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正确率40.0%定义在$$\{x | x \neq0 \}$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)-f \left( \begin{matrix} {\begin{matrix} {\cdots} \\ \end{matrix}} \\ \end{matrix} \right)=0， \begin{matrix} {f \left( \begin{matrix} {\cdots} \\ \end{matrix} \right)} \\ \end{matrix}$$的导函数为$$f^{\prime} \textsubscript{\textit{( x )}}$$，且满足$$f \ ( \textbf{1} ) \ =0$$，当$${{x}{>}{0}}$$时，$$x f^{\prime} ~ ( \textbf{x} ) ~ < 2 f ~ ( \textbf{x} )$$，则使得不等式$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) > 0$$的解集为（）
D
A.$$( \mathbf{\psi}-\infty， \mathbf{\psi}-\mathbf{1} ) \ \bigcup\ ( \mathbf{0}， \ \mathbf{1} )$$
B.$$( \mathbf{\psi}-\infty， \mathbf{\psi}-1 ) \cup\mathbf{\psi} ( \mathbf{1}， \mathbf{\psi}+\infty)$$
C.$$( \mathbf{\tau}-\mathbf{1}， \ \mathbf{0} ) \cup\ ( \mathbf{1}， \ \mathbf{\tau}+\infty)$$
D.$$( \mathbf{\tau}-\mathbf{1}， \ \mathbf{0} ) \ \cup\ ( \mathbf{0}， \ \mathbf{1} )$$
2、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的图象特征'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{l n} | x |+| \operatorname{s i n} x (-\pi\leqslant x \leqslant\pi)$$的图象大致是$${{(}{)}}$$
B
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
3、['在R上恒成立问题'， '利用导数求参数的取值范围'， '利用导数讨论函数单调性'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} x+a x^{2}-1， a \in R$$，若对于任意的实数$${{x}}$$恒有$$f ( x ) \geqslant0$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$
B.$$( \frac{1} {2}，+\infty)$$
C.$$[-\frac{1} {4}，+\infty)$$
D.$$( \frac{1} {4}，+\infty)$$
4、['导数与单调性'， '利用导数讨论函数单调性'， '不等式比较大小']正确率60.0%对于$$\forall x \in[ 0，+\infty)，$$则$${{e}^{x}}$$与$${{1}{+}{x}}$$的大小关系为（）
A
A.$$e^{x} \geq1+x$$
B.$$e^{x} < 1+x$$
C.$$e^{x}=1+x$$
D.$${{e}^{x}}$$与$${{1}{+}{x}}$$大小关系不确定
5、['函数奇、偶性的图象特征'， '利用导数讨论函数单调性'， '不等式的解集与不等式组的解集']正确率60.0%函数$$f \left( x \right)=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}-\frac{1} {2 x^{2}+1}$$，则使得$$f \left( 2 x-1 \right) < f ( 1 )$$成立的$${{x}}$$的取值范围是（）
D
A.$$(-\infty， 1 )$$
B.$$(-\infty， 0 ) \cup( 1，+\infty)$$
C.$$( 0，+\infty)$$
D.$$( 0， 1 )$$
6、['在给定区间上恒成立问题'， '导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{3}+b x^{2}-4 x+d$$在$$(-\frac{2} {3}， ~ 1 )$$上单调递减，则实数$${{b}}$$的取值范围是（）
D
A.$$[-1， ~ \frac{1} {3} ]$$
B.$$[-1， ~ \frac{1} {2} ]$$
C.$$[-2， ~ \frac{1} {3} ]$$
D.$$[-2， ~ ~ \frac{1} {2} ]$$
7、['导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用导数解决函数零点问题'， '函数零点个数的判定']正确率19.999999999999996%函数$$f \left( x \right)=\left( x^{3}-3 x \right) \mathrm{e}^{x}-\frac{1} {x-2}$$在区间$$[-3， 2 ) \cup( 2， 3 ]$$上的零点个数为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
8、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性']正确率60.0%已知$$f \left( x \right)=\operatorname{l n} x+\frac a x \left( a \neq0 \right)$$，则（）
C
A.当$${{a}{<}{0}}$$时，$${{f}{{(}{x}{)}}}$$存在极小值$${{f}{{(}{a}{)}}}$$
B.当$${{a}{<}{0}}$$时，$${{f}{{(}{x}{)}}}$$存在极大值$${{f}{{(}{a}{)}}}$$
C.当$${{a}{>}{0}}$$时，$${{f}{{(}{x}{)}}}$$存在极小值$${{f}{{(}{a}{)}}}$$
D.当$${{a}{>}{0}}$$时，$${{f}{{(}{x}{)}}}$$存在极大值$${{f}{{(}{a}{)}}}$$
9、['导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%若函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\frac{x^{2}-a} {x+1}$$在$${{x}{=}{−}{2}}$$取得极值，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的单调递减区间是（）
C
A.$$( ~-\infty， ~-2 )$$和$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$
B.$$( \mathbf{\theta}-2， \mathbf{\theta} 0 )$$
C.$$( \textit{-2，} \textit{-1} )$$和$$( \ -1， \ 0 )$$
D.$$( \textit{-2，} \textit{-1} )$$
10、['导数与极值'， '利用导数求参数的取值范围'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=x ( \operatorname{l n} x-a x )$$有两个极值点，则实数$${{a}}$$的取值范围
C
A.$$\left(-\infty， \frac{1} {2} \right)$$
B.$$( 0， 1 )$$
C.$$\left( 0， \frac{1} {2} \right)$$
D.$$\left( \frac1 2，+\infty\right)$$
第一题解析：
题目条件分析：
1. 定义域为 $$x \neq 0$$，且 $$f(1) = 0$$。
2. 不等式 $$x f'(x) < 2 f(x)$$ 可以变形为 $$\frac{f'(x)}{f(x)} < \frac{2}{x}$$。
3. 构造辅助函数 $$g(x) = \frac{f(x)}{x^2}$$，求导得 $$g'(x) = \frac{f'(x) x - 2 f(x)}{x^3} < 0$$（由条件 $$x f'(x) < 2 f(x)$$ 可知）。
4. 因此，$$g(x)$$ 在 $$x > 0$$ 时单调递减。由于 $$f(1) = 0$$，则 $$g(1) = 0$$。
5. 当 $$x > 1$$ 时，$$g(x) < g(1) = 0$$，即 $$f(x) < 0$$；当 $$0 < x < 1$$ 时，$$g(x) > g(1) = 0$$，即 $$f(x) > 0$$。
6. 由于 $$f(x)$$ 是偶函数（题目条件未明确给出，但由选项推断），在 $$x < 0$$ 时，$$f(x) = f(-x)$$，故 $$f(x) > 0$$ 的解集为 $$(-\infty, -1) \cup (0, 1)$$。
正确答案：A
第二题解析：
函数 $$f(x) = \ln |x| + |\sin x|$$ 分析：
1. 定义域为 $$-\pi \leq x \leq \pi$$ 且 $$x \neq 0$$。
2. 当 $$x \to 0$$ 时，$$\ln |x| \to -\infty$$，$$|\sin x| \to 0$$，故 $$f(x) \to -\infty$$。
3. 当 $$x \in (0, \pi]$$ 时，$$f(x) = \ln x + \sin x$$，其导数为 $$f'(x) = \frac{1}{x} + \cos x$$。
4. 当 $$x \in [-\pi, 0)$$ 时，$$f(x) = \ln (-x) + \sin (-x) = \ln (-x) - \sin x$$，其导数为 $$f'(x) = \frac{1}{x} - \cos x$$。
5. 函数在 $$x = \pm \pi$$ 处值为 $$f(\pi) = \ln \pi$$，$$f(-\pi) = \ln \pi$$。
6. 结合选项，图像在 $$x \to 0$$ 时趋近负无穷，且在 $$x \in (0, \pi)$$ 和 $$x \in (-\pi, 0)$$ 上变化趋势符合上述分析。
正确答案：D
第三题解析：
函数 $$f(x) = \cos x + a x^2 - 1$$ 恒有 $$f(x) \geq 0$$：
1. 在 $$x = 0$$ 处，$$f(0) = 1 + 0 - 1 = 0$$。
2. 求导得 $$f'(x) = -\sin x + 2 a x$$，$$f''(x) = -\cos x + 2 a$$。
3. 极小值点需满足 $$f'(x) = 0$$，即 $$\sin x = 2 a x$$。
4. 当 $$a \geq \frac{1}{2}$$ 时，$$f''(x) \geq -\cos x + 1 \geq 0$$，函数为凸函数，极小值点为 $$x = 0$$，此时 $$f(x) \geq f(0) = 0$$。
5. 当 $$a < \frac{1}{2}$$ 时，存在 $$x$$ 使得 $$f(x) < 0$$。
正确答案：A
第四题解析：
比较 $$e^x$$ 和 $$1 + x$$：
1. 构造函数 $$f(x) = e^x - (1 + x)$$，求导得 $$f'(x) = e^x - 1$$。
2. 当 $$x \geq 0$$ 时，$$f'(x) \geq 0$$，函数单调递增，且 $$f(0) = 0$$，故 $$f(x) \geq 0$$，即 $$e^x \geq 1 + x$$。
3. 当 $$x < 0$$ 时，$$f'(x) < 0$$，函数单调递减，且 $$f(0) = 0$$，故 $$f(x) > 0$$，即 $$e^x > 1 + x$$。
正确答案：A
第五题解析：
函数 $$f(x) = e^x + e^{-x} - \frac{1}{2 x^2 + 1}$$ 分析：
1. 函数为偶函数，因为 $$f(-x) = f(x)$$。
2. 当 $$x \geq 0$$ 时，$$f(x)$$ 单调递增，因为 $$f'(x) = e^x - e^{-x} + \frac{4 x}{(2 x^2 + 1)^2} > 0$$（因为 $$e^x - e^{-x} \geq 0$$ 且 $$\frac{4 x}{(2 x^2 + 1)^2} \geq 0$$）。
3. 不等式 $$f(2 x - 1) < f(1)$$ 等价于 $$|2 x - 1| < 1$$，解得 $$0 < x < 1$$。
正确答案：D
第六题解析：
函数 $$f(x) = x^3 + b x^2 - 4 x + d$$ 在 $$(-\frac{2}{3}, 1)$$ 上单调递减：
1. 求导得 $$f'(x) = 3 x^2 + 2 b x - 4$$。
2. 在区间 $$(-\frac{2}{3}, 1)$$ 上需满足 $$f'(x) \leq 0$$。
3. 边界条件：
- 在 $$x = -\frac{2}{3}$$ 处：$$f'\left(-\frac{2}{3}\right) = 3 \left(\frac{4}{9}\right) + 2 b \left(-\frac{2}{3}\right) - 4 \leq 0$$，解得 $$b \geq -1$$。
- 在 $$x = 1$$ 处：$$f'(1) = 3 + 2 b - 4 \leq 0$$，解得 $$b \leq \frac{1}{2}$$。
4. 综上，$$b \in [-1, \frac{1}{2}]$$。
正确答案：B
第七题解析：
函数 $$f(x) = (x^3 - 3 x) e^x - \frac{1}{x - 2}$$ 在 $$[-3, 2) \cup (2, 3]$$ 上的零点：
1. 分析 $$f(x) = 0$$ 即 $$(x^3 - 3 x) e^x = \frac{1}{x - 2}$$。
2. 在 $$[-3, 2)$$ 上：
- $$x = -1$$ 时，$$(-1 + 3) e^{-1} = 2 e^{-1} \neq \frac{1}{-3}$$。
- $$x = 0$$ 时，$$0 = -\frac{1}{2}$$ 不成立。
- $$x = 1$$ 时，$$(1 - 3) e^1 = -2 e \neq -1$$。
- 通过数值分析可发现 $$x \approx -2.5$$ 和 $$x \approx 1.5$$ 附近可能有解。
3. 在 $$(2, 3]$$ 上：
- $$x = 3$$ 时，$$(27 - 9) e^3 = 18 e^3 \neq 1$$。
- 通过数值分析可发现 $$x \approx 2.5$$ 附近可能有解。
4. 综上，零点个数为 3。
正确答案：B
第八题解析：
函数 $$f(x) = \ln x + \frac{a}{x}$$ 分析：
1. 求导得 $$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{a}{x^2} = \frac{x - a}{x^2}$$。
2. 当 $$a > 0$$ 时：
- 在 $$x = a$$ 处，$$f'(a) = 0$$，且 $$f''(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{2 a}{x^3}$$，$$f''(a) = \frac{1}{a^2} > 0$$，故 $$x = a$$ 为极小值点。
3. 当 $$a < 0$$ 时：
- $$f'(x) > 0$$ 恒成立，函数单调递增，无极值点。
正确答案：C
第九题解析：
函数 $$f(x) = \frac{x^2 - a}{x + 1}$$ 在 $$x = -2$$ 处取得极值：
1. 求导得 $$f'(x) = \frac{2 x (x + 1) - (x^2 - a)}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2 x + a}{(x + 1)^2}$$。
2. 在 $$x = -2$$ 处，$$f'(-2) = 0$$，即 $$4 - 4 + a = 0$$，解得 $$a = 0$$。
3. 代入 $$a = 0$$，$$f'(x) = \frac{x^2 + 2 x}{(x + 1)^2} = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}$$。
4. 令 $$f'(x) < 0$$，得 $$x \in (-2, -1) \cup (-1, 0)$$。
正确答案：C
第十题解析：
函数 $$f(x) = x (\ln x - a x)$$ 有两个极值点：
1. 求导得 $$f'(x) = \ln x - 2 a x + 1$$。
2. 需 $$f'(x) = 0$$ 有两个解，即 $$\ln x + 1 = 2 a x$$。
3. 设 $$g(x) = \frac{\ln x + 1}{x}$$，则需 $$2 a$$ 与 $$g(x)$$ 有两个交点。
4. 求 $$g'(x) = \frac{1 - \ln x - 1}{x^2} = -\frac{\ln x}{x^2}$$，极大值在 $$x = 1$$ 处，$$g(1) = 1$$。
5. 当 $$0 < 2 a < 1$$，即 $$0 < a < \frac{1}{2}$$ 时，方程有两个解。
正确答案：C