f(x)$$ 是偶函数，$$g(x)$$ 是奇函数，因此在 $$[0, +\infty)$$ 上 $$g(x)$$ 单调递减。
比较 $$a = 2^{0.1}f(2^{0.1})$$，$$b = \ln 2 f(\ln 2)$$，$$c = \log_2 \frac{1}{8} f(\log_2 \frac{1}{8}) = -3f(-3)$$。
由于 $$2^{0.1} > \ln 2 > 0$$，且 $$g(x)$$ 在 $$[0, +\infty)$$ 单调递减，故 $$a < b$$。又因为 $$g(-3) = -3f(-3) = g(3)$$，而 $$3 > 2^{0.1}$$，故 $$c > b > a$$。
答案：B
3. 解析：
函数为 $$f(x) = x^2 + 2x f'(1)$$。首先求导数：
$$f'(x) = 2x + 2f'(1)$$
在 $$x = 1$$ 处：
$$f'(1) = 2(1) + 2f'(1) \Rightarrow f'(1) = -2$$
因此，$$f(x) = x^2 - 4x$$。计算 $$f(-1)$$ 和 $$f(1)$$：
$$f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) = 5$$
$$f(1) = (1)^2 - 4(1) = -3$$
故 $$f(-1) > f(1)$$。
答案：B
4. 解析：
函数为 $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + (a^2 - 1)x + 1$$，导数为：
$$f'(x) = x^2 + 2ax + (a^2 - 1)$$
观察导函数图像，发现其在 $$x = 0$$ 和 $$x = 2$$ 处有零点，故：
$$f'(0) = a^2 - 1 = 0 \Rightarrow a = \pm 1$$
$$f'(2) = 4 + 4a + a^2 - 1 = 0 \Rightarrow a^2 + 4a + 3 = 0 \Rightarrow a = -1 \text{ 或 } -3$$
结合两者，$$a = -1$$。代入 $$f(x)$$ 计算 $$f(-1)$$：
$$f(-1) = -\frac{1}{3} + 1 + 0 + 1 = \frac{5}{3}$$
但若 $$a = 1$$，则 $$f'(2) \neq 0$$，不满足图像条件。因此唯一解为 $$a = -1$$。
答案：D
5. 解析：
函数为 $$f(x) = \frac{e^x}{x}$$，求导数：
$$f'(x) = \frac{e^x x - e^x}{x^2} = \frac{e^x (x - 1)}{x^2}$$
令 $$f'(x) = 0$$，得 $$x = 1$$。当 $$x \in (0, 1)$$ 时 $$f'(x) < 0$$，当 $$x \in (1, +\infty)$$ 时 $$f'(x) > 0$$，故 $$x = 1$$ 是最小值点。
最小值为 $$f(1) = e$$。
答案：D
6. 解析：
函数为 $$f(x) = e^x - e^{-x}$$，导数为：
$$f'(x) = e^x + e^{-x}$$
因此，$$f'(2) = e^2 + e^{-2}$$。
答案：B
7. 解析：
曲线为 $$y = -x^3 + 2x + 3$$，导数为：
$$y' = -3x^2 + 2$$
在点 $$(1, 4)$$ 处的斜率为：
$$y'(1) = -3(1)^2 + 2 = -1$$
切线方程为：
$$y - 4 = -1(x - 1) \Rightarrow x + y - 5 = 0$$
答案：A
8. 解析：
函数为 $$f(x) = \frac{2x - 5}{x^2 + 1}$$，导数为：
$$f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) - (2x - 5)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 + 10x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 10x + 2}{(x^2 + 1)^2}$$
在 $$x = 0$$ 处的导数为：
$$f'(0) = \frac{2}{1} = 2$$
答案：D
9. 解析：
函数为 $$f(x) = -x^3 + ax^2 - 4$$，导数为：
$$f'(x) = -3x^2 + 2ax$$
在 $$x = 2$$ 处取得极值，故：
$$f'(2) = -12 + 4a = 0 \Rightarrow a = 3$$
因此，$$f(x) = -x^3 + 3x^2 - 4$$。在区间 $$[-1, 1]$$ 上求最小值：
$$f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$$
在 $$[-1, 1]$$ 上 $$f'(x) \geq 0$$，故函数单调递增。最小值为 $$f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$$。
答案：C
10. 解析：
题目给出微分方程 $$f'(x) = e^x (2x + 3) + f(x)$$，初始条件 $$f(0) = 1$$。解此方程：
将方程改写为：
$$f'(x) - f(x) = e^x (2x + 3)$$
积分因子为 $$e^{-x}$$，两边乘以积分因子得：
$$\frac{d}{dx}(f(x) e^{-x}) = 2x + 3$$
积分得：
$$f(x) e^{-x} = x^2 + 3x + C$$
由 $$f(0) = 1$$ 得 $$C = 1$$，故：
$$f(x) = e^x (x^2 + 3x + 1)$$
不等式 $$f(x) < k$$ 即 $$e^x (x^2 + 3x + 1) < k$$。分析整数解：
当 $$x = -1$$ 时，$$f(-1) = e^{-1} (1 - 3 + 1) = -\frac{1}{e}$$；
当 $$x = 0$$ 时，$$f(0) = 1$$；
当 $$x = 1$$ 时，$$f(1) = e(1 + 3 + 1) = 5e$$。
要使解集中恰有两个整数，需 $$-\frac{1}{e} \leq k < 0$$（解为 $$x = -1$$ 和 $$x = 0$$）。
答案：A