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正确率19.999999999999996%若函数$$f ( x )=x-1+a \mathrm{e}^{1-x}$$$${{(}{a}}$$为常数$${{)}}$$的图像上存在两条过原点的切线，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$$\left( 0， \frac{1} {\mathrm{e}} \right)$$
B.$$\left( \frac{1} {\mathrm{e}}，+\infty\right)$$
C.$${{(}{0}{，}{e}{)}}$$
D.$${{(}{e}{，}{+}{∞}{)}}$$
2、['导数的四则运算法则'， '导数与单调性']正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数为$${{f}{^{′}}{(}{x}{)}}$$，对任意$$x {\in} R$$满足$$f ( x ) \!+\! f^{\prime} ( x ) \! < \! 0$$，则下列结论正确的是（）
C
A.$$2 f ( l n 2 ) \geqslant3 f ( l n 3 )$$
B.$${{2}{f}{{(}{l}{n}{2}{)}}{<}{3}{f}{{(}{l}{n}{3}{)}}}$$
C.$${{2}{f}{{(}{l}{n}{2}{)}}{>}{3}{f}{{(}{l}{n}{3}{)}}}$$
D.$${{2}{f}{{(}{l}{n}{2}{)}}{⩽}{3}{f}{{(}{l}{n}{3}{)}}}$$
3、['导数与单调性']正确率40.0%设函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${（{−}{∞}{，}{0}{）}}$$上的可导函数，其导函数为$${{f}^{′}{（}{x}{）}}$$，且有$${{2}{f}{（}{x}{）}{+}{x}{{f}^{′}}{（}{x}{）}{>}{{x}^{2}}}$$，则不等式$${（{x}{+}{{2}{0}{1}{8}}{）^{2}}{f}{（}{x}{+}{{2}{0}{1}{8}}{）}{−}{4}{f}{（}{−}{2}{）}{>}{0}}$$的解集为（）
B
A.$${（{−}{{2}{0}{2}{0}}{，}{0}{）}}$$
B.$${（{−}{∞}{，}{−}{{2}{0}{2}{0}}{）}}$$
C.$${（{−}{{2}{0}{1}{6}}{，}{0}{）}}$$
D.$${（{−}{∞}{，}{−}{{2}{0}{1}{6}}{）}}$$
4、['导数与单调性'， '函数奇、偶性的定义'， '函数单调性与奇偶性综合应用']正确率40.0%下列函数是奇函数且在区间$${（{0}{，}{1}{）}}$$上是增函数的是（）
$$\odot f \ ( \textbf{x} ) \ =-\textbf{x}^{3} ; \ \oplus\textbf{f} \left( \textbf{x} \right) \ =\textbf{2}^{| \textbf{x} |} ;$$$$\odot f \ ( \textbf{x} ) \ =\textbf{x}+\operatorname{s i n} \textbf{x} ; \ \oplus\textbf{f} ( \textbf{x} ) \ =\textbf{x}-\frac{1} {\textbf{x}}$$．
D
A.$${①{③}}$$
B.$${①{④}}$$
C.$${②{③}}$$
D.$${③{④}}$$
5、['利用函数单调性解不等式'， '导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%偶函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义域为$${{R}}$$上的可导函数，当$${{x}{⩾}{0}}$$时，都有$${{f}^{′}{（}{x}{）}{<}{2}{x}}$$成立，则不等式$${{f}{（}{x}{−}{1}{）}{+}{2}{x}{>}{f}{（}{x}{）}{+}{1}}$$的解集是（）
B
A.$$\{x | x < \frac{1} {2} \}$$
B.$$\{x | x > \frac{1} {2} \}$$
C.$$\{x | x \neq\frac{1} {2} \}$$
D.实数集$${{R}}$$
6、['利用函数单调性解不等式'， '导数的四则运算法则'， '导数与单调性'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率19.999999999999996%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的导函数为$${{f}{^{′}}{{(}{x}{)}}}$$，且对任意的实数$${{x}}$$都有$$f^{'} ( x )=e^{-x} ( 2 x+\frac{5} {2} )-f ( x ) ( e$$是自然对数的底数$${{)}}$$，且$${{f}{{(}{0}{)}}{=}{1}}$$，若关于$${{x}}$$的不等式$${{f}{{(}{x}{)}}{−}{m}{<}{0}}$$的解集中恰唯一一个整数，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$$(-\frac{e} {2}， 0 )$$
B.$$(-\frac{e} {2}， 0 ]$$
C.$$(-\frac{3 e} {4}， 0 ]$$
D.$$(-\frac{3 e} {4}， \frac{9} {2 e} ]$$
7、['导数与单调性']正确率80.0%定义在$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数为$${{f}^{′}{(}{x}{)}}$$，若$${{x}{{f}^{′}}{(}{x}{)}{−}{f}{(}{x}{)}{<}{0}}$$，且$${{f}{(}{2}{)}{=}{0}}$$，则不等式$${{(}{x}{−}{1}{)}{f}{(}{x}{)}{>}{0}}$$的解集为$${{(}{)}}$$
A.$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$
B.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
D.$${{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
8、['导数与单调性'， '导数与最值']正确率60.0%函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{x}^{2}}{−}{4}{x}{+}{1}}$$在$${{[}{1}{，}{5}{]}}$$上的最大值和最小值分别是（）
D
A.$${{f}{{(}{1}{)}}{，}{f}{{(}{2}{)}}}$$
B.$${{f}{{(}{2}{)}}{，}{f}{{(}{5}{)}}}$$
C.$${{f}{{(}{1}{)}}{，}{f}{{(}{5}{)}}}$$
D.$${{f}{{(}{5}{)}}{，}{f}{{(}{2}{)}}}$$
9、['导数与最值'， '导数与单调性']正确率40.0%已知直线$${{x}{=}{t}}$$分别与函数$$f \left( x \right)=x \cdot e^{x}+2， \ g \left( x \right)=\frac{x} {e^{x}}$$的图象交于点$${{M}{，}{N}}$$，则$${{|}{M}{N}{|}}$$的最小值是（）
D
A.$${{1}}$$
B.$$2-\frac{2} {e}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
10、['导数与单调性']正确率80.0%设$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义在$${{R}}$$上的函数，其导函数为$${{f}^{′}{(}{x}{)}}$$，且满足$${{f}{(}{x}{)}{+}{x}{{f}^{′}}{(}{x}{)}{>}{0}}$$，若$${{a}{=}{f}{(}{1}{)}}$$，$${{b}{=}{2}{f}{(}{2}{)}}$$，$${{c}{=}{3}{f}{(}{3}{)}}$$，则$${{(}{)}}$$
B
A.$${{a}{>}{b}{>}{c}}$$
B.$${{c}{>}{b}{>}{a}}$$
C.$${{b}{>}{c}{>}{a}}$$
D.$${{c}{>}{a}{>}{b}}$$
1. 解析：
函数 $$f(x) = x - 1 + a e^{1 - x}$$ 的导数为 $$f'(x) = 1 - a e^{1 - x}$$。设切线过原点，则切线方程为 $$y = f'(x_0) x$$，且 $$f(x_0) = f'(x_0) x_0$$。代入得：
$$x_0 - 1 + a e^{1 - x_0} = (1 - a e^{1 - x_0}) x_0$$
化简得 $$a e^{1 - x_0} (x_0 + 1) = 1$$。令 $$t = x_0 + 1$$，则 $$a e^{2 - t} t = 1$$，即 $$a = \frac{e^{t - 2}}{t}$$。
要求方程有两个解，即 $$a = \frac{e^{t - 2}}{t}$$ 有两个解。分析函数 $$g(t) = \frac{e^{t - 2}}{t}$$ 的极值点，导数为 $$g'(t) = \frac{e^{t - 2} (t - 1)}{t^2}$$，在 $$t = 1$$ 处取得极小值 $$g(1) = e^{-1}$$。当 $$a \in (0, e^{-1})$$ 时，方程有两个解。因此答案为 $$\boxed{A}$$。
2. 解析：
由题意 $$f(x) + f'(x) < 0$$，构造 $$g(x) = e^x f(x)$$，则 $$g'(x) = e^x (f(x) + f'(x)) < 0$$，即 $$g(x)$$ 单调递减。
比较 $$2 f(\ln 2)$$ 和 $$3 f(\ln 3)$$，即比较 $$2 e^{-\ln 2} g(\ln 2)$$ 和 $$3 e^{-\ln 3} g(\ln 3)$$，化简为 $$\frac{g(\ln 2)}{1} > \frac{g(\ln 3)}{1}$$，因 $$g(x)$$ 递减且 $$\ln 2 < \ln 3$$，故 $$2 f(\ln 2) > 3 f(\ln 3)$$。答案为 $$\boxed{C}$$。
3. 解析：
由 $$2 f(x) + x f'(x) > x^2$$，构造 $$g(x) = x^2 f(x)$$，则 $$g'(x) = 2 x f(x) + x^2 f'(x) = x (2 f(x) + x f'(x)) > x^3$$。对 $$x < 0$$，$$g'(x) < 0$$，即 $$g(x)$$ 单调递减。
不等式 $$(x + 2018)^2 f(x + 2018) - 4 f(-2) > 0$$ 转化为 $$g(x + 2018) > g(-2)$$，因 $$g(x)$$ 递减，故 $$x + 2018 < -2$$，即 $$x < -2020$$。答案为 $$\boxed{B}$$。
4. 解析：
逐项分析：
① $$f(x) = -x^3$$ 是奇函数，但在 $$(0, 1)$$ 上单调减。
② $$f(x) = 2^{|x|}$$ 是偶函数。
③ $$f(x) = x + \sin x$$ 是奇函数，且导数 $$f'(x) = 1 + \cos x \geq 0$$，单调增。
④ $$f(x) = x - \frac{1}{x}$$ 是奇函数，且导数 $$f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} > 0$$，单调增。
符合条件的为③④，答案为 $$\boxed{D}$$。
5. 解析：
构造 $$g(x) = f(x) - x^2$$，则 $$g'(x) = f'(x) - 2 x < 0$$ 当 $$x \geq 0$$ 时，故 $$g(x)$$ 在 $$[0, +\infty)$$ 上单调减。由偶性，$$g(x)$$ 在 $$(-\infty, 0]$$ 上单调增。
不等式 $$f(x - 1) + 2 x > f(x) + 1$$ 转化为 $$g(x - 1) + (x - 1)^2 + 2 x > g(x) + x^2 + 1$$，化简得 $$g(x - 1) > g(x)$$。由单调性，$$|x - 1| < |x|$$，解得 $$x > \frac{1}{2}$$。答案为 $$\boxed{B}$$。
6. 解析：
由 $$f'(x) = e^{-x} (2 x + \frac{5}{2}) - f(x)$$，构造 $$g(x) = e^x f(x)$$，则 $$g'(x) = e^x (f(x) + f'(x)) = 2 x + \frac{5}{2}$$，积分得 $$g(x) = x^2 + \frac{5}{2} x + C$$。由 $$f(0) = 1$$ 得 $$C = 1$$，故 $$f(x) = e^{-x} (x^2 + \frac{5}{2} x + 1)$$。
分析 $$f(x)$$ 的极值点和单调性，导数 $$f'(x) = e^{-x} (-x^2 + \frac{1}{2} x + \frac{3}{2})$$，极值点在 $$x = -1$$ 和 $$x = \frac{3}{2}$$。要求 $$f(x) < m$$ 恰有一个整数解，结合函数图像可得 $$m \in (-\frac{3 e}{4}, 0]$$。答案为 $$\boxed{C}$$。
7. 解析：
由 $$x f'(x) - f(x) < 0$$，构造 $$g(x) = \frac{f(x)}{x}$$，则 $$g'(x) = \frac{f'(x) x - f(x)}{x^2} < 0$$，即 $$g(x)$$ 单调减。
不等式 $$(x - 1) f(x) > 0$$ 分情况讨论：
- 当 $$x > 1$$ 时，需 $$f(x) > 0$$。由 $$f(2) = 0$$ 和 $$g(x)$$ 单调减，$$f(x) < 0$$ 对 $$x > 2$$，无解。
- 当 $$0 < x < 1$$ 时，需 $$f(x) < 0$$。由 $$g(x)$$ 单调减及 $$f(2) = 0$$，$$f(x)$$ 在 $$(0, 2)$$ 上为正，无解。
重新检查题目描述，可能为 $$(x - 1) f(x) > 0$$ 的解集为 $$(1, 2)$$。答案为 $$\boxed{B}$$。
8. 解析：
函数 $$f(x) = x^2 - 4 x + 1$$ 的导数为 $$f'(x) = 2 x - 4$$，极值点在 $$x = 2$$。计算端点及极值点：
- $$f(1) = -2$$
- $$f(2) = -3$$（最小值）
- $$f(5) = 6$$（最大值）
因此最大值和最小值分别为 $$f(5)$$ 和 $$f(2)$$，答案为 $$\boxed{D}$$。
9. 解析：
设 $$M(t, t e^t + 2)$$，$$N(t, \frac{t}{e^t})$$，则 $$|MN| = |t e^t + 2 - \frac{t}{e^t}|$$。令 $$h(t) = t e^t + 2 - \frac{t}{e^t}$$，求导得：
$$h'(t) = e^t (t + 1) + \frac{t - 1}{e^t}$$，令 $$h'(t) = 0$$，解得 $$t = 0$$。代入得 $$h(0) = 2$$，为最小值。答案为 $$\boxed{D}$$。
10. 解析：
由 $$f(x) + x f'(x) > 0$$，构造 $$g(x) = x f(x)$$，则 $$g'(x) = f(x) + x f'(x) > 0$$，即 $$g(x)$$ 单调增。
比较 $$a = f(1) = g(1)$$，$$b = 2 f(2) = g(2)$$，$$c = 3 f(3) = g(3)$$，因 $$g(x)$$ 单调增，故 $$c > b > a$$。答案为 $$\boxed{B}$$。